1. На некотором острове 15 государств. У каждого из них хотя бы одно соседнее государство дружественное. Докажите, что найдётся государство, у которого чётное число дружественных соседних государств. (Два государства называются соседними, если у них имеется целый кусок общей границы.)
2. Из квадратного листа клетчатой бумаги, содержащего целое число клеток, вырезали квадрат, содержащий целое число клеток так, что клеток осталось 52. Сколько клеток мог содержать первоначальный лист бумаги?
3. Можно ли на плоскости нарисовать 12 окружностей так, чтобы каждая окружность касалась ровно пяти окружностей?
4. В таблице 10*10 по порядку расставлены числа от 0 до 99 (в первой строке от 0 до 9, во второй от 10 до 19 и т. д.). Затем перед каждым из чисел поставлен знак "+" или "-" так, что в каждой строке и в каждом столбце оказалось по пять знаков "+" и пять знаков "-". Чему может быть равна сумма всех чисел таблицы с учётом расставленных знаков?
Материалы конкурса по математике также опубликованы в интернет-проекте «Задачи»: http://www.problems.ru/view_by_source_new.php?parent=111462
Материалы 1990 года по истории см. здесь.
Остальные задания 1990 года, к сожалению, пока не найдены.
Остальные материалы, к сожалению, пока не найдены. Если такие материалы турнира у Вас есть и Вы хотите передать их нам — просьба связаться по электронной почте (turlom@mccme.ru).