Математическая регата 10 классов 25.02.2017

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

10 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству:

1.2. В выпуклом четырехугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трех остальных углов также равняться m?

1.3. Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы любые два соседних числа отличались или на 2, или в два раза?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. (sinx, siny, sinz) – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность (cosx, cosy, cosz) также являться арифметической прогрессией?

2.2. Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке О, М и N – середины сторон ВС и AD соответственно. Отрезок MN делит площадь четырехугольника пополам. Найдите отношение ОМ : ОN, если AD = 2BC.

2.3. Число 1047 при делении на A дает остаток 23, а при делении на A + 1 – остаток 7. Найдите A.

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Пусть a, b, c, d – действительные числа, удовлетворяющие системе равенств:

Какие значения может принимать выражение ?

3.2. Все грани треугольной пирамиды SABC – остроугольные треугольники. SX и SY – высоты граней ASВ и BSС. Известно, что четырехугольник AXYC – вписанный. Докажите, что прямые AC и BS перпендикулярны.

3.3. Кодовый замок откроется, если в каждой клетке квадрата размером 4×4 набрать число от 1 до 16 (не повторяясь) так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке. Какие числа могут быть записаны?

4.2. Трапеция с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, E – точка пересечения ее диагоналей. Докажите, что угол AED – тупой.

4.3. В правильном 21-угольнике 6 вершин покрашены красным цветом, а 7 вершин – синим. Обязательно ли найдутся два равных треугольника, один из которых с красными вершинами, а другой – с синими?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Решите уравнение:

5.2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках М и N так, что АВ – биссектриса треугольника МАN. Докажите, что отношение отрезков ВМ и BN равно отношению радиусов окружностей.

5.3. Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если известно, что при увеличении числа m на 6 он увеличивается в девять раз?

Результаты регаты:

Команда 1 тур 2 тур 3 тур 4 тур 5 тур Сумма Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 А 6 6 6 7 7 7 0 8 0 9 9 0 1 7 7 80 I
ФТШ Б СПб 6 6 0 7 7 7 8 8 0 1 9 0 7 7 7 80 I
1 5 4 3 6 6 6 0 7 7 8 8 0 9 0 0 7 7 7 78 I
СУНЦ А 6 6 6 0 6 5 8 0 8 9 0 0 3 7 7 71 II
2 0 0 7 В 6 6 6 0 7 7 8 8 0 1 0 0 3 7 7 66 II
2 0 0 7 А 6 6 6 0 7 6 0 8 8 1 0 0 3 7 7 65 II
5 А Долгопрудный 6 6 6 0 7 7 0 0 8 9 0 0 0 7 7 63 III
Жуковский 6 6 6 7 7 7 0 0 0 1 9 0 0 7 7 63 III
1 5 6 8 А 6 6 6 7 7 1 8 0 0 1 0 0 7 7 7 63 III
ФТШ В СПб 6 6 6 7 7 7 8 0 0 1 0 0 7 7 1 63 III
2 0 0 7 Б 6 6 6 7 7 7 0 0 0 8 0 0 1 7 7 62 III
СУНЦ Б 6 6 6 0 7 7 8 0 0 0 0 0 7 7 0 54 ПП
2 0 0 7 Г 6 6 0 0 7 7 0 8 0 1 0 0 7 7 4 53 ПП
1 5 6 8 В 6 6 6 3 7 7 0 0 0 1 0 0 0 7 7 50 ПП
30 С.-Петербург 6 6 6 0 2 7 0 0 0 4 0 0 3 7 7 48 ПП
ФТШ А СПб 6 6 6 0 7 7 0 0 8 1 0 0 0 7 0 48 ПП
ФТЛ Долгопрудный 6 6 6 3 3 7 0 0 0 9 0 0 7 0 0 47 ПП
5 Б Долгопрудный 6 6 6 0 7 2 8 0 0 1 0 0 0 7 1 44
2 Б 6 6 6 2 7 2 0 0 0 0 0 0 7 7 0 43
СУНЦ В 6 -1 6 0 0 7 8 0 0 9 0 0 0 7 0 42
1 5 1 1 А 6 6 6 0 0 7 8 0 0 0 0 0 7 0 0 40
2 1 0 1 А 6 6 6 0 0 7 0 0 0 1 0 0 3 7 0 36
Фрязино 6 4 6 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 7 7 35
2 1 8 0 6 0 0 0 7 8 0 8 1 0 0 0 0 4 34
Курчатовская Б 6 6 6 0 1 7 0 0 0 1 0 0 0 0 7 34
Курчатовская В 6 6 6 -1 1 7 0 0 0 1 0 0 0 7 0 33
3 1 5 Г 6 0 6 0 1 2 0 0 8 1 0 0 0 7 0 31
1 5 6 8 Б 6 0 6 2 1 3 0 0 0 1 0 0 3 7 0 29
СУНЦ Г 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 7 7 23
3 1 5 А 3 0 6 0 0 7 0 0 0 1 0 0 3 0 0 20
7 Б 6 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 19
1 5 3 7 А 0 0 6 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 7 1 19
2 0 0 7 Д 0 4 0 0 4 3 0 0 0 1 0 0 0 7 0 19
4 4 4 А 4 0 6 5 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 18
1 5 1 1 Б 0 6 0 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 0 1 16
3 1 5 В 6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 14
4 4 4 Б 6 0 6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 14
2 1 0 1 Б 1 0 6 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 2 14
7 А 4 4 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12
1 5 5 7 А 4 4 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12
Курчатовская А 6 0 0 0 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12
1 5 3 7 В 6 0 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11
2 1 0 1 В 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 7 0 10
3 1 5 Б 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 0 9
1 5 2 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 7
З К Н О Б 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 7
П С П Ш 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7 0 7
1 5 3 7 Б 0 4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
9 4 9 А 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4
1 3 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4
1 5 5 7 Б 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3
З К Н О А 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
5 4 7 А 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 4 9 Б 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 5 1 4 А 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 4 7 Б 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Rambler's
Top100 Rambler's Top100