С 30 июля по 1 августа 2006 года в Дубне прошел финальный
тур второй Всероссийской олимпиады по геометрии имени Игоря Федоровича Шарыгина.
Ниже опубликованы задачи финального тура олимпиады.
8 класс
8.1. Впишите в данный полукруг правильный
треугольник наибольшего периметра.
8.2. При каком наименьшем n существует n-угольник, который
можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ..., 2006-угольник?
8.3. Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в
вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит
через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y.
Докажите, что BX=BY.
8.4. Две равные окружности пересекаются в точках
A и B. P — отличная от A и B точка
одной из окружностей, X и Y — вторые точки пересечения
прямых PA и PB с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая
через P и перпендикулярная AB, делит одну из дуг XY пополам.
8.5.
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна
какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ — какой-нибудь стороне?
8.6.
Дан треугольник ABC и точка P внутри него.
A', B', C' — проекции P на прямые
BC, CA, AB. Докажите, что центр окружности,
описанной около треугольника A'B'C', лежит внутри треугольника ABC.
9 класс
9.1.
Дана окружность радиуса R. Две другие окружности, сумма радиусов
которых также равна R, касаются ее изнутри. Докажите, что прямая,
соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
9.2.
Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее.
Рассматриваются хорды BC, проходящие через M. Докажите, что окружности,
проходящие через середины сторон всех треугольников ABC, касаются некоторой
фиксированной окружности.
9.3. Треугольники ABC и
A1B1C1
подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA1 взята точка A',
такая что AA'/A1A' =
BC/B1C1.
Аналогично строятся точки B' и C'.
Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.
9.4. В невыпуклом шестиугольнике каждый угол равен либо
90o,
либо 270o.
Верно ли, что при некоторых длинах сторон его можно разрезать на
два подобных ему и неравных между собой шестиугольника?
9.5.
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот
неравностороннего треугольника ABC, делит его периметр и площадь в одном и
том же отношении. Найдите это отношение.
9.6.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. A', B', C', D' —
ортоцентры треугольников BCD, CDA, DAB, ABC. Докажите, что в
четырехугольниках ABCD и A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся
точками пересечения в одном и том же отношении.
10 класс
10.1. Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что
существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины
звеньев которой лежат на этих прямых, причем на каждой прямой
лежит ровно по одной вершине.
10.2. Проекции точки X на стороны
четырехугольника ABCD лежат на одной окружности.
Y — точка, симметричная X относительно
центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые
AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.
10.3. Дана окружность и точка P внутри нее,
отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной
изнутри и друг друга в точке P. Найдите геометрическое место точек
пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
10.4. Прямые, содержащие медианы треугольника ABC,
вторично пересекают его описанную окружность в точках
A1,
B1,
C1.
Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные
противоположным сторонам, пересекают ее же в точках
A2,
B2,
C2.
Докажите, что прямые
A1A2,
B1B2,
C1C2 пересекаются в одной точке.
10.5.
Может ли развертка тетраэдра оказаться треугольником со сторонами 3, 4
и 5 (тетраэдр можно резать только по ребрам)?
10.6. На доске был нарисован четырехугольник, в который можно
вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили
центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих
середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник
стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
