Математическая регата 8 классов 17.01.2026

1.1. Найдите наибольшую дробь со знаменателем 2026 и целым числителем, которая меньше, чем ⁵/₁₇.

1.2. Существует ли трапеция, у которой сумма диагоналей равна сумме оснований?

1.3. Сумма двух натуральных чисел – это трёхзначное число, оканчивающееся на 27. Первое число оканчивается на ноль, а если этот ноль стереть, то получится второе число. Найдите эти числа.

2.1. Архитектор создал проект дома. Однако для дома оказалось выделено слишком мало места, поэтому он уменьшил количество подъездов на 2, но добавил 3 этажа. Оказалось, что в новом проекте количество квартир стало больше, чем в изначальном. После этого архитектор захотел убрать еще 2 подъезда и добавить еще 3 этажа. Может ли оказаться так, что тогда количество квартир станет меньше количества квартир в изначальном проекте?

2.2. Три равных прямоугольника расположены так, как показано на рисунке. Найдите угол АВС.

2.3. Во время каникул 23 школьника из одного класса посетили Москву, 19 – Санкт-Петербург, 5 – Казань. Какое наименьшее количество школьников могло быть в этом классе, если каждый смог посетить не более двух городов?

3.1. Про три положительных числа известно, что сумма любого из них и квадратов двух остальных одна и та же. Следует ли отсюда, что это три одинаковых числа?

3.2. На стороне BC треугольника ABC нашлась такая точка D, что DC = AB. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BD, параллельна биссектрисе угла ABC.

3.3. Можно ли занумеровать вершины куба числами от 1 до 9, взятыми не более одного раза, так, чтобы суммы номеров вершин, лежащих в каждой грани, были равны между собой и не делились на число, не использованное при нумерации?

4.1. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством |2x+y| + |2x-y| ≤ 2.

4.2. В треугольнике ABC угол B в два раза больше угла C. На биссектрисе AL этого треугольника отмечена такая внутренняя точка K, что BK + BA = AC. Точка M – середина отрезка KL. Найдите угол BMK.

4.3. Известно, что натуральное число S + 1 кратно 24. Докажите, что сумма всех делителей числа S также кратна 24.

Результаты регаты: