9 класс.
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. На рисунке изображен график функции y = (a2 - 1)(x2 - 1) + (a - 1)(x - 1). Найдите координаты точки A
1.2. Существует ли выпуклый четырехугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?
1.3. Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой на две части. Затем одну часть снова разрезал по прямой на две. Потом одну из получившихся частей опять разрезал на две части, и так далее, всего он резал бумагу сто раз. Потом Петя подсчитал суммарное количество вершин у всех получившихся многоугольников – получилось всего 302 вершины. Могло ли так быть?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Решите систему уравнений:
2.2. На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника АВС выбраны точки D, E и F соответственно так, что DE || AC, DF || BС. Найдите угол между прямыми AЕ и BF.
2.3. На доске записаны числа 20 и 100. Разрешается дописать на доску произведение любых двух имеющихся на ней чисел. Можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число 50...0 (2015 нулей)?
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. Сумма трех различных чисел равна 10, а разность между наибольшим и наименьшим равна 3. Какие значения может принимать число, среднее по величине?
3.2. Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка Р так, что ∠АРВ + ∠СРD = 180°. Докажите, что ∠РВC = ∠РDC.
3.3. Каких натуральных чисел от 1 до 1 000 000 (включительно) больше: чётных с нечётной суммой цифр или нечётных с чётной суммой цифр?
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).
4.1. Сумма неотрицательных чисел x1, x2, ..., x10 равна 1. Найдите наибольшее возможное значение суммы x1x2 + x2x3 + ... + x9x10.
4.2. Вписанная окружность прямоугольного треугольника АВС (угол С – прямой) касается сторон АВ, ВС и СА в точках С1, А1, В1 соответственно. Высоты треугольника А1В1С1 пересекаются в точке D. Найдите расстояние между точками C и D, если длины катетов треугольника АВС равны 3 и 4.
4.3. Василиса Премудрая расставляет все натуральные числа от 1 до n2, где n > 1, в клетки таблицы размером n×n. Кандидат в женихи должен вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была четной. Всегда ли выполнимо такое задание?
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
