1.1. Частное от деления двух одночленов равно 9х²у, а их произведение равно х⁸у⁹. Приведите пример таких одночленов.

1.2. В равнобедренном тупоугольном треугольнике проведите четыре отрезка так, чтобы он разделился на шесть прямоугольных треугольников. Поясните ваше решение.

1.3. Найдутся ли различные натуральные числа x, y и z такие, что сумма любых двух из них является простым числом? Объясните ответ.

Ответ: нет, не найдутся.

Среди любых трех натуральных чисел найдутся либо два четных, либо два нечетных числа (по принципу Дирихле). Сумма двух чисел одной четности является четным числом. По условию числа x, y и z различны, поэтому такая сумма отлична от двух, значит она является составным числом.

2.1. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх будет состоять из спортсменов и чиновников. Средний возраст этих спортсменов на начало олимпиады составит 22 года, а чиновников – 47 лет. При этом средний возраст всех членов делегации окажется равным 41 году. Какова в этой делегации доля чиновников, выраженная в процентах?

Ответ: 76%.

2.2. Из середины М стороны AB равностороннего треугольника ABC опустили перпендикуляры МK и МL на стороны AC и BC. Найдите KL, если AB = 1.

В заключительной фазе решения можно было рассуждать и по-другому: D АМK = D BML (по гипотенузе и острому углу), значит MK = ML. Тогда в равнобедренном треугольнике KML: Ð KML = 120° , Ð MKL = Ð MLK = 30° . Следовательно, Ð CKL = Ð СLK = 60° (непосредственный подсчет или использование параллельности прямых KL и АВ).

2.3. Вилли, Билли, Бим и Бом провели круговой турнир по шахматам (каждый сыграл с каждым по одному разу, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков). Известно, что четыре партии было сыграно вничью, а Вилли набрал 0,5 очка. Бим сказал, что он за турнир набрал 2,5 очка. Могло ли такое быть?

Ответ: нет, не могло.

В турнире было сыграно шесть партий, из которых четыре закончились вничью, значит, результативных партий было всего две. Каждый участник провел три партии, поэтому Вилли, набравший пол-очка, двум различным соперникам проиграл.

Таким образом, эти соперники взяли по одному очку в партиях с Вилли и еще по две партии сыграли вничью, то есть набрали по два очка. Это и есть лучший результат, так как оставшийся игрок все три партии свел вничью, то есть набрал 1,5 очка.

3.1. Винни-Пух и Пятачок сели за стол немного подкрепиться и начали одновременно есть мед из одного горшка, не отвлекаясь на разговоры. Если бы Винни-Пух ел со скоростью Пятачка, то процесс еды длился бы на 4 минуты дольше, а если бы, наоборот, Пятачок ел со скоростью Винни-Пуха – то сократился бы на 1 минуту. За какое время мед из горшка был полностью съеден?

Ответ: за 2 минуты 40 секунд.

Первый способ («арифметический»). Если оба приятеля едят со скоростью Винни-Пуха, то они съедают мёд на 5 минут быстрее, чем если они оба едят со скоростью Пятачка. При этом каждый съедает по половине горшка. Значит, Винни-Пух съедает пол-горшка мёда на 5 минут быстрее, чем Пятачок. Следовательно, когда они ели вместе и Винни-Пух съел пол-горшка, то в горшке оставалось столько мёда, сколько Пятачок съест за 5 минут. Но вместе они доели этот остаток за 1 минуту. За это время Пятачок успел съесть 1/5 остатка, значит, 4/5 остатка съел Винни-Пух, то есть Винни-Пух ест мед в 4 раза быстрее Пятачка.

Второй способ («алгебраический»). Пусть за минуту Винни-Пух съедает m кг меда, Пятачок - n кг, а процесс их совместной еды длится t минут. Тогда из условия задачи получим два уравнения: (m + n)t = 2n(t + 4) и (m + n)t = 2m(t – 1).

3.2. Точки А, В, С и D расположены на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Известно, что AB = BC = CD и AC = BD. Докажите, что среди прямых, соединяющих данные точки попарно (AB, BC, CD, AC, BD, AD), есть хотя бы две параллельные.

Возможны два случая расположения данных точек, поскольку отрезки АВ и CD могут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой ВС или в одной полуплоскости.

В первом случае (см. рис. 3а) треугольники АВС и DCB равны по трем сторонам, следовательно, Ð АВС = Ð DCB. Так как эти углы – внутренние накрест лежащие для прямых АВ и CD и секущей ВС, то АВ || CD.

Отметим, что в этом случае можно также доказать, что АС || BD. Для этого достаточно из равенства уже рассмотренных треугольников получить, что Ð АСB = Ð DBC.

Во втором случае (см. рис. 3б) треугольники АВС и DCB также равны по трем сторонам. Кроме того, эти треугольники – равнобедренные, поэтому Ð BAC = Ð BCA = Ð CBD = Ð CDB.

Заметим также, что D ACD = D DBA (по трем сторонам), следовательно, Ð CAD = Ð ВDА. Пусть О – точка пересечения АС и BD. Тогда треугольники AOD и BOC – равнобедренные с равными (вертикальными) углами при вершинах, следовательно, и с равными углами при основаниях. Используя любое из равенств Ð CAD = Ð ACB или Ð ADB = Ð CBD, по признаку параллельности прямых получим, что AD || BC.

