Математическая регата 8 классов 17.11.2007

1.1. В дроби замените звездочку одночленом так, чтобы дробь можно было сократить. Постарайтесь указать как можно больше различных решений.

1.2. Существует ли четырехугольник, который можно одной прямой разбить на прямоугольный треугольник и прямоугольник, а другой прямой – на прямоугольный и равносторонний треугольники?

1.3. Найдите наименьшее простое число p, большее двух, такое, что является точным квадратом.

2.1. На рисунке изображен график функции у = kх + b. В той же системе координат постройте график функции у = bх + k. Поясните ответ.

2.2. В прямоугольном треугольнике АВС М – середина гипотенузы АВ, N – середина катета АС. Окружность, проходящая через точки М и N, касается катета ВС в точке K. В каком отношении точка K делит этот катет?

2.3. Число А является суммой трех последовательных натуральных чисел. Число В также является суммой трех последовательных натуральных чисел. Может ли произведение чисел А и В оказаться равным 2007?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Из города в одном направлении выехало три автомобиля: второй – через 10 минут после первого, третий – через 20 минут после второго. Через 30 минут после своего выезда третий автомобиль догнал второй, а еще через 10 минут – первый. Через сколько минут после своего выезда из города второй автомобиль догнал первый?

3.2. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС, биссектриса СЕ пересекается с отрезком ВD в точке О, причем ЕО = DO и Ð EOD = 120°. Найдите угол ВАС.

3.3. Перед боем у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него патронов в 9 раз больше, чем у Петьки. Докажите, что исходное количество патронов у каждого делилось на 71.

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Пусть – трехзначное число. Найдите все такие N, для которых N = a + b + c + ab + bc + ca + abc.

4.2. Дан квадрат АВСD со стороной 1. На стороне ВС взята точка М, а на стороне CD – точка K так, что периметр треугольника MCK равен 2. Найдите угол MAK.

4.3. От выпуклого n–угольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали n треугольников. В результате получился 2007–угольник. Какие значения может принимать n?