Двадцать третий Турнир, 2001-2002

• Осенний тур
  • Тренировочный вариант 21 октября 2001 года: 8-9 классы, 10-11 классы
  • Основной вариант 28 октября 2001 года: 8-9 классы, 10-11 классы
• Весенний тур
  • Тренировочный вариант 24 февраля 2002 года: 8-9 классы, 10-11 классы
  • Основной вариант 3 марта 2002 года: 8-9 классы, 10-11 классы

Задача 1.(4)
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC на боковой стороне AB дана точка K. Через точку A провели прямую l, параллельную прямой KC, а через точку B провели прямую m, параллельную прямой KD. Докажите, что точка пересечения прямых l и m лежит на боковой стороне CD.
В. О. Бугаенко

Задача 2.(4)
Cлава перемножил первые n натуральных чисел, а Валера перемножил первые m четных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.
В. А. Сендеров

Задача 3.(4)
В Колиной коллекции есть четыре царские золотые пятирублевые монеты. Коле сказали, что какие-то две из них фальшивые. Коля хочет проверить (доказать или опровергнуть), что среди монет есть ровно две фальшивые. Удастся ли ему это сделать с помощью двух взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Фальшивые монеты одинаковы по весу, настоящие тоже одинаковы повесу, но фальшивые легче настоящих.
Н. Н. Константинов

Задача 4.(4)
По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся 5 одинаковых шариков, а навстречу им движутся 5 других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдет между шариками?
А. Николаев

Задача 5.(4)
На плоскости отмечены несколько (больше трех) точек. Известно, что если выкинуть любую точку, то оставшиеся будут симметричны относительно какой-нибудь прямой. Верно ли, что все множество точек тоже симметрично относительно какой-нибудь прямой?
А. В. Шаповалов

Задача 1.(4)
Высотой пятиугольника назовем отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону. Медианой пятиугольника назовем отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что длины всех высот и всех медиан некоторого пятиугольника равны одному и тому же числу. Докажите, что этот пятиугольник правильный (то есть с равными сторонами и равными углами).
Р. Г. Женодаров

Задача 2.(4)
Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001!+2 , 1001!+3 , ... , 1001!+1001). А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел?
Г. А. Гальперин

Задача 3.(4)
По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся 5 одинаковых шариков, а навстречу им движутся 5 других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдет между шариками?
А. Николаев

Задача 4.(4)
На квадратном торте расположены треугольные шоколадки, которые не соприкасаются между собой. Всегда ли можно разрезать торт на выпуклые многоугольники так, чтобы каждый многоугольник содержал ровно одну шоколадку - не меньше и не больше? (Торт считайте плоским квадратом. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит соединяющийих отрезок.)
А. Я. Канель-Белов

Задача 5.(4)
В левом нижнем углу шахматной доски, а также на соседнем сверху поле и на соседнем справа поле стоит по белой ладье. Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи. Можно ли за несколько ходов переставить эти три ладьи так, чтобы каждая попала на поле, симметричное исходному относительно диагонали, соединяющей правый нижний и левый верхний углы доски?
А. В. Шаповалов

Задача 1.(4)
Существуют ли такие натуральные числа a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀, что НОД(a₁,a₂) > НОД(a₂,a₃) > ... > НОД(a₉₉,a₁₀₀) ?
(НОД(a,b) - это наибольший общий делитель чисел a и b, то есть наибольшее натуральное число, на которое делятся и a и b.)
А. В. Шаповалов

Задача 2.(5)
N красных и N синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2N дуг так, что любые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трех чисел: a, b или c. Докажите, что N-угольник с красными вершинами и N-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.
В. В. Произволов

Задача 3.(5)
Дана таблица (n-2)*n, n>2, в каждой клетке которой записано целое число от 1 до n, причем в каждой строке все числа различны и в каждом столбце все числа различны. Докажите, что эту таблицу можно дополнить до квадрата n*n, записав в каждую новую клетку какое-нибудь целое число от 1 до n так, чтобы по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце числа были различны.
С. Михайлов

