Участникам турнира про предложенные задания сообщалась следующая информация. В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется. Ученикам 7 класса и младше достаточно решить одну "свою" задачу, ученикам 8 класса и старше - две "своих" задачи. Решать остальные задачи тоже можно.
1. (6-8) Пассажир хочет проехать по подземной линии метро так, чтобы за время своей поездки провести в туннелях как можно меньше времени. Куда ему следует садиться: в начало поезда, середину или хвост?
(Сами станции туннелями не считаются, хотя и находятся под землёй. Разные вагоны проводят в туннеле разное время из-за того, что на станциях поезд плавно увеличивает свою скорость и также плавно тормозит.
Решение. Обозначим на оси времени моменты появления на какой-нибудь станции начала, середины и конца поезда +Н, +С и +К, а моменты последующего уезда с этой станции - соответственно -Н, -С и -К. Получится примерно такая картина:
+Н.....+С...............+К...................................-Н...............-С.....-К
Интервал между +Н и +С короче интервала между +С и +К потому, что к моменту появления на станции середины поезда он уже успел затормозить, поэтому на выезд из туннеля задней половины поезда будет израсходовано больше времени, чем на выезд передней половины. Аналогично выбраны расстояния между точками -Н, -С и -К. Время стоянки поезда на станции (от +К до -Н) выбрано условно и на ответ не влияет.
Если поезд разгоняется и тормозит "симметрично", то наиболее выгодное место с точки зрения нашей задачи - середина состава (расстояние между буквами С больше, чем меду буквами Н или буквами К, то есть именно середина поезда проводит больше всего времени на станциях, и поэтому меньше всего - в туннелях.). Незначительные различия в зависимостях скорости от времени при торможении и разгоне могут незначительно сдвинуть наиболее выгодное место расположения.
Разумеется, в нестандартных ситуациях, которые в условии задачи не предполагаются, ответ может сильно отличаться от полученного в решении. Например, если на станцию выехал только первый вагон, после чего поезд сломался, остановился и дальше поехал только через час, то наиболее выгодное место окажется именно в первом вагоне.
Замечание. Эта задача возникла из практики. А именно, известно, что на (некоторых) станциях (московского метро) мобильные телефоны работают, а в туннелях нет. Указанным в решении способом можно "увеличить" время своего пребывания на каждой станции (в зоне уверенного приёма радиосигнала) на несколько секунд. Этого времени как раз хватает на один разговор по мобильному телефону.
2. (6-9) Вдалеке стоит деревенский домик. Из трубы идёт дым и относится ветром вправо. Рассматривая домик через увеличительное стекло (стоя на том же месте), мы увидим перевёрнутое изображение (труба будет торчать вниз). А в какую сторону пойдёт "перевёрнутый" дым (вслед за "настоящим" дымом или обратно)?
Ответ. "Перевёрнутый" дым пойдёт в сторону, противоположную "настоящему".
Комментарий. Термин "перевёрнутый" в контексте типа "линза создаёт перевёрнутое изображение" - не очень удачный. Его, конечно, вместо неудачного можно считать условным (но только после разъяснения сути дела, которое во многих школьных учебниках отсутствует).
На самом деле линза, конечно же, ничего не переворачивает, а осуществляет преобразование центральной симметрии (которое на плоскости эквивалентно повороту на 180o вокруг центра симметрии), в чём легко убедиться, мысленно построив ход лучей в пространстве.
Но говорить "центрально-симметризованное изображение" менее удобно, чем "перевёрнутое изображение". Видимо, поэтому чаще и говорят "перевёрнутое". К тому же, при построении на плоскости, "переворот" отрезка даёт тот же результат, что и центральная симметрия. Видимо, поэтому термин "перевёрнутое изображение" часто употребляется в описанной ситуации. Но понимать его нужно именно как поворот на 180o, а не как только изменение ориентации верх-низ.
3. (6-9) Человек, неудачно наступивший на лежащие на земле грабли, может получить удар ручкой этих граблей. Предложите (и объясните) способ устранения этого недостатка (способ должен быть таким, чтобы у граблей не появилось других, более существенных недостатков).
Комментарий. Разумеется, во времена технического прогресса можно изготовить грабли с электронной начинкой, ручка которых, например, будет снабжена видеокамерой. Тогда специальная компьютерная программа могла бы распознавать ситуации, когда ручка движется на человека, и самостоятельно отклонять ручку в сторону.
Но такие "грабли" наверняка окажутся слишком дорогими (что является существенным недостатком, противоречащим условию задачи). К тому же, разработка механической части, системы управления и программного обеспечения для таких "граблей" - необходимая часть решения (если выбран такой путь решения), а дело это очень непростое.
