Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

2010/2011 год

11 класс

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. Решите уравнение: х⁶ + х⁴ + х ² = 3.

1.2. Существует ли выпуклый многогранник, у которого нечетное количество граней и каждая грань – нечетноугольник?

1.3. Решите уравнение pq + r = r², если p, q и r – простые числа.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. Докажите, что при x > 0, y > 0 и z > 0 выполняется неравенство

2.2. В треугольнике АВС проведена высота АD, точки Р и Q – середины двух других высот, H – ортоцентр (точка пересечения высот), Е – середина стороны ВС. Докажите, что точки D, H, P, Q и Е лежат на одной окружности.

2.3. Какое наименьшее количество прямых на плоскости надо провести, чтобы получить ровно восемь точек их попарного пересечения (три прямые через одну точку проходить не могут)?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)

3.1. Найдите наименьшее положительное значение суммы x + y + z, если tgx + tgy + tgz = tgx×tgy×tgz.

3.2. Можно ли разрезать квадрат на три попарно подобных, но не равных прямоугольника?

3.3. Можно ли на шахматной доске поставить 5 ладей на белые и 3 ладьи на чёрные клетки так, чтобы они попарно не били друг друга?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)

4.1. Известно, что уравнение ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0 имеет ровно три корня. Найдите хотя бы один из них.

4.2. Докажите, что АI + BI + CI ³ 6r, где r – радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, I – ее центр.

4.3. При каких натуральных значениях n число является простым?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

5.1. Решите уравнение: arcsin[sinx] = arccos[cosx] ([a] – целая часть числа а).

5.2. Из точки Р, лежащей на описанной окружности прямоугольника АВСD, опущены перпендикуляры РМ и РN на его диагонали. Найдите MN, если радиус окружности равен R, а угол между диагоналями равен a.

5.3. Коля, Леня и Миша сложились по целому числу рублей и купили футбольный мяч. Сумма денег, вложенных каждым из них, не превосходит половины суммы, вложенной остальными. Сколько денег вложил Миша, если мяч стоил 600 рублей?

Результаты

Команда	I			II			III			IV			V			Итог	Диплом
	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3
5А Долгопрудный	6	6	6	7	7	7	0	2	8	0	7	6	7	6	7	82	I
1 1 8 9 А	6	6	6	7	7	7	4	4	8	6	0	5	3	1	7	77	I
1 3 0 3	6	6	6	0	7	3	4	8	0	4	2	9	3	7	7	72	I
СУНЦ Б	6	6	6	7	7	7	6	4	0	4	0	1	7	0	7	68	II
1 5 1 4 Б	6	6	4	7	7	7	0	0	8	4	0	2	7	0	7	65	II
2 А	6	5	5	7	7	7	4	0	0	0	0	1	7	7	7	63	II
30 С-Петербург	6	6	6	7	0	7	0	0	8	9	0	0	0	7	7	63	II
2 1 8 Б	6	0	6	7	7	7	1	2	8	9	0	0	3	0	7	63	II
СУНЦ В	6	6	6	7	3	7	6	0	8	4	0	0	3	6	1	63	II
1 5 1 4 В	6	0	5	7	7	7	0	0	8	7	0	0	7	0	7	61	III
5Б Долгопрудный	6	6	0	7	7	7	0	2	8	0	0	0	3	7	7	60	III
3 1 5 Г	6	6	6	7	7	7	0	0		5	0	9	0	0	7	60	III
2 0 0 7 Б	6	6	2	7	7	7	0	0	0	2	0	1	7	7	7	59	III
1 5 6 8 В	6	0	6	7	7	7	6	0	0	0	0	0	3	7	7	56	III
5В Долгопрудный	6	6	5	0	7	7	0	0	4	0	0	1	7	1	7	51	ПП
1 5 1 1 А	6	0	6	7	7	3	0	6	0	0	0	1	7	0	7	50	ПП
2 0 0 7 Г	6	0	6	7	7	7	4	0	0	0	0	0	0	6	7	50	ПП
Переславль А	6	6	6	0	7	7	6	2	0	4	0	0	0	0	6	50	ПП
1 5 6 4 А	6	0	6	7	7	0	6	0	1	0	0	1	7	0	7	48	ПП
2 1 8 А	6	6	6	7	0	7	0	0	8	0	0	0	0	0	7	47	ПП
1 1 7 3	6	0	4	7	7	7	0	0	2	0	0	0	3	6	5	47	ПП
Кострома	6	6	5	0	7	7	0	2	5	0		1	0	0	7	46
2 В	6	0	6	7	7	7	0	4	0	0	0	0	0	0	7	44
1 5 1 4 А	6	0	4	0	7	7	4	0	0	0	0	1	0	7	7	43
1 5 8 0 А	6	0	6	7	0	7	0	0	0	0	0	1	7	1	7	42
1 5 6 8 А	6	0	0	7	0	7	0	0	1	5	0	0	7	0	7	40
1 5 3 7	6	6	4			7	0	0	0	0	0	1	7	0	7	38
9 1 А	6	0	4	7	0	7	0	2	0	0	0	0	3	0	7	36
1 5 6 8 Д	6	3	6	0	7	3	0	0	1	4	0	0	3	1	2	36
1 1 8 9 Б	6	5	0	0	7	7	0	2	0	0	0	1	0	6	1	35
1 5 6 8 Б	6	0	6	0	0	3	0	0	0	5	0	0	7	0	7	34
3 1 5 Б	6	0	6	0	0	7	0	6	0	0	0	1	0	0	7	33
СУНЦ А	6	0	0	1	6	4	0	0	1	0	0	1	7	0	7	33
3 1 5 В	6	0	0	7	7	7	0	0	0	0	0	0	0	0	5	32
1 5 1 1 Б	6	0	5	7	0	7	0	0	0	2	0	0	1	0	4	32
Переславль Б	6	0	0	7	7	6	1	0	0	4	0	0	0	0	0	31
1 1 8 9 Г	6	0	1	7	0	7	0	0	1	0	0	1	0	1	6	30
9 1 Б	6	0	0	0	0	7	0	2	0	0	0	0	7	0	7	29
1 5 8 0 В	6	0	6			3	0	0	0	0	0	0	7	0	7	29
17 А	6	0	0	7	0	7	0	0	0	0	0	0	7	0	1	28
1 9 2	6	0	0	7	0	7	0	0	0	0	0	1	0	0	7	28
1 1 8 9 В	6	0	5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	7	0	7	25
1 5 8 0 Б	6	0	0	7	0	0	0	0	0	4	0	0	0	1	7	25
1 5 6 8 Г	6	0	0	1	0	3	0	0	0	4	0	0	0	0	7	21
2 0 0 7 В	6	0	1	0	0	1	0	2	0	0	0	1	3	0	7	21
2 1 8 В	6	0	0	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	0	7	20
1 5 6 4 Б	6	0	0	0	0	6	0	0	0	4	0	0	0	0	1	17
3 1 5 А	6	0	0	0		3	0	0	6	0	0	0	0	0	1	16
17 Б				7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	7	14
1 5 2 4				7		0	0	-1	0	0	0	0	0	0	7	13
2 0 0 7 А	6	0	0	0	0	3	1	0	0	0	0	1	0	0	2	13
1 6 7 8	1	0	0	0	0	3	0	0	0	0	0	0	0	0	7	11
1 5 4 6	1	0	0	0	0	3	0	0	0	0	0	0	0	0	1	5
Столичный	1	0	0	0	0	3										4
1 5 6 9				0	0	3	0	0	0	0	0	0				3