Задание B1

Задание

Многие деревья осенью меняют цвет своей листвы, однако если присмотреться повнимательнее, оказывается, что одни и те же породы деревьев могут желтеть, краснеть и буреть в разное время: один клён уже стоит весь жёлтый, а другой ещё зеленеет. Чем можно объяснить такое явление?

Решение (перечень разумных версий)
1. Понижение температуры вызывает пожелтение/покраснение т. д.
2. Старые листья.
3. На солнце листья краснеют раньше.
4. На свету вырабатывается хлорофилл, поэтому на свету листья зеленее, а в тени желтеют раньше (расположение деревьев относительно крупных отбрасывающих тень объектов — хлорофилл образуется только на свету, и при резком сокращении светового дня начинает распадаться, тогда как стоящее рядом дерево, не попадающее в тень, будет всё ещё зеленым).
5. Ветер создаёт холод — на ветренных местах пожелтеют и опадут раньше.
6. Старение листа зависит от углеводного его обмена.
7. На свету хлорофилл быстрее разрушается.
8. Зависит от скорости перехода хлоропластов в хромопласты.
9. В разных листьях может быть разное количество хлорофилла, поэтому когда осенью хлорофилл разрушается, каротиноиды становятся видны в разных листьях в разное время.
10. Там, где дерево сильнее освещено, вырабатываются антоцианы, защищающие от избыточного освещения.
11. Хлорофилл быстрее разрушается, если поступает меньше воды.
12. При повреждениях листа рядом с этим местом вырабатываются антоцианы.
13. Состав почвы (локальные отличия в почве, влияющие на устойчивость конкретной особи к холоду).
14. Болезни влияют на концентрацию хлорофилла (деревья могут быть избирательно поражены заболеваниями).
15. Наличие аллеля холодоустойчивого фермента.
16. Загрязнение окружающей среды. Например, промышленные газы (озон, сернистый газ), выхлопные газы автомобилей или даже радиоактивные загрязнения могут влиять на лиственный покров дерева, растущего в определенной зоне (загрязнённой).
17. Факторы, влияющие на фотосинтез, будут влиять на концентрацию хлорофилла.
18. Параметры растения могут меняться с возрастом (например, размер) — растения разного возраста могут по-разному реагировать на одинаковые параметры окружающей среды.
19. Различные концентрации кислорода и углекислого газа, влияющие на фотосинтез (например, дерево, растущее рядом с автотрассой, и дерево, растущее в стороне от дороги).
20. На дереве могут висеть промёрзшие зелёные листья, которые до холодов не успели поменять зелёную окраску по какой-либо причине.
21. У каждого растения своя корневая система со своей способностью снабжать растение питательными веществами. Особенности строения корневой системы могут быть обусловлены возрастом растения и предшествующей историей его развития в данном месте произрастания.
22. Растения могут отличаться количеством питательных веществ, накопленных за лето. Чем больше запас, тем устойчевее будет растение и дольше сохранит зелёные листья.
23. Дерево может поменять цвет листвы, если ему не хватает питательных веществ и/или ухудшились условия внешней среды. Это может произойти по самым разным причинам, не обязательно связанным с временем года.

Задание B2

Задание

В некоторых случаях биологи вместе с математиками могут восстановить последовательность ДНК древних животных (например, на основе анализа последовательностей ДНК их современных потомков).

Вычисленную древнюю последовательность ДНК можно экспериментально «собрать» и синтезировать соответствующий ей белок. У полученного белка можно экспериментально определить физические свойства. А по ним — условия окружающей среды, в которой обитало древнее животное.

Предположим, что про каждый белок вам известна его функция в организме. Какие белки вы предложили бы выбрать для реконструкции и экспериментального определения их физических свойств и какие выводы об условиях окружающей среды на основании этого вы могли бы сделать?

Решение (перечень разумных версий)
1. Общий перечень разных белков без уточнения (ферменты, строительные белки…) — можно сделать вывод об обмене веществ, внешнем виде.
2. По белкам можно определить рацион питания.
3. По белкам можно определить примерное потребление кислорода.
4. Белки-рецепторы.
5. По фоторецепторам можно сделать вывод об освещённости места обитания.
6. Фермент карбоангидраза (обратимая гидратация CO2).
7. Моторные белки — позволяют составить представление о движении организма.
8. Коллаген, кератин, эластин и др. структурные белки.
9. Защитные белки — можно узнать об инфекциях и токсинах того времени.
10. Запасные белки.
11. Транспортные белки мембраны.
12. Белки, которые организм выделял наружу.
13. Флуоресцирующие белки.
14. Белки рибосомы.
15. БТШ (белки теплового шока).
16. Гистоны.
17. По коллагену можно определить некоторые заболевания: при цинге нарушается синтез коллагена..
18. Белки, связанные с пищеварением — можно определить, травоядное или хищник.
19. Эффективность функционирования белков зависит от температуры. Экспериментально определив температурный интервал наиболее эффективного функционирования белка, можно сделать выводы о предполагаемой температуре живого организма и температуре среды его обитания.

Задание B3

Задание

У животных, растений и других живых организмов встречается самая разнообразная окраска разных частей тела. Один из механизмов образования окраски — наличие в тканях окрашенного вещества (пигмента). Например, белый цвет берёзовой коры (бересты) определяет пигмент бетулин.

Какие ещё бывают способы окраски у живых организмов в белый или какой-нибудь другой цвет?

Решение (перечень разумных версий)
1. Сокращение/расширение клеток кожи.
2. Преломление и интерференция света.
3. Белый — воздух.
4. Чёрный зрачок — свет наружу не выходит.
5. Изменение окраски — выцветание пигмента.
6. Рассеяние за счёт содержания кристаллов гуанина в гуанофорах — серебристая окраска у рыб.
7. Могут измазаться в грязи.
8. Симбиотические светящиеся бактерии у глубоководных рачков.
9. Изменение окраски при изменении pH.
10. Фотохромизм (тенебресценция) — обратимое изменения окраски вещества под действием видимого света, ультрафиолета. (Воздействие света вызывает в фотохромном веществе атомарные перестройки, изменение заселённости электронных уровней.)

Задание B4

Задание

Подземные части некоторых растений могут реагировать на свет. Как эта реакция может внешне проявляться? Зачем это нужно растению? Опишите возможные механизмы этой реакции.

Решение (перечень разумных версий)
1. Подземная часть может заменить наземную, если с ней что-то случается.
2. Луковицы многолетних растений реагируют на свет.
3. Обнажившиеся корни реагируют на свет и не растут к нему.
4. Орхидеи — подземные органы тоже с хлорофиллом.
5. От света уходят боковые почки подземных побегов.
6. Фитохромы в корнях.
7. Прорастание семян.
8. Пневматофоры растут вверх из-за недостатка кислорода.
9. Позеленение клубня картофеля из-за света вызывает выработку соланина, что защитит его при размножении от патогенов и вредителей.
10. Свет к корням попадает по клеткам стебля как по световодам.
11. Изменение направления роста при фототропизме — из-за гормона.
12. Луковичные реагируют на изменение длины светового дня.
13. Прорастание и развитие из подземных частей растения новых наземных частей.
14. Пояснение, почему плохо, когда корни растения оказываются над землёй (в частности, испарение воды из этих корней).
15. Одно из типичных внешних проявлений — позеленение освещённого участка подземной части растения в результате выработки хлорофилла.

Задание B5

Задание

В живой природе не так часто встречаются вогнутые клетки, то есть клетки, у которых какая-либо часть бывает вогнута внутрь (размеры вогнутой части сопоставимы с размерами клетки). Перечислите несколько таких типов клеток у животных и растений и постарайтесь объяснить, чем вогнутость оправдана?

