Задача 1.(4)
В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей,
не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник
разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно
у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями
этого 2002-угольника?
Р. Г. Женодаров
Задача 2.(5)
Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе.
Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом -
их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём
оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число,
Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша
сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?
Д. Кириенко
Задача 3.(1+2+2)
а)(1) В классе была дана контрольная. Известно, что
по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались
трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две
трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети
школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой
школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной.
Могло ли такое быть?
б)(2) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить
везде в её условии две трети на три четверти?
в)(2) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить
везде в её условии две трети на семь десятых?
А. Шень
Задача 4.()5
На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3,... , 2002.
Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут
взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра
суммы чисел на взятых карточках. Выясните, кто из играющих может всегда
выигрывать независимо от игры противника, и объясните, как он должен
при этом играть.
М. А. Шаповалов
Задача 5.(5)
Дан некоторый угол и точка A внутри угла. Можно ли провести через
точку A три прямые так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек
пересечения этих прямых со стороной лежала посредине между двумя другими
точками пересечения прямых с этой же стороной?
А. В. Шаповалов
Задача 1.(4)
Саша и Маша загадали по натуральному числу и
сказали их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму
загаданных чисел, а на другом --- их произведение, после чего
один из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано
число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал,
что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша
сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число
загадала Маша?
Д. Кириенко
Задача 2.(1+1+2)
а)(1) В классе была дана контрольная. Известно, что
по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались
трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две
трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети
школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой
школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной.
Могло ли такое быть?
б)(1) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить
везде в ее условии две трети на три четверти?
в)(2) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить
везде в ее условии две трети на семь десятых?
А. Шень
Задача 3.(5)
Несколько прямых, никакие две из которых не параллельны, разрезают
плоскость на части. Внутри одной из этих частей отметили точку A.
Докажите, что точка, лежащая с A по разные стороны от всех данных прямых,
существует тогда и только тогда, когда часть, содержащая A, неограничена.
А. А. Заславский
Задача 4.(5)
Пусть x, y, z - любые числа из интервала (0;Пи/2).
Докажите неравенство
(x*cos(x)+y*cos(y)+z*cos(z))/(x+y+z) <= (cos(x)+cos(y)+cos(z))/3.
В. Колосов
Задача 5.(5)
В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее
число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.
Докажите, что в этой последовательности найдется четное число.
А. В. Шаповалов
Задача 1.(4)
В банке работают 2002 сотрудника. Все сотрудники пришли на юбилей,
и их рассадили за один круглый стол. Известно, что зарплаты сидящих рядом
различаются на 2 или 3 доллара. Какой наибольшей может быть разница двух
зарплат сотрудников этого банка, если известно, что все зарплаты
сотрудников различны?
Р. Г. Женодаров
Задача 2.(5)
Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000
(числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений
запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты
(в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений
восстановить его номер?
А. В. Шаповалов
Задача 3.(6)
Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых -
1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара
"противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника)
отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две
параллельные стороны.
В. В. Произволов
Задача 4.(6)
Внутри треугольника ABC взята точка P так, что угол ABP равен углу ACP,
а угол CBP равен углу CAP. Докажите, что P - точка пересечения высот
треугольника ABC.
Р. Г. Женодаров
Задача 5.(7)
Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом
диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены
в черный и белый цвета так, что любые два треугольника с общей стороной
раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности
количества белых и количества черных треугольников.
Р. Г. Женодаров
Задача 6.(9)
Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число
от 1 до n. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна k*(n!),
где k - целое число. Докажите, что карточки можно разложить на k групп так,
чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась n!.
В. Доценко
Задача 7.(5)
а)(5) Электрическая схема имеет вид решетки 3x3: всего в схеме
16 узлов (вершины квадратиков решетки), которые соединены проводами (стороны
квадратиков решетки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно
измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли
между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших
проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток
проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений
всегда можно в этом удостовериться?
б)(5) Тот же вопрос для схемы, которая имеет
вид решетки 5x5 (всего 36 узлов).
А. В. Шаповалов
Задача 1.(4)
Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000
(числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений
запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты
(в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений
восстановить его номер?
А. В. Шаповалов
Задача 2.(6)
Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился
пятиугольник. Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника
отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.
Г. А. Гальперин
Задача 3.(6)
Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом
диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены
в черный и белый цвета так, что любые два треугольника с общей стороной
раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности
количества белых и количества черных треугольников.
Р. Г. Женодаров
Задача 4.(8)
Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число
от 1 до n. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна k*(n!),
где k - целое число. Докажите, что карточки можно разложить на k групп так,
чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась n!.
В. Доценко
Задача 5.(4+4)
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена
прямая, вторично пересекающая первую и вторую окружности в точках K и M
соответственно. Прямая PQ касается первой окружности в точке Q и
параллельна прямой AM, а прямая PR касается второй окружности в точке R
и параллельна прямой AK. Точки Q и R лежат по разные стороны от прямой KM.
Докажите, что
а)(4) точка A принадлежит прямой QR;
б)(4) точка P принадлежит прямой KM.
В. Ю. Протасов
Задача 6.(8)
Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2
соответственно, а каждый следующий член - это наименьшее натуральное число,
которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто
с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное
число входит в эту последовательность.
J. C. Lagarias, E. M. Rains, N. J. A. Sloane
Задача 7.(4+5)
а)(4) Электрическая схема имеет вид решетки 3x3: всего в
схеме 16 узлов (вершины квадратиков решетки), которые соединены проводами
(стороны квадратиков решетки). Возможно, часть проводов перегорела.
За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить,
проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка
неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема
такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее
число измерений всегда можно в этом удостовериться?
б)(5) Тот же вопрос для схемы, которая имеет вид
решетки 7x7 (всего 64 узла).
А. В. Шаповалов