(Заметим, что такие "умные" инструменты, самостоятельно отслеживающие выполняемые с помощью них манипуляции, действительно существуют и применяются там, где ошибки недопустимы или невыгодны по сравнению со стоимостью таких инструментов - в научных исследованиях, медицине, космической технике, атомной промышленности, на сборочном конвейре и т.п.).
Но грабли к таким ситуациям не относятся. Поэтому рассмотрим более простые способы.
а) Можно сделать ручку потяжелее - так, чтобы веса человека, наступившего на зубья, было недостаточно, чтобы ручка пришла в движение. Но тогда граблями будет не очень удобно пользоваться. К тому же, если на грабли всё же удастся наступить с достаточной силой (например, с разбегу), то ... Разумнее ручку, наоборот, сделать как можно легче (такие материалы есть, например, из них изготавливают лыжные палки для спортсменов). В любом случае можно надеть на конец ручки наконечник для смягчения возможного удара.
б) Зубья можно загнуть не под прямым углом, а немного бо'льшим или немного меньшим 90o. В первом случае основания зубьев будут выполнять роль "упоров" (см. конец пункта е). Во втором случае ручка может подскочить, но во время движения грабли упрутся зубьями в землю до того, как ручка достигнет вертикального положения и сможет ударить человека. (Отметим, согнутые по не под прямым углом зубья делают грабли не менее удобными - сгребаемый материал может или "набиваться" в зубья, либо "выскальзывать" из-под них.)
в) Можно сделать зубья такими, чтобы на них наступить было как можно труднее и неудобнее. Например, сделать их длинными - примерно 50 см в длину (грести такими непривычными граблями вполне можно). К тому же такие зубья будут и более заметными. Но если за них всё же кто-то запнётся, то ...
г) Можно к гребёнке приделать дугу (с обратной стороны от зубьев, в плоскости, перпендикулярной ручке). Такие грабли будет просто невозможно положить на землю так, чтобы можно было наступить на зубья. Но зато за саму дугу можно запнуться, и ...
д) Можно удалить из гребёнки центральные зубья, которые наиболее опасны для наступания. А при наступании на боковые зубья ручка скорее всего улетит вбок и не попадёт по наступившему. Также легко сообразить, что для возникновения обсуждаемого нежелательного эффекта с граблями на боковые зубья нужно давить с бо'льшим весом.
е) Очевидно, что ручке граблей "подскочить" в результате наступания на зубья тем легче, чем больший крутящий момент создаёт нога человека относительно возможной точки поворота. Поэтому этот момент нужно по возможности уменьшать (для этого радиус закругления зубьев в плоскости, перпендикулярной поверхности земли, должен быть как можно меньше; но при этом край для безопасности всё же не должен быть острым). Крутящий момент вообще можно сделать отрицательным, то есть прижимающим ручку к поверхности земли. Этого можно добиться с помощью специальных упоров, торчащих от основания зубьев перпендикулярно этим зубьям (то есть в направлении ручки). Чтобы не мешать работе, эти выступы должны быть короче зубьев в 3-4 раза.
ж) Можно вообще сделать "симметричные" грабли - с двумя рядами зубьев, торчащими в противоположные стороны. Тогда, если грабли лежат на земле, какие-нибудь зубья будут выполнять функцию упоров, и к тому же подковыривать землю, что также затруднит подскакивание ручки.
з) Гребёнку можно сделать не прямой, а дугообразной (ручка граблей прикрепляется к центру дуги с внешней стороны, зубья делаются разной длины так, чтобы их концы располагались в плоскости, наиболее удобной для работы). В этом случае при наступании на центральные зубья края дуги будут выполнять функции упоров, а при наступании на один из краёв грабли упрутся в противоположный край гребёнки. Конечно, мусор из-под таких граблей будет "разбегаться", а траву или сено (которые всё равно цепляются за зубья) можно грести без проблем.
и) Если грабли предназначены только для травы или сена, то зубья можно изготовить из упругой резины. Упругость должна быть такой, чтобы они не гнулись от сена, но сгибались под тяжестью человека (заметим также, что в сене нагрузка распределяется по всем зубьям, а ногой можно наступить только на два или три соседних).
к) Комбинируя предыдущие способы, можно сделать грабли, у которых центральные зубья - резиновые, а боковые - металлические.
Некоторые участники предлагали сделать на ручке граблей шарнирное соединение с упором, позволяющее перегибаться ручке только в одну сторону. По их замыслу при наступании на зубья ручка должна была перегибаться. К сожалению, такие грабли окажутся непригодными и для работы, так как во время работы ручка будет перегибаться в ту же сторону.