Решение (перечень разумных версий)
1. Захват пищи (например, пищевая вакуоль амёбы, клеточный рот инфузории).
2. Эритроциты (увеличение поверхности для газообмена).
3. Стрекательные клетки: вогнутостью является стрекательная капсула, в которой в состоянии покоя находится стрекательная нить.
4. Капсула Шумлянского-Боумена — в её вогнутости располагаются тончайшие капилляры, которые под давлением образуют первичную мочу, которая попадает через стенки капсулы в извитой каналец.
5. При плазмолизе.
6. Из-за патологии (например, серповидноклеточная анемия).
7. Стоматоциты (эритроциты , вогнутые с одной стороны и выпуклые с другой).
8. Устьица.
9. Микроорганизмы, имеющие изогнутую форму (вибрионы и т. п.).
10. Нейроны (углубления между отростками, необходимыми для передачи нервных импульсов).
11. Клетки мышечной ткани (кардиомиоциты и др.) — геометрическая форма, позволяющая выполнять сокращения.
12. Гепатоциты — клетки неправильной многоугольной формы.
13. Менингококк (клетки располагаются попарно, обращены друг к другу вогнутыми участками своей поверхности).

Задание B6

Задание

У растений есть немало паразитирующих на них организмов, которые наносят им вред. При этом несмотря на то, что у растений есть множество способов защиты от патогенов, из года в год большой процент растений поражается такими организмами. Как вы думаете, какие механизмы выработали патогены для того, чтобы максимально эффективно заражать растения? По возможности приведите примеры.

Решение (перечень разумных версий)
1. Устойчивость к ядам.
2. Переход в неактивное состояние — споры.
3. Меньший период развития.
4. Увеличение числа способов распространения.
5. Увеличение интенсивности размножения.
6. Вирус впрыскивается, капсид снаружи (в реальности так происходит с бактериями).
7. Патоген выводит из строя защитные механизмы растительной клетки — в результате клетка не признаёт микроорганизм как инородное тело.
8. Репликация нуклеиновой кислоты в клетке растения — встраивание в геном клетки-хозяина.
9. Нарушение обмена веществ и физиологических функций организма растения.
10. Ферменты патогена разрушают кутикулу, клеточную оболочку, обеспечивая проникновение патогена в клетки растения.
11. Токсины — вредные продукты жизнедеятельности патогена, ведут к повреждению клеток и отмиранию тканей.
12. Патоген может выделять вещества, стимулирующие рост тканей растения.
13. Быстрое распространение от клетке к клетке.
14. Каждый патоген приспосабливается паразитировать в наиболее подходящие для него фазы развития растения (когда клетка не может оказать сопротивления).
15. Внедрение в корни и «кража» питательных веществ.
16. Оплетение побега и лишение растения органических веществ (вьюнок и картофель).
17. Патогены подавляют процесс распознавания или устойчивость клетки хозяина и устанавливают псевдо-симбиотическую ассоциацию с клетками хозяина.
18. У патогенов происходит движущая форма естественного отбора.
19. У патогенов происходят мутации.
20. Петров крест — пример паразитического растения.
21. Например: бактерии псевдомонас с помощью специального белка поддерживают на мембране отрицательную температуру и выращивают острые кристаллы льда, с помощью которых пробивают брешь в защитных слоях растений.
22. Привлечение на растение более крупных вредителей с целью разрушить защиту и «пробраться» к растению.

Задание B7

Задание

Большие белоносые мартышки обитают в Западной Африке. Живут стаями на деревьях, в каждой стае есть вожак. Основные хищниками для этого вида — леопард (охотится из засады) и орёл (нападает с воздуха).

Мартышки общаются между собой с помощью своеобразного языка из нескольких «слов», из которых можно строить «предложения». Примеры «предложений», произносимых вожаком, и их «переводы» на русский язык:

• PPPPPPPP, PPPP, PPPPPPPPPPPPPP — «Леопард!»
• HHPPPP, HHHHHH, HPP, HHHHHHHPP — «Орёл!» или «Падает дерево!»
• PH, PPPHH, PPPPPPHHH — просьба вожака к стае собраться вместе.

Буквой P обозначено «слово» с примерным звучанием «pyow», буквой H — «слово» с примерным звучанием «hack». Точное количество повторяющихся «слов» в «предложении» не фиксировано и, по видимому, соответствует степени опасности.

Предложите перевод «слов» P (pyow) и H (hack) с «языка» мартышек на русский язык. Чем значение одного «слова» отличается от другого? Как вы думаете, почему для сбора стаи используются те же «слова», что и в ситуации опасности, хотя в это время ничего опасного не происходит?

Решение (перечень разумных версий)
1. Мартышки не могут произносить много разных слов (звуков), так что довольствуются тем, что есть (кроме ещё одного странного звука (бум-бум, который производится совсем по-другому и используется в других ситуациях), мартышкам другие «слова» недоступны; есть только эти два «слова» с исходно очень расплывчатым значением, которое конкретизируется за счёт условий, в которых мартышки живут, потому как эти условия диктуют те смыслы, которые им необходимо выражать).
2. Сбор вместе — это тоже важно.
3. Сочетаемость сигнала сбора с сигналами опасности.
4. В случае появления орла или падения дерева требуется предпринимать срочные действия (спрятаться от опасности, убежать с того места, куда может упасть дерево), а при появлении леопарда достаточно с помощью звуков дать понять леопарду, что его засада обнаружена — тогда он отказывается от поведенческого стереотипа «охота из засады» и уходит.
5. Подробное объяснение сочетаемости сигналов. Например: для двух «слов» (P и H) есть 4 возможных комбинации: P*H*, P*, H*, H*P* и три смысла: «большая опасность (сверху)», «опасность, которая не требует действий» и «сбор стаи». Если предположить, что сигнал Н вызывает у мартышек высокую степень возбуждения (так как сами сигналы являются врождёнными, то они могут быть и ранжированы по срочности), то именно он должен использоваться в ситуации высокой опасности. После этого отпадают варианты Н*. Сигнал Н*Р* тоже на самом деле не может быть более задействован для выражения других смыслов, так как это либо приводило бы к «ложным тревогам», когда после сигнала Н мартышки бы бежали прятаться, когда это не необходимо, либо мартышкам надо было бы ждать, не появится ли Р после Н и в случае наличия орла они бы на некоторое время оказывались в опасности. Остаётся два сигнала и два значения. Так как ситуация появления леопарда не требует никаких действий, для неё достаточно сигнала минимального возбуждения. Для ситуации сбора остаётся последний вариант.
6. P — просто опасность/предупреждение, а H — важный сигнал.
7. Разумные предположения переводов на русский язык типа: P — земля, а Н — небо; P — покидание территории, бегство, Н — обороняться, защищаться, прятаться; P — опасно!, H — важно!; и т. п.
8. И для сигнала опасности, и для сигнала сбора используются слова, соответствующие повышенному уровню возбуждения и тревожности животных, концентрации внимания, необходимости достаточно быстро выполнить какие-либо действия.
9. Объяснение причин скудного словарного запаса мартышек.
10. Звукоподражание хищникам (орлу и леопарду) — используется для их идентификации.

Задание F1

Задание

Когда мы смотрим на мелкий дождик за окном, мы не видим отдельных капель, но при этом видим, что дождик идёт сверху вниз. Или под углом, когда дует сильный ветер.

Объясните, как, не различая отдельных капель, нам удаётся определить их направление движения?

Решение

Человеческое зрение работает достаточно медленно. Как известно, чтобы снять фильм (или сделать мультфильм), достаточно 24 кадров в секунду. При просмотре меняющихся с такой скоростью картинок фильм или мультфильм мы воспринимаем непрерывно, а не как отдельные картинки.

Другими словами, с помощью своего зрения мы не можем различить и детально рассмотреть, как что-то изменилось за время меньше 1/24 секунды.

