Математическая регата 9 классов 15.10.2022

1.1. Найдите наименьшее целое решение неравенства: (x + 1)³ + (x - 1)³ ≥ 29

1.2. Существует ли четырёхугольник, отличный от прямоугольника, у которого есть три равных угла?

1.3. Найдите хотя бы одну четвёрку натуральных чисел, для которых верно равенство 2019m + 2020n = 2021p + 2022q.

2.1. Существует ли такое натуральное значение N, что число N·2018·2020·2022 + 4 является точным квадратом?

2.2. В равносторонний треугольник вписаны две касающиеся окружности (см. рисунок). Найдите угол KLM, где K, L и М – точки касания.

2.3. Женя и Сеня разделили с остатком одно и то же натуральное число на 12 и 13 соответственно. Сумма неполного частного, полученного Женей, и остатка, полученного Сеней, равна 14. Найдите остаток, полученный Женей.

3.1. Пушкин и Гоголь прогуливались по бульвару. Они начинали прогулку одновременно с противоположных концов бульвара и впервые встретились в 50 метрах от его середины. Дойдя до конца бульвара каждый немедленно разворачивался и шёл обратно с той же скоростью. Они встретились лицом к лицу еще дважды, после чего Пушкин догнал Гоголя в конце бульвара. Найдите длину бульвара.

3.2. В полукруг вписан квадрат площади 49, к которому примыкает еще один квадрат, одна из вершин которого лежит на полуокружности (см. рисунок). Найдите площадь второго квадрата.

3.3. Пираты сели в кружок делить добычу. У каждого из них есть несколько сапфиров и несколько изумрудов. Оказалось, что никакие два пирата, которые сидят не рядом, не могут поделить между собой имеющиеся сапфиры и изумруды так, чтобы и сапфиров, и изумрудов у них стало поровну. Каково наибольшее количество этих пиратов?

4.1. Найдите положительные решения уравнения

4.2. В окружности с центром O проведена хорда AB, на которой отмечена точка C. Через точку C проведена прямая, перпендикулярная OC. Касательные к окружности в точках A и B пересекают эту прямую в точках P и Q. Докажите, что C – середина отрезка PQ.

4.3. На числовой прямой отмечены все целые числа. Два числа x и y соединяются дугой, если |x – y| является простым числом. В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все числа, чтобы любые два числа, соединённые дугой, были покрашены в разные цвета?

5.1. На прямой АВ отмечено 7 точек, лежащих вне отрезка АВ. Может ли сумма расстояний от них до А быть равна сумме расстояний от них до В?

5.2. Можно ли разрезать квадрат на две части и сложить из них равносторонний шестиугольник?

5.3. Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, 3, ..., 25 таким образом, чтобы сумма любых двух соседних чисел равнялась квадрату натурального числа?

Результаты регаты: