1.3. На какую наибольшую степень двойки делится число 10²⁰ – 2²⁰?

2.2. Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.

2.3. Дан правильный девятиугольник. Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?

3.1. Найдите наибольшее значение выражения x² + y², если и .

3.2. В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.

3.3. На шахматную доску поставлены 11 коней так, что никакие два не бьют друг друга. Докажите, что на ту же доску можно поставить еще одного коня с сохранением этого свойства.

4.1. Коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют условию 2a + 3b + 6c = 0. Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале (0; 1).

5.1. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты х и у которых удовлетворяют неравенству .

5.2. Какое наибольшее количество треугольных граней может иметь пятигранник?

5.3. Существуют ли четыре последовательных натуральных числа, каждое из которых можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?