Математическая регата 8 классов 19.11.2005

1.1. Дан график линейной функции y = ax + b (см. рисунок). Найдите значение выражения b – а.

1.2. О четырехугольнике известно, что две его стороны параллельны и что точка пересечения диагоналей является серединой одной из диагоналей. Верно ли, что этот четырехугольник – параллелограмм?

1.3. При умножении натурального числа N на 3 получилось число, сумма цифр которого равна N. Найдите наименьшее возможное значение N.

2.1. Известно, что а + b + c + d = 6. Может ли сумма ab + ac + ad + bc + bd + cd равняться 18?

2.2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен одной из медиан. Какой угол образует эта медиана со вторым катетом?

2.3. Урфин Джюс выстроил 66 дуболомов в шеренгу, пересчитал их и понял, что перестроить их в колонну по пять ему не удастся. Тогда, он решил между любыми двумя дуболомами, стоящими в шеренге, поставить еще по одному дуболому. Сможет ли он, повторив эту операцию несколько раз, добиться того, чтобы количество дуболомов стало кратным пяти?

3.1. У Пети были монеты достоинством в 1 рубль и 1 копейку, причем копеек было меньше, чем на рубль. Покупая продукты, Петя потратил половину всей суммы. После этого у него снова оказались только рубли и копейки, причем копеек оказалось столько, сколько вначале было рублей, а рублей оказалось вдвое меньше, чем вначале было копеек. Сколько денег было у Пети первоначально?

3.2. В четырехугольнике АВСD углы А и В – прямые. Известно также, что СD = AD + BC. Биссектриса угла ADC пересекает АВ в точке M. Найдите угол CMD.

3.3. Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма всех трехзначных замечательных чисел?

4.1. Решите уравнение: (1+x+...+x⁷)(1+x+...+x⁵)=(1+x+...+x⁶)².

4.2. На стороне ВС квадрата АВСD во внешнюю сторону построен равнобедренный треугольник ВЕС с основанием ВС. Известно, что угол ЕАD равен 75°. Найдите угол ВЕС.

4.3. На поле е1 шахматной доски стоит шашка. Сколько существует различных маршрутов, по которым она сможет пройти в дамки? (Напомним, что шашка может ходить вперед по диагонали на соседнюю клетку и превращается в дамку, если достигает восьмой горизонтали.)