1.3. Найдите все пары (p; q) простых чисел, разность пятых степеней которых является простым числом.

2.2. Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты?

2.3. На доске записаны числа: 4, 14, 24, … , 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть еще два, потом – еще три, и, наконец, стереть еще четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?

3.1. Найдите наименьшее положительное значение x + y, если (1 + tgx)(1 + tgy) = 2.

3.3. В турнире по волейболу n команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть Р – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, Q – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что P = Q.

4.3. Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырех цветов так, что вершины любого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что в этой сетке найдется прямая, содержащая бесконечно много узлов, которые окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)

5.2. Докажите, что в любой правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше, чем 60° .