Капля дождя за секунду пролетает несколько метров. Значит, за 1/24 секунды она пролетит не меньше несколько сантиметров. И для нашего зрения маленькая капля (её диаметр около 1 мм) «размажется» на такое большое расстояние. И размажется она на не просто так, а по фоновому изображение, причём фоновое изображение будет видно существенно чётче и ярче капли, так как капля перекрывает его в каждом месте только на очень короткое время.

В результате наше зрение фиксирует пролетающие объекты, но по описанным выше причинам мы не воспринимаем их как капли (что-то очень вытянутое и еле заметное совсем не похоже на капли, которые должны быть маленькими и круглыми). При этом каждую такую каплю мы наблюдаем в поле своего зрения существенно большее время, чем 1/24 секунды, и потому можем зафиксировать последовательность событий — где она наблюдалась сначала и где — потом, то есть откуда куда летит.

Для примера вы можете попробовать быстро махнуть ладонью перед своими глазами. Вы увидите, что что-то быстро переместилось. Три этом также будет понятно направление (откуда и куда), но рассмотреть ладонь и тем более её мелкие детали не получится.

Вообще, чтобы рассмотреть быстро движущийся в поле зрения предмет, наша зрительная система как бы накладывает друг на друга несколько изображений, зафиксированных в разных местах поля зрения друг за другом. То, что на этих изображениях совпадает — это как раз и есть мелкие детали предмета. Но чтобы знать, откуда брать последовательные картинки и как их накладывать друг на друга, сначала нужно определить направление и скорость движения. То есть мы не по деталям предмета определяем направление движения, а наоборот, сначала определяем направление, а потом (если получится) уже получаем информацию о мелких деталях изображения (детально рассматриваем предмет, если успеваем это сделать).

Точнее определить направление капель дождя помогает их большое количество. Пролетевшую в поле зрения одну каплю наша зрительная система могла бы воспринять как что-то неожиданное и случайное — и не успеть среагировать. Когда же капель много и ситуация с их движением всё время повторяется, мы можем лучше приспособиться к их наблюдению.

Ещё одна возможность точнее определить направление дождя — наблюдать не отдельные капли, а «зацепиться взглядом» за какую-нибудь особенность расположения большого числа капель. Например, случайно возникшее в потоке дождевых капель сгущение или разрежение.

Задание F2

Задание

Биологам понадобилось устройство для изучения насекомых в природе. Нужно отлавливать пролетающих рядом насекомых, помещать их перед объективом видеокамеры, после чего выпускать обратно в природу.

Предложите конструкцию такого устройства. Оно не должно повреждать насекомых (например, лопастями вентилятора), пугать (например, шумом), заметно влиять на их поведение как-то ещё. (Желательно, чтобы насекомые вообще не заметили, что с ними произошло что-то необычное.)

Решение

Например, можно направлять (подгонять) насекомых струями воздуха. Конфигурация воздушных струй может быть самой разной. Так, можно использовать так называемый безлопастной вентилятор (вентилятор Дайсона): отверстия, из которых выходит сжатый воздух, расположенные по кругу. Так получается воздушный поток в виде трубки, который захватывает окружающие слои воздуха, который затягивается внутрь этой трубки.

Если в этом затянутом воздухе окажутся насекомые — дальше они какое-то время будут лететь внутри воздушного потока по предсказуемой траектории, где их и можно сфотографировать.

Скорость струй воздуха не должна быть существенно больше естественной для насекомых скорости ветра. Чтобы не создавать шум, пугающий насекомых, сжатый воздух можно подавать издалека по трубке.

Также можно попробовать из нескольких приспособлений, описанных выше, собрать конструкцию, заставляющую насекомых летать по кругу. Это позволит каждое насекомое сфотографировать многократно и там самым подробнее изучить.

Задание F3

Задание

Каждый год примерно с 17 июля по 24 августа на ночном небе можно наблюдать метеорный поток Персеиды. В это время Земля движется сквозь хвост кометы. Мелкие частички кометного вещества летят с большой скоростью и сгорают с ярким свечением в атмосфере на высоте около 20 км.

Вася, осматривая всё небо с крыши своей школы, насчитал за 1 час 120 метеоров, которые летели, прочерчивая линии, как бы исходящие из небольшой области, расположенной прямо над головой Васи. Оцените, сколько всего метеоров попало в земную атмосферу за 1 сутки. Радиус Земли $\approx$6400 км.

Решение

Раз Вася видит центр потока метеоров прямо над собой, значит метеоры летят перпендикулярно поверхности Земли в том месте, где находится Вася. Расходящиеся линии Вася видит из-за эффекта перспективы. (Если бы направление потока было другим, для того, чтобы увидеть «центр» потока, нужно было бы смотреть не вертикально вверх, а куда-то вбок — вдоль направления потока.)

Вася может увидеть только те метеоры, которые находятся не выше 20 км, так как выше они не светятся. Для удобства введём обозначения: радиус Земли $R=6400$ км, максимальная высота наблюдения метеоров $h=20$ км. Попавшими в земную атмосферу будем считать те метеоры, которые попали в 20-километровый слой атмосферы над поверхностью Земли и там светятся (хотя формально 20 км — это не верхняя граница атмосферы).

Условно изобразим поверхность Земли в виде окружности радиуса $R$ и поверхность, на которой начинается свечение метеоров, в виде окружности радиуса $R+h$.

Пусть $x$ — радиус площадки, которую пересекают под прямым углом траектории (точнее, продолжения траекторий) тех метеоров, которые видит Вася. Площадь этой площадки $S=\pi x^2$. По теореме Пифагора $R^2 + x^2 = (R+h)^2$, откуда $x^2 = (R+h)^2-R^2$.

Площадь площадки, которую пересекают под прямым углом продолжения траекторий всех метеоров, попадающих в атмосферу Земли, равна $S_0=\pi(R+h)^2$.

Отношение количества метеоров, которые наблюдает Вася, к количеству всех метеоров из метеорного потока, попадающих в атмосферу Земли, равно отношению этих площадей, то есть $$ \frac{S}{S_0} = \frac{\pi\left((R+h)^2-R^2\right)}{\pi(R+h)^2} = \frac{(R+h)^2-R^2}{(R+h)^2} = 1-\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 = 1-\left(\frac{1}{1+\displaystyle\frac{h}{R}}\right)^2 = 1-\left(\frac{1}{1+\displaystyle\frac{20~\mbox{км}}{6400~\mbox{км}}}\right)^2 = 1-\left(\frac{1}{1+0{,}003125}\right)^2 = 1-\frac{1}{1{,}003125^2}= \frac{1}{160{,}75039} $$ То есть получается, что всего метеоров в атмосферу Земли попадает примерно в 160 раз больше, чем видит Вася. (Точные расчёты для оценки не нужны и приведены только для удобства проверки правильности решений).

Кроме того, в сутках 24 часа, а Вася насчитал 120 метеоров за 1 час. Поэтому общее количество метеоров, попадающих в атмосферу Земли за сутки, по данным наблюдений Васи можно оценить как $120 \cdot 160 \cdot 24 = 460800$. (На всякий случай уточним, что здесь имеются ввиду именно те объекты, которые наблюдает и считает метеорами Вася.)

Задание F4

Задание

В штативе закреплены две одинаковые пробирки: одна — вертикально, другая — наклонно. В пробирки налили воду до одинакового уровня (как показано на рисунке) и затем в каждую пробирку пустили плавать пластмассовый шарик. Шарики одинаковые и не касаются стенок пробирок.

В какой пробирке с шариком — вертикальной или наклонной — уровень воды будет выше, чем в другой?

Решение

Пробирки отличаются площадью свободной поверхности воды: в наклонной пробирке эта площадь больше, а в вертикальной — меньше. Объём части шарика, находящийся ниже поверхности воды, в обоих пробирках одинаковый (шарики одинаковые и не касаются стенок пробирки, то есть плавают).

Если поместить шарик в вертикальную пробирку — у вытесненной шариком воды меньше площади для растекания, чем в аналогичной ситуации для наклонной пробирки. Поэтому уровень воды в вертикальной пробирке с плавающим там шариком окажется выше уровня в наклонной пробирке с таким же шариком.

Задание F5

Задание

Физику для экспериментов понадобилась металлическая трубка, которую он решил изготовить из цилиндра, зажав цилиндр в тисках и просверлив дрелью сквозное отверстие вдоль оси (рисунок слева). Оказалось, что сделать это непросто: сверло отклоняется вбок от оси (рисунок справа).

Предложите способ решения задачи, не использующий сложных технических устройств. (Желательно обойтись только тем, что перечислено в условии задачи.)

Решение

Металлическую трубку, в которой требуется просверлить продольное сквозное отверстие, нужно зажать в дрель вместо сверла, а сверло зажать в тиски.

И направлять дрель с трубкой на сверло.

Тогда по геометрическим соображениям у просверленного отверстия будет ось симметрии, совпадающая с осью вращения вращающейся части дрели (так как при сверлении осуществляется поворот как раз вокруг этой оси).

А поскольку трубка зажата так, что её ось совпадает с осью вращения, то отверстие будет просверлено как раз там где нужно.

Фактически это задача на переход в другую систему отсчёта (вращающуюся), поэтому она и даётся на конкурсе по физике.

Задание F6

Задание

Вдоль прямой расположены 3 шарика. Удары шариков друг о друга происходят абсолютно упруго, а остальное время шарики двигаются с постоянными скоростями вдоль этой прямой. Известно, что за всю историю в этой системе было всего 3 соударения между шариками и больше соударений не будет. Приведите пример такой системы (укажите массы шариков и их координаты и скорости в какой-нибудь момент времени).

Решение

Приведём один из возможных примеров решения.

Воспользуемся известным фактом о том, что при абсолютно упругом центральном соударении шариков одинаковой массы, один из которых движется, а другой неподвижен, неподвижный шарик приобретёт скорость движущегося, а движущийся — остановится.

Рассмотрим ситуацию, показанную на рисунке:

Все 3 шарика расположены на одной прямой. Их массы одинаковы. Расстояние между шариками 1 и 2 больше, чем расстояние между шариками 2 и 3. Шарики 1 и 3 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по величине скоростями $v$, а шарик 2 — неподвижен.

Сначала произойдёт соударение между шариками 2 и 3, шарик 3 остановится, а шарик 2 приобретёт скорость $v$ в направлении навстречу шарику 1. (Шарик 1 к этому моменту не успеет достигнуть шарика 2, так как его скорость такая же, как у шарика 3, а расстояние до шарика 2 — больше).

Затем произойдёт столкновение шариков 1 и 2, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями $v$. Ввиду симметрии ситуации после столкновения они разлетятся в противоположные стороны также со скоростями $v$.

И, наконец, произойдёт столкновение шарика 2 (движущегося со скоростью $v$) с неподвижным шариком 3. В результате столкновения эти шарики обменяются скоростями: шарик 2 станет неподвижным, а шарик 3 приобретёт скорость $v$ в направлении вправо.

Всего произошло 3 столкновения шариков, как и требовалось в условии задачи. После этого шарик 2 оказался неподвижным, а шарики 1 и 3 разлетаются от него в противоположных направлениях. Поэтому больше столкновений происходить не будет.

Задание F7

Задание

Тело бросили под углом $\alpha$ к горизонту, оно полетело по параболе и упало на землю на высоте точки бросания. Известно, что во время полёта расстояние между телом и точкой бросания всё время увеличивалось и никогда не уменьшалось. Каким может быть угол $\alpha$ (угол между вектором начальной скорости и горизонтальной плоскостью)?

Ускорение тела за всё время полёта (ускорение свободного падения) считать постоянным.

Решение

Введём прямоугольную систему координат: первоначально тело находится в точке с координатами ${(x=0; y=0)}$, ось $X$ горизонтальна, ось $Y$ направлена вертикально вверх, начальная скорость тела $$ \begin{aligned} \vec{v}_0&=(v_x(0);v_y(0)) \\ v_x(0)&=v_0 \cos\alpha \\ v_y(0)&=v_0 \sin\alpha \\ \end{aligned} $$ ($\alpha$ — угол между вектором начальной скорости $\vec{v}_0$ и осью $X$).

Зависимость координат тела от времени $$ \begin{aligned} x(t)&=v_x(0)t=v_0 t \cos\alpha \\ y(t)&=v_y(0)t-\frac{g t^2}{2} = v_0 t \sin\alpha-\frac{g t^2}{2}\\ \end{aligned} $$

Зависимость скорости тела от времени $$ \begin{aligned} v_x(t)&=v_x(0)=v_0 \cos\alpha \\ v_y(t)&=v_y(0)-g t = v_0 \sin\alpha-g t\\ \end{aligned} $$

В начальный момент ($t=0$), тело, очевидно, удаляется от точки старта. Если в какой-то момент времени $t$ удаление сменилось на приближение, то в этот момент вектор скорости тела должен быть перпендикулярным отрезку, соединяющему тело с точкой старта (тело от точки старта и не удаляется, и не приближается).

Алгебраически это означает равенство $0$ скалярного произведения вектора скорости тела и вектора, проведенного из точки нахождения тела в точку старта. (Другими словами: проекция вектора скорости тела на вектор, проведённый из точки нахождения тела в точку старта, равна $0$.) $$ \left(x(t);y(t)\vphantom{^0}\right) \cdot \left(v_x(t);v_y(t)\vphantom{^0}\right) = 0 $$ $$ x(t)\cdot v_x(t) + y(t)\cdot v_y(t) = 0 $$ $$ v_0 t \cos\alpha \cdot v_0 \cos\alpha + \left(v_0 t \sin\alpha-\frac{g t^2}{2}\right) \cdot (v_0 \sin\alpha-g t) = 0 $$ $$ v_0^2 t \cos^2\alpha + v_0^2 t \sin^2\alpha - \frac{g t^2}{2}v_0 \sin\alpha - g v_0 t^2 \sin\alpha + \frac{g^2 t^3}{2} = 0 $$ $$ v_0^2 t \left(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha\right) - \frac{g v_0 t^2}{2} \sin\alpha - g v_0 t^2 \sin\alpha + \frac{g^2 t^3}{2} = 0 $$ $$ v_0^2 t - \frac{3}{2} g v_0 t^2 \sin\alpha + \frac{g^2 t^3}{2} = 0 $$ $$ 2v_0^2 t - 3 g v_0 t^2 \sin\alpha + g^2 t^3 = 0 $$ $$ t\left(2v_0^2 - (3v_0\sin\alpha) g t + (g t)^2\right) = 0 $$

Это уравнение относительно $t$ имеет корень ${t=0}$, соответствующий моменту броска.

Если после этого момента тело всё время удаляется от точки старта, то у уравнения больше не должно быть корней. (Наличие корня соответствовало бы моменту нулевой относительной скорости тела и точки старта, то есть в этот момент тело от точки старта не удаляется.)

Приравняем нулю выражение в скобках. Для удобства рассмотрим это как квадратное уравнение относительно переменной $g t$. $$ (g t)^2 - (3v_0\sin\alpha) g t + 2v_0^2 = 0 $$ Дискриминант этого уравнения $$ D=(3v_0\sin\alpha)^2-4\cdot 2v_0^2=v_0^2(9\sin^2\alpha-8) $$ У уравнения не будет корней, если ${D < 0}$. По условию ${v_0>0}$, поэтому $$ 9\sin^2\alpha-8 < 0 $$ $$ 9\sin^2\alpha < 8 $$ $$ \sin^2\alpha < \frac{8}{9} $$ $$ \sin\alpha < \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ $$ \alpha < \arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 70{,}5^\circ $$

Интересно, что ответ не зависит ни от ускорения свободного падения $g$, ни от величины начальной скорости тела $v_0$.

Задание F8

Задание

На круглую проволоку радиуса $R$ нанесён слой изоляции постоянной толщины из прозрачного материала с показателем преломления $n$. Проволока внутри изоляции кажется толще, чем на самом деле — это хорошо видно, если удалить часть изоляции (рис. в центре).

Какой должна быть толщина слоя изоляции, чтобы толщина проволоки, видимой сквозь неё, казалось равной толщине всего провода (рис. справа)?

Наблюдатель смотрит на провод перпендикулярно его оси; показатель преломления окружающего воздуха считать равным 1.

Решение

Наблюдателю толщина проволоки будет казаться равной толщине всего провода с изоляцией (прозрачной оболочкой), если все лучи, исходящие из прозрачной оболочки и идущие к наблюдателю, будут пересекать проволоку (то есть фактически начинаться на поверхности проволоки).

Это условие достаточно проверить для крайних лучей, которые выходят из прозрачной оболочки по касательной к её поверхности (см. рисунок). Если эти лучи (их продолжения внутрь прозрачной оболочки) пересекают проволоку (или касаются её поверхности), то это же верно и для всех лучей, расположенных между ними.

Для толщины слоя прозрачной изоляции (эту толщину нужно найти) введём обозначение $h$.

Построим чертёж. Плоскость чертежа перпендикулярна оси симметрии провода, эта ось проходит через точку $O$ на чертеже. В точке $A$ находится наблюдатель. Прозрачная оболочка (изоляция провода) показана светло-серым цветом, проволока — тёмно-серым.

Рассмотрим один из крайних световых лучей, упомянутых выше. Такой луч начинается в точке $С$, расположенной на поверхности проволоки и распространяется в направлении, касательном к этой поверхности. Затем от в точке $B$ преломляется на границе прозрачной оболочки, затем распространяется вдоль касательной к этой границе и попадает в точку $A$, где расположен наблюдатель.

Второй крайний луч расположен симметрично первому относительно прямой $OA$ и также обозначен сплошной линией. Отрезки $CO$ и $OB$ для наглядности изложения показаны пунктиром.

Так как отрезок луча $BA$ расположен на прямой, касательной к поверхности прозрачной оболочки, $\angle CBO$ — это угол полного внутреннего отражения для материала оболочки, а ${\sin\angle CBO=1/n}$, где $n$ — коэффициент преломления этого материала.

С другой стороны, для прямоугольного треугольника $BCO$ верно соотношение $$ \sin\angle CBO = \frac{CO}{BO}=\frac{R}{R+h} $$ Отсюда получаем $$ R+h = \frac{R}{\sin\angle CBO} $$ $$ h = \frac{R}{\sin\angle CBO} - R = \frac{R}{1/n} - R = Rn-R = R(n-1) $$

Это — граничное соотношение. Если $h$ будет больше этого значения, то крайние лучи попадут мимо проволоки и наблюдателю будет казаться, что по краям проволоки внутри прозрачного слоя изоляции есть свободное пространство (то есть что проволока тоньше провода). Если же $h$ будет, наоборот, меньше, то крайний луч будет не проходить по касательной к поверхности проволоки, а упираться в эту поверхность. То есть будет казаться, что проволока занимает всю толщину провода. Поэтому окончательный ответ: $h \leqslant R(n-1)$.

Задание F9

Задание

В пространстве расположены 3 электрических заряда. Заряды точечные, одного знака и различны по величине: $0 < Q_1 < Q_2 < Q_3$. Может ли так быть, что силы, действующие на каждый из зарядов, равны по величине? (Сила, действующая на каждый заряд, определяется только его электростатическим взаимодействием с двумя остальными зарядами.)

Решение

Возьмём 3 заряда $Q_1$, $Q_2$ и $Q_3$, удовлетворяющие условию задачи.

Возьмём нерастяжимую нить произвольной длины $L>0$. Разрежем её на 3 куска длиной $L_1$, $L_2$ и $L_3$ (то есть $L_1+L_2+L_3=L$).

Конец куска длины $L_1$ прикрепим к заряду $Q_1$, конец куска длины $L_2$ к заряду $Q_2$, конец куска длины $L_3$ к заряду $Q_3$. Оставшиеся свободными концы кусков нити соединим вместе (для точки соединения введём обозначение $O$). Для полученной системы зарядов, связанных нитями, определим углы между нитями в положении равновесия.

Переберём таким образом все возможные значения $L_1$, $L_2$ и $L_3$ и для каждого варианта определи равновесные значения углов ($\angle\alpha$ между $L_1$ и $L_2$, $\angle\beta$ между $L_2$ и $L_3$, $\angle\gamma$ между $L_3$ и $L_1$)

Построим для нашей системы фазовую диаграмму. Каждому набору длин $L_1$, $L_2$ и $L_3$ поставим в соответствие точку $X$ внутри равностороннего треугольника $ABC$. Точку $X$ выберем таким образом, чтобы сторона $AB$ была видна из этой точки под углом $\alpha$, сторона $BC$ — под углом $\beta$, сторона $CA$ — под углом $\gamma$.

Точки фазовой диаграммы, лежащие в окрестности сторон треугольника, соответствуют ситуациям, когда длина одной из нитей близка к нулю и, соответственно, угол между двумя другими нитями близок к $180^\circ$ (то есть система зарядов вытягивается в линию).

В соответствии с уравнением закона Кулона $$ F=k\frac{q_1 q_2}{r^2} $$ сила электростатического взаимодействия $F$ между зарядами $q_1$ и $q_2$, расположенными на расстоянии $r$, непрерывно зависит от $r$. То есть небольшие изменения $r$ приводят к небольшим изменениям $F$ (кроме ситуации, когда значение $r$ близко к $0$).

Аналогично, в нашем случае небольшие изменения $L_1$, $L_2$ и $L_3$ приведут к небольшим изменениям сил взаимодействия между зарядами, что, в свою очередь, приведёт к небольшим (возможно, нулевым) изменениям каждого из углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. То есть углы не могут поменяться резкими скачками.

Поскольку точки, отображающие состояния нашей системы, присутствуют вдоль сторон треугольника $ABC$ по всей их длине, а изменения углов непрерывны, эти точки заполнят весть треугольник. Образно можно сказать, что получится непрерывная ткань из точек, натянутая на стороны треугольника. У этой ткани, возможно, могут быть «складки» (то есть одной точке фазовой диаграммы может соответствовать несколько разных конфигураций), но не может быть «дырок».

Таким образом, получается, что какой-то конфигурации (какому-то сочетанию $L_1$, $L_2$ и $L_3$) на фазовой диаграмме соответствует точка в центре треугольника. Для этой точки углы между кусками нитей одинаковы и равны $120^\circ$. Точка соединения нитей находится в равновесии, то есть векторная сумма сил натяжения нитей, приложенных к этой точке, равна 0.

Но если сумма трёх векторов, образующих друг с другом углы $120^\circ$, равна $0$, эти вектора обязательно равны по величине друг другу. В самом деле, пусть два каких-то вектора различаются по величине. Но они образуют равные углы с направлением третьего вектора, и поэтому не смогут скомпенсировать свои компоненты, перпендикулярные этому направлению. Поэтому сумма всех трёх векторов не получится равной $0$.

Таким образом, мы нашли решение задачи — убедились в том, что нужная нам конфигурация обязательно существует. И, таким образом, получили ответ на поставленный в условии вопрос.

Задание F10

Задание

Направленный поток атомов разных изотопов одного химического элемента можно разделить, облучая его лазером перпендикулярно направлению потока. Частота излучения лазера $\nu$ подобрана так, что фотоны этой частоты поглощаются атомами только одного изотопа. Поглощая каждый такой фотон, атом получает боковой импульс $h\nu/c$, из-за чего постепенно меняет свою траекторию, отклоняясь от потока остальных атомов.

Эффективность этого метода ограничена эффектом Доплера. В системе отсчёта атома, имеющего проекцию скорости вдоль лазерного луча, частота лазерного излучения отличается от частоты в системе отсчёта лазера. Поэтому такие атомы уже не могут поглощать излучение лазера на частоте $\nu$ и менять направление своего движения под действием этого излучения.

Как можно усовершенствовать описанный выше метод разделения изотопов, чтобы свести к минимуму вредное влияние эффекта Доплера?

Решение

Например, можно облучать поток атомов сходящимися лазерными лучами. Геометрические параметры и интенсивность облучения необходимо подобрать так, чтобы атомы нужного изотопа (те, которые нужно выделить) двигались по дуге окружности, а лазерные лучи сходились в центре этой окружности.

Тогда в каждой точке траектории нужные атомы будут получать от фотонов импульсы в направлении, перпендикулярном направлению своего движения. Это будет приводить к изменению направления движения с сохранением величины скорости. То есть в каждой точке траектории условия облучения будут одинаковыми. Соответственно, в системе отсчёта атома частота облучения будет одинаковой во всех точках траектории этого атома: величина скорости атомов будет одной и той же (раз она не меняется со временем), направление облучения — перпендикулярно направлению движения.

Другое возможное решение — одновременное облучение двумя или несколькими лазерами с разных направлений (так, что для каждого атома направление хотя бы одного лазерного луча окажется подходящим). Такой способ менее эффективен (хотя и эффективнее, чем просто один лазер). Дело в том, что здесь существует промежуточная ситуация, когда атом достаточно отклонился и на него уже неэффективно действует первоначально отклонивший его лазерный луч, но его направление движения ещё недостаточно изменилось для эффективного взаимодействия с другим лазерным лучом. В этой промежуточной ситуации часть атомов потеряется. В то время как движение по окружности позволяет непрерывно «подхватывать» все нужные атомы.

Задание G1

Задание

«Банкомат». В банкомате есть N рублей. Он выдаёт только суммы 1, 2 или 3 рубля. Двое по очереди берут из банкомата деньги до тех пор, пока они не кончатся. Тот, кому в очередной раз денег не досталось — проиграл.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр? Рассмотрите случаи, когда:

а) N=5

б) N=10

в) N=12

г) N=2015

д) N — произвольное натуральное число.

Решение

Заметим, что если в какой-то момент количество рублей в банкомате не делится на 4, то игрок, делающий очередной ход, может сделать это количество делящимся на 4, забрав остаток от деления имеющейся суммы на 4 (то есть 1, 2 или 3).

Напротив, если в данный момент сумма в банкомате делится на 4, то после очередного хода игрока она делиться на 4 не будет — так как все возможные суммы, которые можно брать (1, 2 и 3 рубля) на 4 не делятся.

Если $N$ делится на 4, то выигрывает второй игрок. После любого хода первого игрока второй может своим ходом дополнять взятую первым игроком сумму до 4 рублей. Тем самым после любого хода первого игрока сумма в банкомате не будет делиться на 4 и второй игрок может взять остаток отделения этой суммы на 4.

Если $N$ не делится на 4, то выигрывает первый игрок. Первым ходом он берёт из банкомата остаток от деления на 4 имеющейся в банкомете суммы. После этого игровая ситуация будет такой же, как описано в предыдущем абзаце — отличается только очередность ходов игроков.

Задание G2

Задание

«Два кота». Есть цепочка из N сосисок. Соседние сосиски соединены перемычками.

Два кота делают ходы по очереди. Каждым ходом можно либо перегрызть перемычку между сосисками, либо съесть отдельную (не соединённую с другими) сосиску.

Выигрывает тот кот, который съел больше сосисок.

Кто — кот, делающий первый ход или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл другой кот?

Рассмотрите случаи, когда:

а) N=3

б) N=5

в) N=7

г) N — произвольное нечётное число.

Решение

Докажем, что для любого нечётного N>1 выигрывает второй кот.

Предполагаем, что для всех нечётных чисел, меньших N и больших 1, это уже доказано.

Первый кот своим ходом делит цепочку на две — чётной и нечётной длины (ничего другого он сделать не может). Если в цепочке нечётной длины больше одной сосиски, то вторым ходом делим цепочку чётной длины пополам. Далее на половинках этой цепочки повторяем ходы соперника, а на цепочке нечётной длины выигрываем в качестве второго игрока по стратегии, которая по предположению у нас уже есть.

Если первым ходом первый отгрыз одну сосиску, то мы её съедаем. Далее своими ходами не создаём новых одиночных сосисок до тех пор, пока это возможно. А одиночные сосиски, созданные первым котом, съедаем во всех случаях, когда это возможно. Заметим, что таким образом мы не сможем съесть меньше сосисок, чем соперник, так как одиночные сосиски образуются либо по одной, либо парами (3 и больше одиночных сосиски одновременно образоваться не могут).

Если в какой-то момент мы вынуждены создать одиночную сосиску, это значит, что остались только цепочки из двух и трёх сосисок.

Цепочки из двух сосисок можно не учитывать, так как они размениваются вничью по инициативе любого из игроков.

Если осталось чётное количество цепочек из 3 сосисок, то их можно не учитывать, так как мы можем разбить их на пары и в каждой паре свести игру вничью повтором ходов на другой «половинке» пары.

Если троек нечётное количество, то это значит, что из чётной части исходной цепочки уже было съедено нечётное количество сосисок. Раз оно нечётное, а мы не могли съесть меньше, чем соперник, значит мы получили преимущество по крайней мере в одну сосиску. Поэтому даже если теперь мы на оставшейся тройке проиграем одну сосиску, то результат игры на нечётном остатке цепочки для нас будет не хуже, чем ничья.

Но вспомним, что мы (то есть кот, делающий в начале игры ход вторым) съели ещё одну сосиску в самом начале. Значит, мы выиграли.

Задание G3

Задание

«Кубики». У Пети и Васи есть N кубиков. Они по очереди ставят на грани кубиков произвольные числа от 1 до N (начинает Петя). Когда на всех гранях всех кубиков стоит какое-нибудь число, они начинают строить из кубиков башню так, что на k-м этаже должен быть обязательно кубик с числом k на одной из своих граней. Кубик для первого этажа выбирает Петя, для второго этажа — Вася, и т. д. Если башню получилось достроить до конца, то выиграет Петя.

Если не получилось (в процессе строительства для какого-то этажа не нашлось подходящего кубика) — выигрывает Вася.

Кто — Петя или Вася — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи, когда:

а) N=3

б) N=4

в) N=5

г) N=7

д) N — произвольное натуральное число.

Решение

Прежде всего заметим (точнее, расскажем школьникам, которые этого ещё не знают), что Петю так зовут потому, что его имя начинается на ту же букву, что и слово «первый«, в Васю — потому, что первая буква его имени — такая же, как в слове «второй«. Если это знать, то решение читать намного удобнее.

а) N=3

Выигрывает Петя. Поскольку игроки делают ходы по очереди, Петя может написать на каждом кубике числа по крайней мере на половину граней — на три из шести. Если Петя напишет на всех кубиках числа 1, 2 и 3, то любой кубик будет подходить для любого этажа (1, 2, 3) и башня в любом случае будет построена.

б) N=4

Выигрывает Петя. На одинм из кубиков он пишет число 1, а на трёх остальных кубиках — числа 2, 3 и 4. (Когда это сделано, оставшиеся пустые грани можно заполнять любыми числами.) Первым своим ходом он ставит на первый этаж тот кубик, на котором написал число 1, а для каждого из остальных этажей (2, 3, 4) годится любой оставшийся кубик, поэтому башня будет построена.

в) N=5

Выигрывает Петя. На одном из кубиков он пишет число 1, а на четырёх остальных кубиках — числа (2, 3, 4), (3, 4, 5), (3, 4, 5) и (3, 4, 5).

Первым своим ходом Петя ставит на первый этаж тот кубик, на котором написал число 1.

В ответ Вася должен заполнить второй этаж. У него для этого есть кубик с числами (2, 3, 4) и, возможно, ещё какой-нибудь кубик или кубики, на которых он мог написать число 2.

Вторым своим ходом Петя ставит на третий этаж кубик с числами (2, 3, 4), если его раньше не использовал Вася. А если использовал — то кубик с числами (3, 4, 5). Оставшиеся 2 кубика с числами (3, 4, 5) подойдут для 4 и 5 этажей. Поэтому башня в любом случае будет достроена.

г) N=7

Выигрывает Петя. На одном из кубиков он пишет число 1, а на четырёх остальных кубиках — числа (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 6, 7), (5, 6, 7), (5, 6, 7) и (5, 6, 7).

Первым своим ходом Петя ставит на первый этаж тот кубик, на котором написал число 1.

К моменту строительства 2-го этажа:

• есть не меньше 1 кубика с цифрой 2, поэтому этаж 2 будет построен;
• есть не меньше 2 кубиков с цифрой 3, поэтому к моменту строительства этажа 3 такие кубики точно не закончатся и этаж 3 будет построен;
• есть не меньше 3 кубиков с цифрой 4, поэтому к моменту строительства этажа 4 такие кубики точно не закончатся и этаж 4 будет построен;
• есть не меньше 4 кубиков с цифрой 5, поэтому к моменту строительства этажа 5 такие кубики точно не закончатся и этаж 5 будет построен.

Стратегия Пети:

• если к моменту строительства 3-го этажа ещё остался неиспользованным кубик (2, 3, 4) — использовать этот кубик для строительства 3-го этажа;
• если к моменту строительства 5-го этажа ещё остался неиспользованным кубик (3, 4, 5) — использовать этот кубик для строительства 5-го этажа;

Таким образом, после постройки 5-го этажа были использованы все кубики, на которых нет цифр 6 и 7. То есть на всех оставшихся неиспользованных кубиках цифры 6 и 7 есть — поэтому этажи 6 и 7 будут построены.

д) N — произвольное натуральное число.

Прежде всего жюри приносит извинения участникам. Уже после турнира выяснилось, что для некоторых значений N (а именно, для N=8, ..., 14) известное жюри решение оказалось неверным, а задача для этих значений N — очень сложной, и мы пока не смогли её решить.

Решение для N<8 было изложено в предыдущих пунктах или же является совсем очевидным.

При больших N выигрывает Вася. Опишем его стратегию.

• Если Петя написал на каком-то кубике число, которое уже есть на этом кубике, то Вася в ответ пишет на этом кубике ещё раз такое же число.
• Иначе, если Петя написал на каком-то кубике нечётное число x (на других гранях этого кубика числа x нет), то Вася считает количество всех кубиков, на которых в данный момент число x написано хотя бы 1 раз (введём для этого количества обозначение K) и пишет в ответ на том же кубике число 2K, если 2K не больше чем N.
• Во всех остальных случаях в ответ на ход Пети Вася пишет на том же кубике любое чётное число (в пределах от 1 до N) по своему усмотрению.

После того, как расставлены числа на все грани, проанализируем сложившуюся ситуацию.

Если найдётся такое число 2a+1, которое Петя поставил не более a раз, то Вася выигрывает. В самом деле, рассмотрим кубики с числами 2a+1. Все числа 2a+1 писал Петя (так как Вася писал только чётные числа). И если количество этих кубиков не больше a, то на одном из них есть число 2, на втором 4, на третьем 6, и т. д. Тогда Вася может использовать эти кубики на соответствующих ходах, тем самым ко времени хода с номером 2a+1 (если к этому моменту игра ещё не закончилась) кубиков с числом 2a+1 уже не будет (если какие-то из этих кубиков использует сам Петя, то ему будет только хуже).

Итак, если Петя не проигрывает, то он хотя бы раз написал число 1, хотя бы 2 раза число 3, хотя бы 3 раза число 5, хотя бы 4 раза число 7, хотя бы 5 раз число 9 и так далее. Наглядно это можно изобразить так:

То есть, чтобы не проиграть при N=1 и N=2, Пете понадобится написать хотя бы одно число (1).

Чтобы не проиграть при N=3 и N=4, Пете понадобится написать хотя бы 3 числа (1, 3, 3).

Чтобы не проиграть при N=5 и N=6, Пете понадобится написать хотя бы 6 чисел (1, 3, 3, 5, 5, 5).

Чтобы не проиграть при N=7 и N=8, Пете понадобится написать хотя бы 10 чисел (1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7).

...

Для любого нечётного T, чтобы не проиграть при N=T и N=T+1, Пете понадобится написать хотя бы числа:

1
3 3
5 5 5
7 7 7 7
9 9 9 9 9
..........
T T T T T T

Количество этих чисел равно ((T+1)/2)(((T+1)/2)+1)/2 (справа к треугольнику из чисел с «катетами» (T+1)/2 можно пририсовать точно такой же перевёрнутый треугольник, и тогда получится прямоугольник со «сторонами» (T+1)/2 и ((T+1)/2)+1, от которого нам нужна половина «площади»).

Но при N=T+1 Петя по правилам игры сможет написать всего 3(T+1) чисел, поэтому, чтобы Петя не проиграл, должно выполняться неравенство
((T+1)/2)(((T+1)/2)+1)/2 ≤ 3(T+1)
((T+1)/2)(((T+1)/2)+1) ≤ 6(T+1)
(T+1)(((T+1)/2)+1) ≤ 12(T+1)
(T+1)((T+1)+2) ≤ 24(T+1)
(T+1)² + 2(T+1) ≤ 24(T+1)
(T+1)² − 22(T+1) ≤ 0

Так как T+1 >1 , неравенство можно разделить на (T+1), получим
(T+1) − 22 ≤ 0
T+1 ≤ 22
N ≤ 22

Итак, мы установили, что у Пети пока остались шансы выиграть только при N ≤ 22, а при любом N > 22 точно выиграет Вася.

Заметим, что при N=22 Пете придётся написать (22/2)((22/2)+1)/2=66 нечётных чисел. Но 66=22*3, то есть Петя израсходует для этого все свои ходы. Но Васе нет никакого смысла писать число 22 (это последний ход — он только поможет Пете). А если же число 22 не будет написано (Вася его писать не будет, а у Пети для этого недостаточно ходов), то самый верхний (22) этаж башни построить не получится, то есть Петя проиграет.

При N<22 Вася никак не сможет помешать Пете добавлять в башню кубики. Васе остаётся только создавать ситуации, когда очередной кубик не сможет добавить в башню сам Вася — проиграет в этом случае всё равно Петя.

Например, при N=20 у Пети есть 20*3=60 возможных ходов. Если Вася будет придерживаться описанной выше стратегии, Пете придётся написать (20/2)((20/2)+1)/2=55 нечётных чисел. Вася может модифицировать свою стратегию, отказавшись от использования числа 18. Тем самым он «подарит» Пете лишний ход, так как тому придётся писать число 19 не 9 раз, а только 8. Но зато Вася может начать «бороться» с числом 18, отвечая на его появление 8 раз последовательно числами 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Тем самым Пете придётся написать число 18 не менее 8 раз. Итого у Пети будет 55−1+8=62 > 60 вынужденных ходов, то есть Петя N=20 проиграет.

