7 класс.
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2016. Найдите уменьшаемое.
1.2. Существует ли такой четырехугольник, что любая диагональ делит его на два тупоугольных треугольника?
1.3. Может ли разность четвертых степеней простых чисел быть простым числом? Ответ обоснуйте.
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Решите уравнение: 1 + 1 : (1 + 1 : (1 + 1 : (x + 2016))) = (1,2)2.
2.2. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка E, а на биссектрисе BD – точка F, таким образом, что EF || AC и AF = AD. Докажите, что AВ = ВЕ.
2.3. В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?
Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
3.1. На середине дороги от Васиного дома до школы стоит светофор. В понедельник Вася попал на зеленый сигнал светофора. Во вторник он шел с той же скоростью, но простоял на светофоре 5 минут, а после этого увеличил скорость вдвое. И в понедельник, и во вторник он потратил на путь от дома до школы одинаковое время. Какое?
3.2. Про треугольник, один из углов которого равен 120°, известно, что его можно разрезать на два равнобедренных треугольника. Чему могут быть равны два других угла исходного треугольника?
3.3. На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них сделал по два заявления: 1) «Среди моих друзей – нечетное количество рыцарей»; 2) «Среди моих друзей – четное количество лжецов». Четно или нечетно количество жителей острова? Ответ обоснуйте.
Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
4.1. Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: либо на 1 дм2 в обычном случае, либо в два раза – если желание было заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько – еще всемеро, а еще через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи?
4.2. Восемь одинаковых шаров положили в коробку так, как показано на рисунке. Докажите, что центры трех верхних шаров лежат на одной прямой.
4.3. В десятичной записи числа – 36 цифр. Разрешается разбить его на группы по 6 цифр в каждой и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что число, полученное при одной из перестановок, в 7 раз больше числа, полученного при другой перестановке. Докажите, что большее из этих чисел делится на 49.