3.3. На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольник по линиям сетки. Внутри него оказалось единичных отрезков сетки на 90 больше, чем узлов. Определите размеры прямоугольника.

Пусть в данном прямоугольнике n строк и m столбцов. Тогда внутри прямоугольника проходят (n – 1) горизонтальных линий сетки и (m – 1) вертикальных. Далее можно рассуждать по- разному.

Первый способ. Горизонтальные и вертикальные линии пересекаются в (n – 1)(m – 1) точках, которые и являются узлами сетки, лежащими внутри прямоугольника.

Каждая горизонтальная линия внутри прямоугольника делится вертикальными на m единичных отрезков, то есть количество горизонтальных единичных отрезков внутри прямоугольника равно m(n – 1). Аналогично, каждая вертикальная линия внутри прямоугольника делится на n единичных отрезков, то есть количество вертикальных единичных отрезков внутри прямоугольника равно n(m – 1).

По условию (n – 1)(m – 1) + 90 = m(n – 1) + n(m – 1). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим, что nm = 91.

Поскольку 91 = 7× 13 = 1× 91, то возможны два варианта ответа.

Второй способ. Из каждого узла сетки, лежащего внутри прямоугольника, проведем вверх единичный вертикальный отрезок. Тогда количество проведенных отрезков равно количеству узлов. Остались не проведенными: (n – 1) горизонтальных рядов по m единичных отрезков в каждом и еще (m – 1) вертикальных отрезков. Таким образом, (n – 1)m + (m – 1) = 90, то есть nm = 91.

Дальнейшее решение уже описано.

4.1. Решите уравнение: |65x³ + 12x| = |48x² + 1|.

Ответ: ± 0,2.

Первый способ. Модули двух чисел равны т. и т. т., когда эти числа равны или противоположны, то есть 65x³ + 12x = 48x² + 1 или 65x³ + 12x = – 48x² – 1.

В первом случае: 65x³ – 48x² + 12x – 1 = 0 Û x³ + (64x³ – 48x² + 12x – 1) = 0 Û x³ + (4x – 1)³ = 0 Û (4x – 1)³ = (–x)³ Û 4x – 1 = –x Û x = 0,2.

Во втором случае: 65x³ + 48x² + 12x + 1 = 0 Û x³ + (64x³ + 48x² + 12x + 1) = 0 Û x³ + (4x +1)³ = 0 Û (4x + 1)³ = (–x)³ Û 4x + 1 = –x Û x = – 0,2.

4.2. Высоты ВР и СQ треугольника АВС пересекаются в точке Н. Оказалось, что BH = AC. Найдите возможные значения угла АВС.

Ответ: 45° или 135° .

Пусть треугольник АВС – остроугольный, то есть точка Н лежит внутри треугольника (см. рис. 5а). Заметим, что Ð ACQ = 90° – Ð QAC = 90° – Ð BAP = Ð ABP. Тогда прямоугольные треугольники ACQ и HBQ равны по гипотенузе и острому углу (АС = НВ – по условию и Ð ACQ =.Ð HBQ – по доказанному).

Следовательно, CQ = BQ, то есть треугольник BQC – прямоугольный и равнобедренный. В таком треугольнике углы при основании равны 45° , поэтому Ð AВC = 45° .

В случае, если треугольник АВС — тупоугольный и точка Н лежит вне треугольника (см. рис. 5б), рассуждения аналогичны. Разница состоит в том, что угол BQC, равный 45° , является внешним углом треугольника АВС, поэтому Ð AВC = 135° .

Для учащихся, знакомых с теоремой о средней линии треугольника, признаками параллелограмма, теоремой об окружности, описанной около треугольника, и свойством углов, вписанных в окружность, можно предложить и другое решение, основанное на следующей лемме:

Пусть Н — точка пересечения высот треугольника АВС, О – центр описанной около него окружности, а В₁ – середина стороны АС. Тогда BH = 2OB₁ (см. рис. 5в).

Для доказательства введем следующие обозначения: R – середина отрезка ВН, Т – середина отрезка СН, А₁ – середина отрезка ВС.

4.3. Десятичная запись числа состоит из десяти различных цифр. Цифра называется «хорошей», если она равна сумме двух своих соседей (слева и справа). Какое наибольшее количество «хороших» цифр может быть в таком числе?

Ответ: четыре цифры.

Из условия задачи следует, что «хорошие» цифры не могут быть крайними. Кроме того, соседи «хороших» цифр не могут быть «хорошими», так как «хорошая» цифра должна быть больше каждого из своих соседей (ноль рядом с «хорошей» цифрой стоять не может, иначе «хорошая» цифра будет равна другой соседней, а по условию все цифры различны).

Таким образом, в числе может быть не более четырех «хороших» цифр. Пример: 1439682750 («хорошие» цифры выделены жирным шрифтом).

Существует всего шесть чисел, состоящих из различных цифр, с четырьмя «хорошими» цифрами (три пары симметричных, если отбросить ноль): 1439682750 и 5728693410; 1547396820 и 2869374510; 7813264950 и 5946231870.