Задача 4.(5)
Правильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на 2n-1 треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.
Р. Г. Женодаров

Задача 5.(6)
Саша выставляет на пустую шахматную доску ладьи: первую - куда захочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она побила нечетное число ранее выставленных ладей. Какое наибольшее число ладей он сможет так выставить? (Как обычно, ладьи бьют друг друга по вертикали и горизонтали и только если между ними нет других ладей).
А. В. Шаповалов

Задача 6.(8)
В строке записано несколько чисел. Каждую секунду робот выбирает какую-либо пару рядом стоящих чисел, в которой левое число больше правого, меняет их местами и при этом умножает оба числа на 2. Докажите, что через некоторое время сделать очередную такую операцию будет невозможно.
А. В. Шаповалов

Задача 7.(8)
Известно, что число 2³³³ имеет 101 цифру и начинается с 1. Сколько чисел в ряду 2, 4, 8, 16, ... , 2³³³ начинается с 4 ?
Г. А. Гальперин

Задача 1.(4)
На плоскости даны три красные точки, три синие точки и еще точка O. Известно, что точка O лежит и внутри треугольника с красными вершинами, и внутри треугольника с синими вершинами, причем расстояние от O до любой красной точки меньше расстояния от O до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?
П. А. Кожевников

Задача 2.(5)
Существуют ли такие натуральные числа a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀, что НОК(a₁,a₂) > НОК(a₂,a₃) > ... > НОК(a₉₉,a₁₀₀) ? (НОК(a,b) - это наименьшее общее кратное чисел a и b, то есть наименьшее натуральное число, которое делится и на a и на b.)
А. В. Шаповалов

Задача 3.(6)
Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках. Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?
А. В. Шаповалов

Задача 4.(6)
Пусть F₁, F₂, F₃, ... - последовательность выпуклых четырехугольников, где F_k+1 (при k = 1, 2, 3, ...) получается так: F_k разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырехугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)
И. Токарева

Задача 5.(7)
В бесконечной арифметической прогрессии все числа натуральны. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчеркнута цифра 1, во втором - 2, и так далее (для любого натурального n в n-ом члене подчеркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии - это степень числа 10.
А. В. Шаповалов

Задача 6.(7)
В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причем для любого числа n от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно n шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй - 2 шарика, и так далее, в 23-й - 23 шарика?
Р. Г. Женодаров

Задача 7.(3+6)
На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.
а)(3) Может ли площадь такого треугольника быть больше 1/2 ?
б)(6) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.
Е. Черепанов

Задача 1.(4)
Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером a*b см, где a и b - целые числа, причем a меньше b. Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49*51 см, и прямоугольник 99*101 см.
Можно ли по этим данным однозначно определить a и b?
С. А. Дориченко

Задача 2.(5)
Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник?
А. А. Заславский

Задача 3.(5)
Для натуральных чисел x и y число x²+xy+y² в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.
В. В. Произволов

Задача 4.(5)
Стороны AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD касаются некоторой окружности в точках K, L, M и N соответственно, S - точка пересечения отрезков KM и LN. Известно, что вокруг четырехугольника SKBL можно описать окружность. Докажите, что вокруг четырехугольника SNDM также можно описать окружность.
А. Акопян

Задача 5.(3+3)
а)(3) Есть 128 монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса не более чем за 7 взвешиваний?
б)(3) Есть восемь монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?
А. В. Шаповалов

Задача 1.(4)
Для натуральных чисел x и y число x²+xy+y² в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.
В. В. Произволов

Задача 2(5)
Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников. Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.
В. О. Бугаенко

Задача 3.(5)
Есть 6 кусков сыра разного веса. Известно, что можно разложить сыр на две кучки по три куска так, чтобы кучки весили поровну. Как можно сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь, если про любые два куска на глаз видно, какой весит больше?
А. В. Шаповалов

Задача 4.(5)
Сколькими способами можно расставить числа от 1 до 100 в прямоугольнике 2*50 так, чтобы любые два числа, различающиеся на 1, всегда попадали бы в клетки с общей стороной?
А. В. Шаповалов

Задача 5.(6)
Существует ли правильная треугольная призма, которую можно оклеить (без наложений) различными равносторонними треугольниками? (Разрешается перегибать треугольники через ребра призмы.)
Л. А. Емельянов

 
Пояснения к задаче 5 тренировочного варианта для старших классов.
Ребра правильной призмы перпендикулярны к ее основаниям, которые являются правильными треугольниками. Обклеиваются все грани призмы, включая основания. Треугольники, используемые для обклеивания, должны быть все равносторонними и отличающимися друг от друга по размерам. Заклеена должна быть вся поверхность призмы в один слой без налегания треугольников, в то время как границы треугольников могут соприкасаться. Каждый треугольник должен быть использован целиком, так что никакая его часть не должна висеть в воздухе.

Задача 1.(4)
Пусть a, b, c - длины сторон треугольника.
Докажите неравенство: a³+b³+3abc > c³.
В. А. Сендеров

Задача 2.(4)
На клетчатой доске размером 23х23 клетки стоят 4 фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски - по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по черной. Белые и черные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли черные им помешать?
Е. Зинин, П. Кожевников

Задача 3.(6)
В выпуклом четырехугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырехугольник на 4 треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?
С. Шестаков

Задача 4.(7)
В ряд расположили n лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких n можно так зажечь некоторые лампочки вначале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?
А. Горбачев

Задача 5.(7)
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей - опять на две части, и так далее: на каждом шагу выбирали любую одну из уже имеющихся частей и разрезали ее (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
Г. Гальперин

Задача 6.(7)
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности каждое число, начиная с некоторого места, равно сумме всех предыдущих чисел.
А. В. Шаповалов

Задача 7.(8)
С цепочкой домино, сложенной по обычным правилам, разрешается проделывать такую операцию: выбирается кусок из нескольких подряд доминошек с одинаковыми очками на концах куска, переворачивается целиком и вставляется на то же место. Докажите, что если у двух цепочек, сложенных из двух одинаковых комплектов домино, значения очков на концах совпадают, то разрешенными операциями можно сделать порядок следования доминошек во второй цепочке таким же, как в первой.
А. В. Шаповалов

Задача 1.(4)
Тангенсы углов некоторого треугольника - целые числа. Найдите эти тангенсы.
А. А. Заславский

Задача 2.(4)
Верно ли, что на графике функции y=x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции y=x³+|x|+1 - такую точку B, что расстояние AB не превысит 1/100?
А. Спивак, А. Хачатурян

Задача 3.(5)
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел.
Докажите, что в этой последовательности каждое число, начиная с некоторого места, равно сумме всех предыдущих чисел.
А. В. Шаповалов

Задача 4.(5)
Компания зрителей купила все билеты в один ряд, но села туда наугад, причем каждый оказался не на своем месте. Билетер может поменять местами любых двух соседей, сидящих не на своих местах, и так много раз (но не может пересаживать зрителя, уже попавшего на свое место). Верно ли, что при любой начальной рассадке билетер может действовать так, чтобы все расселись по своим местам?
А. В. Шаповалов

Задача 5.(6)
Пусть AA₁, BB₁, CC₁ - высоты остроугольного треугольника ABC; O_A, O_B, O_C - центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C - точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно.
Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.
Л. А. Емельянов

Задача 6.(7)
Колоду из 52 карт разложили в виде прямоугольника 13х4. Известно, что если две карты лежат рядом по вертикали или горизонтали, то они одной масти либо одного достоинства. Докажите, что в каждом горизонтальном ряду (из 13 карт) все карты одной масти.
А. В. Шаповалов

Задача 7.(8)
7. Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a>1, b>1, и [a^m] отлично от [bⁿ] при любых натуральных числах m и n? ([x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превышающее x.)
В. А. Сендеров, А. В. Спивак