Математическая регата 8 классов 15.11.2008

1.1. Известно, что а > b. Можно ли утверждать, что 9b < 10a? Ответ обоснуйте.

1.2. Диагональ четырехугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найдите все возможные значения углов этого четырехугольника.

1.3. Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом простого числа? Ответ обоснуйте.

2.1. Для чисел а, b и с выполняются три равенства: (a + b)(a + b + с) = 5, (b + c)(b + c + a) = 6, (c + a)(c + a + b) = 7. Найдите (a + b + с)².

2.2. Точка D – середина стороны AC треугольника ABC. На стороне BC выбрана точка E так, что равны углы BEA и CED. Найдите отношение AE : DE.

2.3. Цену на яблоки подняли на 20%. Однако для того, чтобы записать новую цену килограмма яблок, продавцу оказалось достаточным поменять местами цифры числа, записанного на ценнике. Сколько рублей стоили яблоки до их подорожания, если эта цена была меньше 100 рублей?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Известно, что m² + 9mn + n² делится на 11 (числа m и n – целые). Докажите, что m² – n² также делится на 11.

3.2. На медиане ВМ треугольника АВС выбрана точка K так, что AK = BC. Луч AK пересекает сторону ВС в точке Р. Докажите, что треугольник ВКР – равнобедренный.

3.3. В шахматном турнире каждый участник встречался с каждым один раз (победа – 1 очко, поражение – 0, ничья – пол-очка). Единоличным победителем стал Иванов. Петров сказал: «Можно удалить из турнирной таблицы любого участника и аннулировать очки, набранные во встречах с ним, и тогда единоличным победителем будет уже не Иванов, а кто-нибудь другой». Прав ли Петров? Ответ обоснуйте.

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. В нескольких кошельках лежат одинаковые суммы денег. Если бы количество кошельков было на 1% меньше, а денег в каждом кошельке – на копейку больше, то общая сумма денег была бы меньше. А если бы, наоборот, количество кошельков было больше на 1%, а денег в каждом кошельке – на копейку меньше, то общая сумма денег также была бы меньше. Во сколько раз увеличится общая сумма денег, если количество кошельков не менять, но в каждый кошелек добавить по рублю?

4.2. Дан прямой угол О и точка С внутри него. Рассмотрим такой прямоугольник СDМЕ, что точки D и Е лежат на сторонах угла. Найдите ОМ, если диагональ прямоугольника равна 10 см, а Ð ОМС = 60° .

4.3. Выберем произвольным образом 55 различных натуральных чисел из первой сотни. Докажите, что среди них найдутся два числа, разность между которыми равна 9.