8 класс
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.1. Для любых чисел а и b операция 
определена
следующим образом: =
. Вычислите: 
.
1.2. Диагональ трапеции делит ее на два
прямоугольных равнобедренных треугольника. Сравните длину этой диагонали и
среднюю линию трапеции.
1.3. За один ход можно выбрать произвольный
квадрат 2x2 на доске 4x4 с шахматной раскраской и изменить
цвет каждой клетки этого квадрата на противоположный. Можно ли за несколько
ходов сделать так, чтобы все клетки доски оказались одного цвета?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.1. Среди чисел x, y, a и b
нет одинаковых, при этом выполняется равенство 
. Найдите сумму: x +
y + a + b.
2.2. В треугольнике АВС проведены медиана АМ,
высота ВН и биссектриса CL. Точка K пересечения отрезков CL
и МН является серединой каждого из
них. Найдите углы треугольника.
2.3. Один из собеседников вчера сказал:
«Если год, когда мне было 45 лет, умножить на год, когда мне было 43 года, а
то, что получится, разделить на год моего рождения, то получится год, когда ...»
– «Хватит!» – перебил его другой. «Я и так могу назвать год твоего рождения!».
Назовите его и вы.
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.1. В диване живут клопы и блохи. Если в
несколько раз станет больше клопов, то всего насекомых станет 2012, а если во
столько же раз станет больше блох (а количество клопов не изменится), то всего
насекомых будет 2011. Сколько насекомых в диване сейчас?
3.2. Треугольник АВС – равносторонний. На
сторонах ВС и АВ выбраны точки Е и D
соответственно так, что BE : EC = AD
: DB = 1 : 2. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника АВС,
если ED = 1.
3.3. Известно, что 
. Какие значения может принимать b?
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)
4.1. Про целые числа а, b и c известно,
что a
+ b
+ c = 1. Докажите, что число (a + bc)(b
+ ac)(c + ab)
является точным квадратом.
4.2. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. Точки D и E расположены на гипотенузе АВ так, что BD
= BC и AE = AC. Из точки D провели перпендикуляр DG на катет АС, а из точки E
– перпендикуляр EF на
катет ВС. Докажите, что DE = EF + DG.
4.3. Какое наименьшее количество точек
можно отметить на поверхности куба так, чтобы количество точек на любых двух
гранях куба различалось? (Напомним, что поверхность
куба состоит из шести граней, каждое ребро принадлежит двум граням, а каждая
вершина – трем.)
Результаты
|
Команда |
I |
II |
III |
IV |
Диплом |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|||
|
1 5 4 3 А |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
9 |
90 |
I |
|
1 7 9 Б |
6 |
4 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
9 |
88 |
I |
|
2 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
4 |
7 |
8 |
8 |
8 |
9 |
0 |
9 |
72 |
II |
|
2 1 8 А |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
0 |
8 |
0 |
9 |
9 |
67 |
II |
|
Фрактал |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
1 |
8 |
8 |
0 |
1 |
9 |
66 |
II |
|
2 0 0 7 Г |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
3 |
4 |
9 |
0 |
9 |
66 |
II |
|
Квантик Б |
6 |
0 |
6 |
7 |
4 |
7 |
6 |
0 |
9 |
9 |
9 |
63 |
III |
|
|
2 1 8 Б |
6 |
0 |
6 |
7 |
5 |
2 |
8 |
8 |
1 |
9 |
0 |
9 |
61 |
III |
|
1537 А |
1 |
4 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
0 |
9 |
0 |
0 |
57 |
III |
|
1 5 4 3 Г |
6 |
2 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
2 |
8 |
0 |
0 |
4 |
57 |
III |
|
1 5 1 4 А |
6 |
4 |
6 |
7 |
7 |
7 |
1 |
3 |
0 |
9 |
0 |
4 |
54 |
III |
|
Кострома А |
1 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
1 |
8 |
0 |
0 |
9 |
54 |
III |
|
1 5 1 4 Б |
6 |
5 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
53 |
III |
|
2 Б |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
2 |
9 |
0 |
0 |
52 |
III |
|
|
1537 Б |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
5 |
8 |
0 |
0 |
9 |
0 |
1 |
49 |
пп |
|
Интелл. А |
6 |
6 |
6 |
7 |
2 |
7 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
7 |
49 |
пп |
|
1 7 9 Г |
6 |
1 |
0 |
7 |
7 |
7 |
1 |
1 |
0 |
9 |
9 |
0 |
48 |
пп |
|
2 0 0 7 А |
6 |
0 |
0 |
7 |
3 |
7 |
8 |
8 |
8 |
0 |
0 |
1 |
48 |
пп |
|
2 0 0 7 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
3 |
7 |
8 |
1 |
9 |
0 |
0 |
47 |
пп |
|
|
ЦДО |
6 |
0 |
6 |
7 |
2 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
45 |
|
|
1 9 2 А |
6 |
2 |
6 |
7 |
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
9 |
0 |
9 |
44 |
|
|
1 7 9 А |
6 |
0 |
6 |
0 |
5 |
7 |
1 |
0 |
8 |
0 |
9 |
0 |
42 |
|
|
2 0 0 7 Д |
6 |
0 |
0 |
7 |
2 |
7 |
8 |
2 |
0 |
9 |
0 |
0 |
41 |
|
|
1 5 1 4 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
1 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
38 |
|
|
1 5 4 3 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
3 |
7 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
38 |
|
|
5А Долгопрудный |
6 |
0 |
6 |
6 |
0 |
7 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
9 |
37 |
|
|
2 1 8 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
37 |
|
|
3 5 4 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
1 |
7 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
36 |
|
|
Интелл. Б |
6 |
0 |
6 |
7 |
3 |
5 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
36 |
|
|
1 5 4 3 Б |
1 |
0 |
6 |
7 |
7 |
7 |
1 |
8 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
36 |
|
|
Жуковский |
6 |
0 |
6 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
9 |
36 |
|
|
1 5 5 7 А |
6 |
1 |
6 |
7 |
3 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
35 |
|
|
1 5 1 4 Г |
6 |
0 |
6 |
0 |
5 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
32 |
|
|
1 7 9 В |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
31 |
|
|
6 5 4 А |
6 |
0 |
6 |
7 |
0 |
2 |
8 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
31 |
|
|
1 5 5 7 Б |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
1 |
1 |
0 |
9 |
0 |
0 |
31 |
|
|
1 5 6 8 А |
6 |
0 |
6 |
7 |
7 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
31 |
|
|
1 5 6 8 В |
6 |
4 |
0 |
7 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
9 |
0 |
1 |
31 |
|
|
2 0 0 7 Б |
6 |
0 |
6 |
0 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
31 |
|
|
2 А |
6 |
0 |
6 |
7 |
1 |
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
30 |
|
|
1 5 6 8 Б |
6 |
0 |
0 |
7 |
7 |
2 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
30 |
|
|
444 Г |
6 |
0 |
0 |
7 |
4 |
2 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
28 |
|
|
4 4 4 А |
6 |
0 |
0 |
7 |
1 |
7 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
28 |
|
|
4 4 4 Б |
6 |
0 |
6 |
7 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
26 |
|
|
6 5 4 Б |
6 |
0 |
6 |
7 |
1 |
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
26 |
|
|
Интелл. В |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
7 |
8 |
0 |
0 |
0 |
4 |
26 |
||
|
1 5 4 3 Д |
6 |
0 |
0 |
0 |
7 |
2 |
0 |
0 |
2 |
9 |
0 |
26 |
||
|
Подольск |
0 |
2 |
6 |
7 |
0 |
7 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
26 |
|
|
5Б Долгопрудный |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
2 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
23 |
|
|
1 3 8 4 |
0 |
0 |
6 |
7 |
1 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
23 |
|
|
Квантик А |
6 |
0 |
6 |
0 |
0 |
2 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
23 |
|
|
1 5 2 2 |
6 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
22 |
|
|
1 5 3 4 |
6 |
0 |
6 |
7 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
22 |
|
|
1 1 8 9 В |
0 |
0 |
6 |
0 |
2 |
7 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
21 |
|
|
Кострома Б |
6 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
21 |
|
|
9 1 А |
6 |
0 |
6 |
0 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
20 |
|
|
82 Черн. |
6 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
17 |
|
|
1 1 8 9 Б |
0 |
6 |
0 |
0 |
2 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
17 |
||
|
Сборная |
6 |
0 |
0 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
17 |
|
|
7 Б |
6 |
0 |
0 |
7 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
|
|
4 4 4 В |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
8 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
|
|
1 1 8 9 А |
6 |
0 |
6 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15 |
|
|
1 3 5 9 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
15 |
|
|
9 1 Б |
6 |
0 |
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
|
|
2 Г |
6 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
|
|
3 5 4 А |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
10 |
||
|
7 А |
0 |
0 |
0 |
7 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
|
|
1 2 7 4 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
9 |
||
|
1 5 6 0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
|
|
1550 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
7 |
|
|
1 2 7 4 А |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
|
3 5 4 Б |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
|
1 5 1 3 А |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
|
1 5 1 3 Б |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
||
|
1550 А |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 0 6 2 |
0 |
|||||||||||||
|
1 5 1 3 В |
0 |
|||||||||||||