7 класс
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Частное от деления двух одночленов равно 9х2у, а их произведение равно х8у9. Приведите пример таких одночленов.
Ответ:  и  или и .
Получить ответ можно подбором. Можно также использовать уравнения: если А и В – искомые одночлены, то , . Перемножив эти равенства почленно, получим: , откуда . Тогда .

1.2. В равнобедренном тупоугольном треугольнике проведите четыре отрезка так, чтобы он разделился на шесть прямоугольных треугольников. Поясните ваше решение.

Рис. 1
Ответ: см., например, рис. 1.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором АВ = АС и ВАС > 90. Проведем его высоту AA1, после чего треугольниках ВАА1 и САА1 проведем высоты А1С1 и А1В1 соответственно, а затем проведем отрезок С1В1, который пересечет AA1 в точке Р. 
Искомые шесть прямоугольных треугольников: А1С1В, А1В1С, А1С1Р, А1В1Р, АС1Р и АВ1Р. 
Прямоугольность всех указанных треугольников очевидна из симметрии. Строгое доказательство можно провести, например, так: из равнобедренности треугольника АВС следует, что равны его углы В и С, а высота AA1 является также медианой и биссектрисой. Значит, А1АС1 = А1АВ1 (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, треугольник С1АВ1 также равнобедренный и имеет с данным треугольником общий угол при вершине А. Тогда в треугольниках С1АВ1 и САВ равны и углы при основаниях, поэтому С1В1 || ВС. Так как ВС  АА1, то С1В1  АА1. 

1.3. Найдутся ли различные натуральные числа x, y и z такие, что сумма любых двух из них является простым числом? Объясните ответ.
Ответ: нет, не найдутся.
Среди любых трех натуральных чисел найдутся либо два четных, либо два нечетных числа (по принципу Дирихле). Сумма двух чисел одной четности является четным числом. По условию числа x, y и z различны, поэтому такая сумма отлична от двух, значит она является составным числом. 

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх будет состоять из спортсменов и чиновников. Средний возраст этих спортсменов на начало олимпиады составит 22 года, а чиновников – 47 лет. При этом средний возраст всех членов делегации окажется равным 41 году. Какова в этой делегации доля чиновников, выраженная в процентах?
Ответ: 76%.
Пусть делегация состоит из x спортсменов и y чиновников, тогда суммарный возраст спортсменов равен 22x, а чиновников – 47y. Делегация насчитывает (x + y) человек, поэтому ее суммарный возраст равен 41(x + y). Получим уравнение: 22x + 47y = 41(x + y). Упростив его, получим, что 6y = 19x. Доля чиновников, выраженная в процентах, равна:  =  =  =  = 76%.

2.2. Из середины М стороны AB равностороннего треугольника ABC опустили перпендикуляры МK и МL на стороны AC и BC. Найдите KL, если AB = 1.

Ответ: KL = .
Рис. 2
Так как САВ = СВА = 60, то KMА = LMВ = 30 (см. рис. 2). Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла величиной 30, равен половине гипотенузы, поэтому AK = AM =  и BL = BM = . Следовательно, CK = CL = . 
В равнобедренном треугольнике CKL угол СKL равен 60, поэтому этот треугольник – равносторонний, то есть KL = CK = CL = .
В заключительной фазе решения можно было рассуждать и по-другому: АМK = BML (по гипотенузе и острому углу), значит MK = ML. Тогда в равнобедренном треугольнике KML: KML = 120, MKL = MLK = 30. Следовательно, CKL = СLK = 60 (непосредственный подсчет или использование параллельности прямых KL и АВ). 

2.3. Вилли, Билли, Бим и Бом провели круговой турнир по шахматам (каждый сыграл с каждым по одному разу, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков). Известно, что четыре партии было сыграно вничью, а Вилли набрал 0,5 очка. Бим сказал, что он за турнир набрал 2,5 очка. Могло ли такое быть?
Ответ: нет, не могло.
В турнире было сыграно шесть партий, из которых четыре закончились вничью, значит, результативных партий было всего две. Каждый участник провел три партии, поэтому Вилли, набравший пол-очка, двум различным соперникам проиграл. 
Таким образом, эти соперники взяли по одному очку в партиях с Вилли и еще по две партии сыграли вничью, то есть набрали по два очка. Это и есть лучший результат, так как оставшийся игрок все три партии свел вничью, то есть набрал 1,5 очка.

