Математическая регата 7 классов 4.03.2006

1.1. Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль - со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовик?

1.2. Покажите, как разрезать произвольный прямоугольник на три части и сложить из них неравнобедренный треугольник.

1.3. В архипелаге каждый остров соединен мостом ровно с семью другими. Сколько в этом архипелаге островов, если мостов - 84?

2.1. Используя только цифры 1 и 7 (каждую из них - не более четырех раз), знаки арифметических действий и скобки, составьте выражение, значение которого равно 2006.

2.2. Точка В лежит на отрезке АС, причем AB = 2 см, BC = 1 см. На прямой АВ укажите все такие точки М, для которых AM + BM = CM.

2.3. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?

3.1. Каждый из двух мальчиков, Ваня и Витя, задумал по натуральному числу, возвел его в куб и вычел задуманное им число. Полученные ими разности оказались одинаковыми. Могло ли так случиться, что Ваня и Витя задумали различные числа?

3.2. В пятиугольной звезде, изображенной на рисунке, АСЕ = АDB и DBЕ = BEC. Известно также, что BD = CE. Докажите, что ACD = ADC.

3.3. Двое по очереди ставят крестики в клетки доски размером 4x4. Проигрывает тот, после чьего хода образуется квадрат 2x2, в каждой клетке которого стоит крестик. Кто выиграет: начинающий или его партнер, и как нужно играть, чтобы выиграть?

4.1. ) Учительница написала на доске три числа, отличные от нуля, и велела Диме одно из них уменьшить на треть, другое увеличить на четверть, а третье уменьшить на одну пятую и результаты записать в тетради. Оказалось, что в тетради Дима записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Дима ошибся.

4.2. Можно ли разрезать произвольный треугольник на 10 треугольников так, чтобы никакие два из них не имели общей стороны?

4.3. Найдите наибольшее число, составленное из различных цифр (в десятичной записи) и делящееся на любую свою цифру.