Большое число нулевых работ, выполненных на Турнире в ряде городов, есть следствие того, что школьники никогда прежде не видели задач, отличающихся от стандартных школьных и требующих для решения известной смелости и находчивости. Мы рассылаем местным организаторам Турнира избранные задачи, предлагаемые на занятиях математических кружков в Москве. Если в вашем городе есть недостаток в тренировочных задачах для Турнира городов, то высылаемая подборка может вам помочь.
Желательно довести задачи до учащихся, которые придут на весенний тур, хотя бы за две недели до тура. Может быть, нужно послать их в школы, может быть - лично участникам осеннего тура - способы могут быть различными в разных городах. Во многих случаях это может оказаться технически невыполнимым - во всех случаях мы ожидаем от местных организаторов пожеланий и соображений. В следующий раз мы можем отпечатать подобную подборку в виде брошюры и разослать по местам; желательно получить заявку с указанием требуемого тиража. Небольшое количество экземпляров мы вышлем бесплатно, на большее требуется оплата. Решенные школьниками задачи желательно с ними подробно разбирать, если есть возможность с ними встречаться. Но не будет пользы от таких занятий, на которых ученикам, не предпринявшим серьезных попыток решить задачу, эти решения будут рассказываться.
В Москве была традиция проводить перед олимпиадой консультации, на которых разбирались задачи. Эта традиция умерла, когда появилось много математических школ.
Предлагаемая подборка начинается со сравнительно простых задач, но дальше сложность возрастает. Задачи могут быть полезными не только для младших классов, но вообще для начинающих заниматься математикой.
Дорогие друзья!
Этот сборник поможет приобрести начальный опыт решения нестандартных задач. На последней странице приведены задачи для 8-9 классов, которые предлагались на тренировочном туре Турнира городов, проходившем 20 октября во многих городах (в Москве это соревнование не проводилось). Узнавать новые задачи, решать задачи, рассказывать их и обсуждать можно на многих кружках в МГУ, в Центре непрерывного математического образования, в математических школах, в частности в новом кружке при школе No 179, приглашение на который Вы найдете в предисловии к этому сборнику.
Задачи Турнира городов, с которыми Вы сегодня познакомились, необычны для школы. Хотя они и не требуют дополнительных знаний, трудны они уже тем, что для каждой из них нужен свой подход. Мы надеемся, что некоторые из этих задач понравились Вам настолько, что Вы не пожалеете времени и сил, чтобы решать их хотя бы после Турнира. Поэтому мы сообщим решения только на закрытии, которое пройдет в декабре. Тогда же все результаты участников будут опубликованы на сайте Турнира городов в интернете.
Способность долго думать над задачей - одно из главных условий успешной работы в математике. В этой науке можно освоиться только если сам процесс ученья, в частности решение задач, может доставить радость несмотря на трудности и неудачи.
О времени и месте закрытия мы сообщим письмом, которое дойдет до вас конечно только в том случае, если вы правильно и разборчиво написали на карточке участника свой домашний адрес.
Если Вы пока не занимаетесь в математических кружках, на Малом мехмате или в вечерних математических школах, то приглашаем Вас на занятия Вечерней математической школы (кружка), которые проходят в школе No 179 по вторникам с 17 до 19 часов. Адрес школы - ул. Большая Дмитровка, дом 5/6, строение 7, поезд - ст. метро "Охотный ряд", "Театральная", "Площадь Революции", "Кузнецкий мост". Вход с Георгиевского переулка, тел. 292-01-05. Если же Вы уже занимаетесь в каких-либо кружках или вечерних школах, то приходите в 179 школу на разведку, однако постоянно заниматься в двух местах мы не советуем, так как у Вас просто не будет времени решать задачи.
Занятия в вечерней школе при 179 школе бесплатные. Они расчитаны на учеников 8 класса, но мы приглашаем и более молодых учеников.
В сборник, который Вы держите в руках, включены избранные задачи Малого мехмата от сравнительно простых до сложных. Составил сборник член Жюри Турнира городов С.А.Дориченко, известный многим школьникам как учитель математических классов и руководитель кружков.
Турнир городов, в котором Вы сегодня принимаете участие, проходит в эти же часы более, чем в ста городах 25 стран мира. Сборник этот предлагается всем участникам Турнира городов, не только москвичам.
Оргкомитет Турнира городов.
1.1. Наполненный доверху водой сосуд весит 5 кг, а наполненный наполовину - 3 кг 250 г. Сколько воды вмещает сосуд?
1.2. Девять одинаковых открыток стоят меньше десяти рублей, а десять таких же открыток стоят больше одиннадцати рублей. Сколько стоит одна открытка? (Известно, что одна открытка стоит целое число копеек.)
1.3. В банк кладется 100 руб. В каком случае спустя 5 лет вкладчик получит больше денег: если банк начисляет 7 процентов имеющейся суммы раз в год или если он начисляет 7/12 процента раз в месяц?
1.4. Города А и Б расположены на реке в 10 км друг от друга. На что пароходу потребуется больше времени: проплыть от А до Б и обратно, или проплыть 20 км по озеру?
1.5. Фрекен Бок съедает торт за полчаса, Малыш - за час, а Карлсон - за 5 минут. За какое время они съедят торт вместе?
2.1. Кузнечик прыгает по прямой на 6 и на 8 см
(в любую сторону). Сможет ли он попасть в точку, расстояние от
которой до исходной равно
а) 7 см;
б) 4 см?
2.2. Вася рвет газету на 8 частей, одну из получившихся частей - еще на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2002 части?
2.3. Число при делении на 2 дает в остатке 1, а при делении на 3 дает в остатке 2. Найдите остаток от деления этого числа на 6.
