1.1. Решите неравенство: x + y² + 1.

1.2. Верно ли, что в пространстве два угла с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны, либо составляют в сумме 180° ?

1.3. В клетках квадратной таблицы 10´ 10 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр произвольным образом составлено десятизначное число. Может ли оказаться так, что из двадцати получившихся чисел ровно одно не делится на 3?

2.1. Функция f(x) принимает только положительные значения. Известно, что и при любых а и b . Найдите .

2.2. Внутри параллелограмма ABCD выбрана произвольная точка Р и проведены отрезки РА, РВ, РС и PD. Площади трех из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвертого треугольника?

3.1. Найдите наибольшее значение выражения x²y – y²x, если 0 < x < 1 и 0 < y < 1.

3.2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С₁, А₁ и В₁ соответственно так, что ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = В₁С. Докажите, что точка пересечения высот треугольника С₁А₁В₁ лежит на биссектрисе угла А.

3.3. Найдите все пары натуральных чисел (а; b), для которых выполняется равенство: НОК(а; b) – НОД(а; b) = .

4.1. Найдите все неотрицательные решения системы уравнений: .

4.2. Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон ВС, АС и АВ в точках A', B' и C' соответственно. Точка K – проекция точки C' на прямую A'B'. Докажите, что KC' – биссектриса угла AKB.

4.3. В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединен авиалиниями не более, чем с тремя другими, и из любого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?

5.1. В классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?

5.2. В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.

5.3. В шахматном турнире было 12 участников (каждый сыграл с каждым по одному разу). По итогам турнира оказалось, что есть 9 участников, каждый из которых набрал не более четырех очков. Известно, что Петя набрал ровно 9 очков. Как он сыграл с каждым из двух остальных шахматистов? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков.)