4. (7-10) До быстро вращающегося точильного круга дотронулись металлическим предметом. От места контакта отлетают "искры", которые некоторое время летят по воздуху в виде светящихся точек, а потом "взрываются" (разлетаются на части), хотя внешние условия, в которых находится искра, не меняются. Предложите физическое объяснение причины "взрыва" искр.
Комментарий. Разумеется, правильным нужно считать любое описание, которое подходит к условию задачи и не противоречит общепринятым физическим представлениям.
На фотографии наблюдаемое явление выглядит так:
(Как видно, не все "следы" заканчиваются "взрывами".
Скорее всего это означает, что они произошли уже после окончания
фотосъёмки. По этой же причине некоторые следы начинаются не
у точильного круга, а просто в воздухе - их начальный участок
также просто не был заснят).
Наиболее вероятная история каждой искры - такая.
а) маленький кусочек металла отрывается от металлического предмета. Удар и отрыв - это неупругая деформация, в результате которой выделяется теплота. Но на металлическом предмете оказывается нагретым сравнительно небольшой (по сравнению с размерами предмета) участок; теплопроводность металла хорошая, поэтому тепло от нагретого участка сравнительно быстро распределяется по объёму металла.
б) Другое дело - маленький кусочек. Там теплу распределятся некуда. Поэтому его поверхность остаётся горячей. Если её температура превышает температуру воспламенения - кусочек загорается (обычно горение начинается ещё в момент отрыва, но на основной части металла горение из-за теплопотерь тут же прекращается, а кусочек горит дальше).
в) Если размеры кусочка сравнимы с характерными размерами области горения, в процесс горения вовлекается вся поверхность металла. С этого момента кусочек металла оказывается внутри поверхности с температурой горения этого металла. От этого он будет только нагреваться (и он не может охлаждаться атмосферным воздухом, т. к. не имеет непосредственного контакта с атмосферой).
г) Далее металл сначала нагреется до температуры плавления, потом расплавится (на плавление также затрачивается энергия горения), превратившись в жидкость, будет нагреваться дальше.
д) В момент, когда температура расплавленного металла станет такой, что давление насыщенных паров металла при данной температуре сравняется с атмосферным давлением, капля "закипит", то есть разлетится на части, что и выглядит как взрыв. (Точнее говоря, кипеть будет уже не сам металл, а по крайней мере раствор в этом металле (или металлов, если это был сплав) продуктов горения и, возможно, других веществ, например, соединений металла с азотом, образовавшихся при высокой температуре).
Разумеется, описанный эффект будет наблюдаться не со всеми металлами (и сплавами), а только с обладающими подходящим набором параметров (температура воспламенения и горения, удельная теплоёмкость в твёрдом и жидком состоянии, температура плавления, температура давления насыщенных паров, соответствующего атмосферному давлению, и др.)
Другой возможный "сценарий" развития событий - растрескивание искры из-за нагревания, которое почти наверняка окажется неравномерным. Растрескиваться может как сам металл, так и образовавшаяся на его поверхности хрупкая оксидная корка.
Некоторые участники совершенно справедливо заметили, что описанная в задаче ситуация также может наблюдаться при падении на Землю металлических метеоритов.
5. (8-11) На одном промышленном предприятии решали проблему - по территории проходит дорога, делающая резкий поворот. Обзор дороги за поворотом загорожен оборудованием. В этом месте часто происходили мелкие аварии - водители слишком поздно замечали за поворотом встречную машину. Решили изготовить и установить на повороте большое зеркало, чтобы водителям было видно, что происходит за углом. Какое зеркало лучше всего подходит для этой цели - плоское, выпуклое или вогнутое?
Ответ. Категоричного ответа на поставленный вопрос дать нельзя. В большинстве подобных случаев, скорее всего, лучше всего использовать выпуклое зеркало.
Комментарий. Плоское зеркало (по сравнению с любым "кривым") обеспечивает меньшие возможности обзора (ограниченные условием "угол падения равен углу отражения"). Кривое зеркало состоит как бы из "плоских", расположенных под разными углами и позволяющих просматривать всевозможные направления. В вогнутое зеркало, по сравнению с выпуклым, труднее и неудобнее "заглядывать"; к тому же оно может сфокусировать в глаза водителю свет Солнца, фар и т.п., что нежелательно. Искажение изображения автомобиля в "кривом" зеркале в данном случае не очень важно - главное получить информацию о том, что автомобиль за углом вообще имеется. Искажение в подобных случаях оказывается даже желательным - если изображение выглядит неестественно, водителю будет труднее случайно принять зеркало за реальную картину местности.
6. (9-10) В результате горения водорода на воздухе получается вода. На самом деле этот процесс намного сложнее. Например, в результате образуется также перекись водорода (химическая формула H2O2. Раствор этого вещества в воде относительно устойчив при комнатной температуре (используется, например, в медицинских целях). Но в пламени из-за высокой температуры почти вся образовавшаяся перекись водорода тут же разлагается. Предложите способ сжигания водорода, позволяющий существенно увеличить количество получаемой перекиси водорода.
Ответ. Один из наиболее простых и эффективных способов --- зажечь "факел" водорода и "облизывать" им кусок льда. Температура поверхности таящего льда - всегда 0 oC, точнее, мало отличается от этого значения. Лёд во время плавления очень эффективно поглощает тепло. В результате можно создать область с низкой температурой непосредственно в зоне горения, где образуется перекись водорода, что и требуется.
При таянии льда образуется только вода, то есть полученная перекись больше не будет ничем загрязняться.
Заметим, что придумать более эффективный способ охлаждения достаточно трудно - размещение в зоне горения каких-либо охлаждённых до температуры меньше 0 oC предметов приведёт к тому, что на них всё равно намёрзнет лёд.
7. (9-10) Незнайка гулял по берегу не очень быстрой и не очень глубокой речки и заметил, что растущие на дне травянистые водоросли наклонены в сторону течения и имеют из-за этого почти такую же форму, как и большие деревья во время урагана. С деревьями всё понятно - подумал Незнайка - ствол упругий, поэтому ветер не может прижать дерево к земле. А почему течение не прижимает водоросли ко дну (их травянистые стебли - совсем не упругие)? Помогите Незнайке разобраться.
Комментарий. Деревья удерживает в вертикальном положении ствол. Если подумать, отчего же водоросли не лежат на дне, то останется единственный разумный вариант - из-за силы Архимеда (то есть средняя плотность растительных тканей водорослей, которые видел Незнайка, меньше плотности воды). Сила Архимеда, действующая только на верхушку, небольшая, поэтому течение без труда эту верхушку наклоняет. А сила натяжения основания стебля должна компенсировать разницу сил Архимеда и тяжести, действующих на всю расположенную в воде часть растения. Эта разница сил направлена вертикально, поэтому, если течению удастся слишком сильно наклонить стебель, его сила натяжения окажется слишком большой (такой, чтобы вертикальная проекция имела нужное значение) и растение будет оторвано. Потому таких растений на дне и нет, а есть только те, что видел Незнайка (Мы считаем, что течение не очень быстрое и подъёмная (или, наоборот, прижимающая) сила течения несущественна. Можно также отметить, что скорость течения около дна обычно меньше, чем у поверхности - хотя это обстоятельство непосредственно не связано с наблюдаемой формой водорослей).
8. (9-11) Имеется проволочная сетка с квадратными ячейками (например, забор; проволока везде одинаковая). Как с помощью батарейки, амперметра и соединительных проводов определить сопротивление отрезка проволоки, равного по длине стороне квадратика. Забор нельзя ломать, но можно подсоединять провода к произвольному месту. Напряжение батарейки U. Сопротивление батарейки (внутреннее) и проводов не учитывать.
Решение (один из вариантов). Для удобства все стороны квадратиков будем называть резисторами. Для искомого сопротивления введём обозначение R. Выберем один из резисторов. Он непосредственно соединён с шестью другими (по 3 соединения с каждым из выводов). Противоположные выводы этих 6 резисторов соединим проводом. Получилась простая изолированная схема из 7 резисторов. Подключим к выводам первоначально выбранного резистора последовательно соединённые батарейку и амперметр. Очевидно, что возникшие в результате этого токи могу протекать только по указанным семи резисторам и подсоединённому нами проводу (и не могут "вытечь" за пределы участка схемы, ограниченного этим проводом). Аналогично, никакие внешние токи также не могут попасть внутрь этого участка (провод будет их замыкать).
Таким образом, сопротивление изолированной схемы из 7 резисторов экспериментально определяется как U/I, где I - показания амперметра. С другой стороны, оно равно
(R*(2*(R/3)))/(R+(2*(R/3)))=((2/3)R2)/((5/3)R)=2R/5
2R/5=U/I
R=(5/2)U/I
9. (9-11) В вертикальной плотине сделали два отверстия, находящихся на одной вертикальной прямой на расстоянии h1 и h2 от поверхности воды перед плотиной соответственно (h1<h2). Считать, что струя воды через отверстия вытекает горизонтально со скоростью (2gh)1/2. Найти, на каком расстоянии от поверхности воды струи пересекаются друг с другом.