2.4. Докажите, что k3-k делится на 6 при любом целом k.
2.5. На какую цифру оканчивается число 32002?
3.1. а) В заборе 20 досок, каждую надо покрасить в синий,
зеленый или желтый цвет, причем соседние доски должны быть покрашены в
разные цвета. Сколькими способами это можно сделать?
б) А если требуется еще, чтобы хоть одна из досок была синей?
3.2. В классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно
выбрать из них
а) дежурного и старосту;
б) двух дежурных;
в) трех дежурных?
3.3. У Пети есть 5 книг по математике, а у Васи - 7. Сколькими способами они могут обменять две книги одного на две книги другого?
3.4. В кухне 5 лампочек, каждая может гореть или не гореть. Сколькими способами можно осветить кухню?
3.5. Меню в школьном буфете постоянно и состоит из 10 разных
блюд. Чтобы разнообразить свое питание, Петя решил каждый день
выбирать себе завтрак по-новому.
а) Сколько дней ему удастся это делать?
б) Сколько блюд он съест за это время?
4.1. В классе учится 25 учеников.
а) Докажите, что найдутся 2 ученика, родившиеся в одном и том же месяце.
б) Обязательно ли найдутся 3 таких ученика?
4.2. 15 ребят собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них собрали одинаковое число орехов.
4.3. Докажите, что из любых 10 натуральных чисел, ни одно из
которых не делится на 10, можно выбрать
а) 2 числа, разность которых делится на 10;
б)* несколько чисел, сумма которых делится на 10.
4.4. Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?
4.5*. Можно ли накрыть равносторонний треугольник двумя меньшими равносторонними треугольниками?
5.1. Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из крана в больший из этих сосудов 4 л воды?
5.2. В числе 3141592653589793 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.
5.3.
- У Димы больше тысячи книг!
- Да нет, у него меньше тысячи книг.
- Ну уж одна-то книга у него есть.
Известно, что среди этих утверждений ровно одно верное. Сколь-
ко книг может быть у Димы?
5.4. У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих. Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?
5.5. Соревнование по стрельбе из лука проводилось в два дня. Каждый участник в первый день выбил столько очков, сколько все остальные вместе во второй день. Докажите, что все участники выбили поровну очков.
6.1. Нарисуйте на плоскости
а) 4;
б) 5;
в) 6 точек так, чтобы любые 3 из них образовывали
равнобедренный треугольник.
6.2. а) На сколько частей могут делить плоскость три различные
прямые? Для каждого случая нарисуйте пример.
б) Тот же вопрос для четырех прямых.
6.3. В треугольнике ABC угол B прямой, AB=BC=1. На стороне AC взяли точку и нашли сумму расстояний от нее до сторон AB и BC. Можно ли наверняка сказать, какое получилось число?
6.4. Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на два остроугольных треугольника?
6.5. Дан лист клетчатой бумаги. Как с помощью карандаша и линейки нарисовать квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки?
6.6. В треугольнике отметили середины двух сторон. С помощью только карандаша и односторонней линейки без делений найдите середину третьей стороны.
6.7. В трапеции ABCD основание AD больше основания BC. Что больше: сумма углов A и D или сумма углов B и C?
6.8. В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы этого треугольника.
6.9. На стороне AB квадрата ABCD построили (снаружи) равносторонний треугольник AKB. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CKD, если AB=1.
7.1. Король со свитой движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждый час он высылает гонцов в Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б?
7.2. Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "В лесу 99 процентов сосен. Мы будем рубить только сосны. После рубки сосны будут составлять 98 процентов всех деревьев". Какую часть леса вырубит леспромхоз?
7.3. - А у нас в классе 25 человек, и каждый дружит ровно
с семью одноклассниками!
- Не может быть этого, - ответил приятелю Витя Иванов,
победитель олимпиады.
Почему он так ответил?
7.4. Сумма квадратов двух целых чисел делится на 3. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 3.
7.5. В стране 15 городов, каждый соединен дорогами не менее, чем с 7-ю другими. Докажите, что из любого города можно прое- хать в любой другой: либо напрямую, либо через один промежу- точный город.
7.6. В классе 28 человек. Каждая девочка дружит с четырьмя мальчиками, а каждый мальчик - с тремя девочками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
7.7. Докажите, что среди учеников любого класса найдутся двое, имеющие одинаковое число знакомых в этом классе (если, конечно, в этом классе не менее двух учеников).
7.8. а) Сколько чисел от 1 до 1000 не содержат в своей записи
цифру 3? А сколько содержат?
б) Сколько чисел от 1 до 1000 содержат в своей записи цифры 1 и 2?
7.9. Ожерелье должно состоять из пяти бусин. Сколько таких ожерелий разного вида можно составить, если имеется неограниченное количество синих и зеленых бусин?
7.10. Можно ли в таблице 5*5 расставить несколько чисел так, чтобы сумма чисел в любом столбце равнялась восьми, а в любой строке - девяти?
7.11. Квадрат 8*8 сложен из доминошек 1*2. Докажите, что какието две из них образуют квадрат 2*2.
7.12. Дано 2002 целых числа. Известно, что сумма любых 23-ех из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел также положительна.
7.13. Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?
7.14. Две каменные лестницы одинаковой высоты 1 м и с одинаковым основанием длины 2 м, покрыты дорожками. У первой лестницы 7 ступенек, а у второй - 9. Хватит ли дорожки, покрывающей первую лестницу, для покрытия второй?
7.15*. Кубик 3*3*3 легко распилить на 27 единичных кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если перекладывать распиленные части?