Математическая регата 9 классов 10 октября 2026 года

Задания

Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов)

1.1.Решите уравнение: x³ = 6x² – 12x + 11.

1.2.Известно, что многоугольник можно накрыть квадратом площади 2 см². Обязательно ли его можно накрыть кругом радиуса 1 см?

1.3.Из множества натуральных чисел от 1 до 1000 вычеркнуто 140 чисел. Докажите, что произведение каких-то двух чисел из оставшихся делится на 21.

Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов)

2.1.Известно, что a−b=10 Докажите, что a – 2b ≤ 200.

2.2.Стороны трапеции имеют длины 20 см, 22 см, 24 см, 26 см. Какие из них могут быть основаниями трапеции?

2.3.Может ли число 6ⁿ + 1 делиться на 4ⁿ + 1 при каком-нибудь натуральном n?

Третий тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов)

3.1.Изобразите на координатной плоскости множество точек (x; y), удовлетворяющих условию:
(y² – y – 2)(x² – 4x + y² – 5) ≤ 0.

3.2.Точка D лежит на основании AB равнобедренного треугольника ABC, причём BD < AD. Окружность, описанная около треугольника ACD, пересекает биссектрису угла АСВ в точке P. Докажите, что равны углы DPB и DCB.

3.3.В тренировке участвовало 17 боксёров. Проигравший два боя уходил в раздевалку. Какое наибольшее количество боксёров могло победить хотя бы в трёх боях?

Четвёртый тур (25 минут; каждая задача — 9 баллов)

4.1.Пусть n – целое число. Докажите, что если 2+228n2+1 – целое число, то оно является точным квадратом.

4.2.Из точки А проведены к окружности касательная АВ и секущая АС, которая вторично пересекает окружность в точке D (В – точка касания, D лежит между А и С). Отмечена середина отрезка АВ – точка М, отрезок СМ пересекает окружность в точке K. Докажите, что равны углы BAK и MCD.

4.3.Петя выписал в строку числа 1, 2, 3, ..., n в порядке возрастания. Затем для каждых двух соседних чисел этой строки он в новой строке выписал их суммы, в следующей строке он выписал суммы каждых двух соседних чисел второй строки, и так далее. Какое число он записал в последней строке?

Пятый тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов)

5.1.Известно, что для некоторых чисел а, b, c, d, отличных от нуля, верно равенство: ab+cd=acbd. Найдите значение суммы ba+dc.

5.2.В треугольник АВС со сторонами АВ = 7, ВС = 8 и АС = 9 вписана окружность. Касательная к окружности пересекает стороны АВ и АС в точках D и Е. Найдите периметр треугольника ADE.

5.3.Из полного набора трёхзначных чисел наугад выбирается одно. Найдите вероятность того, что цифры выбранного числа расположены слева направо в порядке убывания.