Решение. Рассмотрим две частицы воды: вылетевшую из отверстия, расположенного на расстоянии h1 от поверхности воды и вылетевшую из отверстия, расположенного на расстоянии h2 от поверхности воды.
Пусть эти частицы встретились (в точке пересечения струй), времена их нахождения в свободном полёте до момента встречи обозначим через t1 и t2 соответственно.
Горизонтальные составляющие скоростей частиц со временем не меняются, а вертикальные - равномерно увеличиваются (ускорение g).
Чтобы частицы встретились, они одновременно должны оказаться и на одинаковом расстоянии от плотины, и на одинаковом расстоянии от поверхности воды. Составим и решим соответствующую систему уравнений.
t1(2gh1)1/2=t2(2gh2)1/2; h1+(gt12/2)=h2+(gt22/2)
t1h11/2=t2h21/2; h1+((gt12)/2)=h2+(gt22)/2)
t12h1=t22h2; h2-h1=(gt12/2)-(gt22/2)
t22=t12(h1/h2); h2-h1=(g/2)(t12-t22)
t22=t12(h1/h2); h2-h1=(g/2)(t12-t12(h1/h2))
h2-h1=(g/2)(1-(h1/h2))t12
h2-h1=(g/2)*((h2-h1)/h2)t12
t12=(h2-h1)(2/g)*(h2/(h2-h1))=2h2/g
Мы нашли время нахождения в полёте первой частицы.
В момент вылета из отверстия она находилась
на расстоянии h1 от поверхности воды,
а через время t1 после этого окажется от
поверхности воды на расстоянии
H=h1+(1/2)gt12=h1+(1/2)g(2h2/g)=h1+h2
То есть именно на таком расстоянии от поверхности воды и расположена точка пересечения струй.
Замечание. Формула скорости истечения жидкости из отверстия v=(2gh)1/2 соответствует идеализированной ситуации. Реально числовой коэффициент зависит от того, как именно устроены потоки жидкости в сосуде рядом с отверстием, что в значительной степени определяется геометрией отверстия, в частности, для одинаковых отверстий эти коэффициенты скорее всего окажутся близкими. Обратите внимание, что в ответ нашей задачи числовые коэффициенты, а также значение ускорения свободного падения g не вошли, то есть величина H от них не зависит.
10. (9-11) Один из способов получения пресной воды - продавливание солёной воды через специальную мембрану, пропускающую молекулы воды, но задерживающую находящиеся в воде ионы солей (для этого давление солёной воды должно быть больше давления пресной на некоторую величину, обозначим её Dp).
Сконструируем с помощью такой мембраны "вечный двигатель". Известно, что плотность пресной воды (rп) меньше плотности солёной (rс).
Возьмём трубу длины h, расположим её вертикально, нижний конец закроем мембраной, погрузим эту трубу в солёную воду (например, океан), а внутрь трубы нальём пресную воду (до уровня поверхности океана).
Если rпgh < rсgh-Dp, то в трубе уровень пресной воды будет поддерживаться выше уровня солёной, и эту разность уровней можно использовать для получения энергии.
Объясните, почему предложенное устройство на самом деле не является вечным двигателем и откуда берётся энергия для работы такого устройства. (Справка: по расчётам для имеющихся на Земле океанов необходимая глубина погружения h составляет примерно 10 км.)
Решение. Дело в том, что равномерный водный раствор соли в поле силы тяжести не является устойчивым - соль будет самопроизвольно "сползать" вниз (то есть после установления равновесия концентрация соли будет возрастать с глубиной). Описанное в задаче устройство использует потенциальную энергию соли, растворённой в океане. Для поддержания работы такого устройства необходимо постоянное перемешивание сливаемой пресной воды с окружающей солёной, и на это необходимо постоянно затрачивать энергию.
В земных морях и океанах перемешивание реализуется в частности, за счёт течений (на что расходуется энергия солнечного излучения), лунных и солнечных приливов (за счёт кинетической энергии Земли, Луны и Солнца), испарения (в тропических широтах концентрация соли у поверхности может быть выше, чем на глубине, т. к. вода там интенсивно испаряется с поверхности, а соль остаётся в приповерхностных слоях), а также других причин.
Приведённое решение ни в коем случае не является полным описанием ситуации: мы не рассматривали зависимость необходимой разности давлений Dp от концентрации соли, сжимаемость солёной и пресной воды, тепловые эффекты на мембране и многое другое.