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
3.1. Винни-Пух и Пятачок сели за стол немного подкрепиться и начали одновременно есть мед из одного горшка, не отвлекаясь на разговоры. Если бы Винни-Пух ел со скоростью Пятачка, то процесс еды длился бы на 4 минуты дольше, а если бы, наоборот, Пятачок ел со скоростью Винни-Пуха – то сократился бы на 1 минуту. За какое время мед из горшка был полностью съеден?
Ответ: за 2 минуты 40 секунд.
Первый способ («арифметический»). Если оба приятеля едят со скоростью Винни-Пуха, то они съедают мёд на 5 минут быстрее, чем если они оба едят со скоростью Пятачка. При этом каждый съедает по половине горшка. Значит, Винни-Пух съедает пол-горшка мёда на 5 минут быстрее, чем Пятачок. Следовательно, когда они ели вместе и Винни-Пух съел пол-горшка, то в горшке оставалось столько мёда, сколько Пятачок съест за 5 минут. Но вместе они доели этот остаток за 1 минуту. За это время Пятачок успел съесть 1/5 остатка, значит, 4/5 остатка съел Винни-Пух, то есть Винни-Пух ест мед в 4 раза быстрее Пятачка. 
Таким образом, когда Винни-Пух съел половину горшка, Пятачок съел 1/4 от половины, а на оставшиеся 3/4 от половины горшка ему нужно было еще 5 минут. Следовательно, на половину горшка Пятачку нужно  минуты. Если бы оба ели со скоростью Пятачка, то за это время они съели бы весь мёд. Но по условию они съели его на 4 минуты быстрее, то есть за 2 минуты 40 секунд.
Второй способ («алгебраический»). Пусть за минуту Винни-Пух съедает m кг меда, Пятачок  n кг, а процесс их совместной еды длится t минут. Тогда из условия задачи получим два уравнения: (m + n)t = 2n(t + 4) и (m + n)t = 2m(t – 1). 
Из первого уравнения: (m – n)t = 8n, а из второго: (m – n)t = 2m. Тогда m = 4n, то есть Винни-Пух ест мед в 4 раза быстрее, чем Пятачок. Подставив полученный результат, например, в первое уравнение, получим: 5nt = 2n(t + 4)  5t = 2t + 8  .

3.2. Точки А, В, С и D расположены на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Известно, что AB = BC = CD и AC = BD. Докажите, что среди прямых, соединяющих данные точки попарно (AB, BC, CD, AC, BD, AD), есть хотя бы две параллельные.

Рис. 3а
Возможны два случая расположения данных точек, поскольку отрезки АВ и CD могут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой ВС или в одной полуплоскости.
В первом случае (см. рис. 3а) треугольники АВС и DCB равны по трем сторонам, следовательно, АВС = DCB. Так как эти углы – внутренние накрест лежащие для прямых АВ и CD и секущей ВС, то АВ || CD.

Отметим, что в этом случае можно также доказать, что АС || BD. Для этого достаточно из равенства уже рассмотренных треугольников получить, что АСB = DBC.
Рис. 3б
Во втором случае (см. рис. 3б) треугольники АВС и DCB также равны по трем сторонам. Кроме того, эти треугольники – равнобедренные, поэтому BAC = BCA = CBD = CDB. 
Заметим также, что ACD = DBA (по трем сторонам), следовательно, CAD = ВDА. Пусть О – точка пересечения АС и BD. Тогда треугольники AOD и BOC – равнобедренные с равными (вертикальными) углами при вершинах, следовательно, и с равными углами при основаниях. Используя любое из равенств CAD = ACB или ADB = CBD, по признаку параллельности прямых получим, что AD || BC.

3.3. На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольник по линиям сетки. Внутри него оказалось единичных отрезков сетки на 90 больше, чем узлов. Определите размеры прямоугольника.
Ответ: 713 или 191.
Пусть в данном прямоугольнике n строк и m столбцов. Тогда внутри прямоугольника проходят (n – 1) горизонтальных линий сетки и (m – 1) вертикальных. Далее можно рассуждать по- разному.
Первый способ. Горизонтальные и вертикальные линии пересекаются в (n – 1)(m – 1) точках, которые и являются узлами сетки, лежащими внутри прямоугольника. 
Каждая горизонтальная линия внутри прямоугольника делится вертикальными на m единичных отрезков, то есть количество горизонтальных единичных отрезков внутри прямоугольника равно m(n – 1). Аналогично, каждая вертикальная линия внутри прямоугольника делится на n единичных отрезков, то есть количество вертикальных единичных отрезков внутри прямоугольника равно n(m – 1). 
Рис. 4
По условию (n – 1)(m – 1) + 90 = m(n – 1) + n(m – 1). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим, что nm = 91.
 Поскольку 91 = 713 = 191, то возможны два варианта ответа.

						
						
Второй способ. Из каждого узла сетки, лежащего внутри прямоугольника, проведем вверх единичный вертикальный отрезок (см. рис. 4). Тогда количество проведенных отрезков равно количеству узлов. Остались не проведенными: (n – 1) горизонтальных рядов по m единичных отрезков в каждом и еще (m – 1) вертикальных отрезков. Таким образом, (n – 1)m + (m – 1) = 90, то есть nm = 91. 
Дальнейшее решение уже описано.

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
4.1. Решите уравнение: |65x3 + 12x| = |48x2 + 1|.
Ответ: 0,2. 
Первый способ. Модули двух чисел равны т. и т. т., когда эти числа равны или противоположны, то есть 65x3 + 12x = 48x2 + 1 или 65x3 + 12x = – 48x2 – 1.
В первом случае: 65x3 – 48x2 + 12x – 1 = 0  x3 + (64x3 – 48x2 + 12x – 1) = 0  x3 + (4x – 1)3 = 0  (4x – 1)3 = (–x)3  4x – 1 = –x  x = 0,2.
Во втором случае: 65x3 + 48x2 + 12x + 1 = 0  x3 + (64x3 + 48x2 + 12x + 1) = 0  x3 + (4x +1)3 = 0  (4x + 1)3 = (–x)3  4x + 1 = –x  x = – 0,2.
Второй способ. 1) Если x  0, то уравнение примет вид: 65x3 + 12x = 48x2 + 1. Пусть , тогда y3 – 12y2 + 48y – 65 = 0  y3 – 5y2 – 7y2 + 35y + 13y – 65 = 0  y2(y – 5) – 7y(y – 5) + 13(y – 5) = 0  (y – 5)(y2 – 7y + 13) = 0  y = 5, так как y2 – 7y + 13 = y2 – 23,5y + 12,25 + 0,75 = (y – 3,5)2 + 0,75 > 0. Значит, x = 0,2.
2) Если x < 0, то уравнение примет вид: – 65x3 – 12x = 48x2 + 1. Пусть , тогда y3 + 12y2 + 48y + 65 = 0  y3 + 5y2 + 7y2 + 35y + 13y + 65 = 0  y2(y + 5) + 7y(y + 5) + 13(y + 5) = 0  (y + 5)(y2 + 7y + 13) = 0  y = 5, так как y2 + 7y + 13 = y2 + 23,5y + 12,25 + 0,75 = (y + 3,5)2 + 0,75 > 0. Значит, x = –0,2.

4.2. Высоты ВР и СQ треугольника АВС пересекаются в точке Н. Оказалось, что BH = AC. Найдите возможные значения угла АВС.
Рис. 5а
Ответ: 45 или 135.
Пусть треугольник АВС – остроугольный, то есть точка Н лежит внутри треугольника (см. рис. 5а). Заметим, что ACQ = 90 – QAC = 90 – BAP = ABP. Тогда прямоугольные треугольники ACQ и HBQ равны по гипотенузе и острому углу (АС = НВ – по условию и ACQ =.HBQ – по доказанному).
Следовательно, CQ = BQ, то есть треугольник BQC – прямоугольный и равнобедренный. В таком треугольнике углы при основании равны 45, поэтому AВC = 45.

Рис. 5б
В случае, если треугольник АВС – тупоугольный и точка Н лежит вне треугольника (см. рис. 5б), рассуждения аналогичны. Разница состоит в том, что угол BQC, равный 45, является внешним углом треугольника АВС, поэтому AВC = 135.
Для учащихся, знакомых с теоремой о средней линии треугольника, признаками параллелограмма, теоремой об окружности, описанной около треугольника, и свойством углов, вписанных в окружность, можно предложить и другое решение, основанное на следующей лемме:

Рис. 5в
Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВС, О – центр описанной около него окружности, а В1 – середина стороны АС. Тогда BH = 2OB1 (см. рис. 5в). 
Для доказательства введем следующие обозначения: R – середина отрезка  ВН, Т – середина отрезка СН, А1 – середина отрезка ВС.
В треугольнике ВНС отрезок А1Т является средней линией, поэтому А1Т || BH. Отрезок А1R – также средняя линия этого треугольника, значит, А1R || CH. Следовательно, четырехугольник RHTА1 – параллелограмм и BR = RH = A1T.
Параллелограммом будет являться и четырехугольник OB1TA1. Действительно, О – центр окружности, описанной около треугольника АВС, значит ОА1 и ОВ1 – серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС соответственно. A1T || BP, BP  AC, следовательно, A1T  AC. Таким образом, A1T || ОВ1. 
Кроме того, В1Т – средняя линия треугольника АНС, значит В1Т || АН. Так как три высоты треугольника пересекаются в одной точке, то АН  BC, значит и В1Т  BC, тогда В1Т || OA1. Таким образом получим, что BH = BR = RH = A1T = ОВ1. 
Применим доказанную лемму к нашей задаче. Так как ОВ1 = АС, то медиана ОВ1 треугольника АОС равна половине стороны АС, к которой проведена. Следовательно, треугольник АОС – прямоугольный (АОС = 90, см. рис. 5 г, д).

Далее возможны два случая: точки О и В расположены в одной полуплоскости относительно прямой ВС (см. рис. 5г) или в разных полуплоскостях (см. рис. 5д). По теореме об угле, вписанном в окружность, в первом случае АВС = АОС = 45, а во 

Рис. 5г
Рис. 5д
втором случае  АВС = 180 – АОС = 135.
4.3. Десятичная запись числа состоит из десяти различных цифр. Цифра называется «хорошей», если она равна сумме двух своих соседей (слева и справа). Какое наибольшее количество «хороших» цифр может быть в таком числе?
Ответ: четыре цифры.
Из условия задачи следует, что «хорошие» цифры не могут быть крайними. Кроме того, соседи «хороших» цифр не могут быть «хорошими», так как «хорошая» цифра должна быть больше каждого из своих соседей (ноль рядом с «хорошей» цифрой стоять не может, иначе «хорошая» цифра будет равна другой соседней, а по условию все цифры различны).
Таким образом, в числе может быть не более четырех «хороших» цифр. Пример: 1439682750 («хорошие» цифры выделены жирным шрифтом).
При построении примера, помимо указанных соображений, полезно учесть еще и такие:
1) ноль должен стоять в конце десятичной записи числа;
2) цифры 1 и 2 «хорошими» быть не могут, а цифры 8 и 9 обязаны быть «хорошими».
Существует всего шесть чисел, состоящих из различных цифр, с четырьмя «хорошими» цифрами (три пары симметричных, если отбросить ноль): 1439682750 и 5728693410; 1547396820 и 2869374510; 7813264950 и 5946231870.