При N=21 Петя также проиграет. По сравнению со случаем N=20 у него появится 3 дополнительные возможности для хода, то есть всего 63 возможности. При этом Петя должен будет сделать 62 вынужденных хода, указанных выше, и ещё по крайней мере по 1 разу написать числа 20 и 21. То есть ходов ему не хватит (64 вынужденных и всего 63 возможных).

При N=18 у Пети всего будет 18*3=54 возможных хода и Вася может заставить сделать Петю такие вынужденные ходы:

 1
 3  3
 5  5  5
 7  7  7  7
 9  9  9  9  9
11 11 11 11 11 11
13 13 13 13 13 13 13
15 15 15 15 15 15 15 15
16 16 16 16 16 16 16 16
17 17 17 17 17 17 17 17
18 18 18 18 18 18 18 18
-----------------------
 2  4  6  8 10 12 14  *

(под чертой показан ответ Васи, звёздочка означает, что в ответ Вася пишет то же число, которое написал Петя).
Всего таких вынужденных ходов получается 60 при 54 возможных. Поэтому при N=18 Петя проиграет.

При N=19 у Пети всего будет 19*3=57 возможных ходов. Вася может заставить сделать Петю те же 60 вынужденных ходов, что и при N=18, поэтому при N=19 Вася также выигрывает.

При N=17 у Пети всего будет 17*3=51 возможных ходов и Вася может заставить сделать Петю такие вынужденные ходы:

 1
 3  3
 5  5  5
 7  7  7  7
 9  9  9  9  9
11 11 11 11 11 11
13 13 13 13 13 13 13
15 15 15 15 15 15 15 15
16 16 16 16 16 16 16 16
17 17 17 17 17 17 17 17
-----------------------
 2  4  6  8 10 12 14  *

(под чертой показан ответ Васи, звёздочка означает, что в ответ Вася пишет то же число, которое написал Петя).
Всего таких вынужденных ходов получается 52 при 51 возможном. Поэтому при N=17 Петя проиграет.

При N=16 у Пети всего будет 16*3=48 возможных ходов и Вася может заставить сделать Петю такие вынужденные ходы:

 1
 3  3
 5  5  5
 7  7  7  7
 9  9  9  9  9
11 11 11 11 11 11
13 13 13 13 13 13 13
14 14 14 14 14 14 14
15 15 15 15 15 15 15
16 16 16 16 16 16 16
-----------------------
 2  4  6  8 10 12 *

(под чертой показан ответ Васи, звёздочка означает, что в ответ Вася пишет то же число, которое написал Петя).
Всего таких вынужденных ходов получается 49 при 48 возможных. Поэтому при N=16 Петя проиграет.

При N=15 у Пети всего будет 15*3=45 возможных ходов и Вася может заставить сделать Петю такие вынужденные ходы (2 варианта стратегии Васи):

 1
 3  3
 5  5  5
 7  7  7  7
 9  9  9  9  9
11 11 11 11 11 11
12 12 12 12 12 12
13 13 13 13 13 13
14 14 14 14 14 14
15 15 15 15 15 15
-----------------------
 2  4  6  8 10 *

 1
 3  3
 5  5  5
 7  7  7  7
 9  9  9  9  9
10 10 10 10 10
11 11 11 11 11
12 12 12 12 12
13 13 13 13 13
14 14 14 14 14
15 15 15 15 15
-----------------------
 2  4  6  8  *

(под чертой показан ответ Васи, звёздочка означает, что в ответ Вася пишет то же число, которое написал Петя).
Всего таких вынужденных ходов получается 45 при 45 возможных (для обоих вариантов). Поэтому при N=15 пока ничего не ясно.

Задание H1

Задание

Найдите, сколько содержится:
а) электронов в одном ионе кальция Ca²⁺;
б) нейтронов в одном атоме углерода-13 (¹³C);
в) протонов в 0,5 молях этилового спирта C₂H₅OH (постоянную Авогадро считать равной N_A = 6,022·10²³ 1/моль).

Решение

а) Кальций (Ca) имеет порядковый номер 20 в таблице Менделеева. В одном атоме кальция содержится 20 электронов. А в одном ионе Ca²⁺ — на 2 электрона меньше, то есть 18.

б) Углерод (C) имеет порядковый номер 6 в таблице Менделеева. Значит атом углерода содержит 6 протонов. Общее количество протонов и нейтронов в атоме углерода-13 (¹³C) равно 13. Поэтому количество нейтронов 13−6=7.

в) В атоме углерода (C) содержится 6 протонов, в атоме кислорода (O) содержится 8 протонов и в атоме водорода (H) содержится 1 протон. Количество протонов в одной молекуле C₂H₅OH равно 6·2+1·5+8+1=26.

Количество молекул в 0,5 молях C₂H₅OH равно 0,5 моль · N_A

Количество протонов в 0,5 молях C₂H₅OH равно 26 · 0,5 моль · N_A = 26 · 0,5 · 6,022 · 10²³ = 78,286 · 10²³ = 7,8286 · 10²⁴

Задание H2

Задание

В реакциях горения в чистом кислороде кусочка магния и порошка алюминия было израсходовано одинаковое количество кислорода. Масса кусочка магния 4,8 г. Найдите массу порошка алюминия.

Решение

2Мg + O₂ = 2MgO
4Al + 3O₂ = 2Al₂O₃

Количество вещества магния 0,2 моль. Значит кислорода 0,1 моль. Значит алюминия 1,33 моль или примерно 36 г.

Задание H3

Задание

Биологу в лаборатории понадобился водный раствор следующего состава (раствор Кребса-Ганзеляйта):

вещество	концентрация, ммоль/л
NaCl	118
КСl	4,7
NaHCO3	24,9
СаСl2	2,5
MgSO4	2,4
KH2PO4	1,18
C6H12O6	5,05

Определите, соответствуют ли указанные в таблице концентрации ионов Na⁺ и Cl⁻ в этом растворе концентрациям этих же ионов в водном растворе NaCl концентрации 9 г/л (физиологический раствор).

Концентрации считать соответствующими друг другу, если различие между их величинами составляет менее 0,5% от меньшей величины.

Решение

В растворе Кребса-Ганзеляйта натрия 118 + 24,9 = 142,9 ммоль/л, хлора 118 + 4,7 + 2,5 · 2 = 127,7 ммоль/л.

В физрастворе натрия и хлора по 1000 · 9/(23 + 35,5) = 153,8 ммоль/л.

Проверка на 0,5% показывает, что концентрация ни того, ни того не соответствует.

100(153,8−142,9)/142,9 > 0,5, а также 100(153,8−127,7)/127,7 > 0,5

Задание H4

Задание

Смесь хлоридов железа (II) и меди (II) внесли в избыток водного раствора сульфида калия. Выпавший осадок высушили. Масса осадка оказалась равна 5,6 г. Масса исходной смеси составляла 7,94 г. Определите массу хлоридов железа (II) и меди (II) в исходной смеси.

Решение

FeCl₂ + K₂S = FeS + 2KCl
CuCl₂ + K₂S = CuS + 2KCl

Осадок — это сульфиды. Если взять количество хлорида железа за х моль, а хлорида у моль, то осадка будет
(56+32)х+(64+32)у=5,6 г,
а исходных веществ
(56+71)х+(64+71)у=7,94 г.

88х+96у=5,6
127х+135у=7,94

х=0,02
у=0,04

Отсюда хлорида железа было 2,54 г, хлорида меди 5,4 г.

Задание H5

Задание

В 336 г 5% водного раствора КОН поместили 21,4 г неизвестного минерала. Минерал растворился, а из раствора выпал осадок, после чего в растворе остались катионы только одного вида (K⁺). После разделения (фильтрации) раствора и осадка оказалось, что из осадка можно получить 6,4 г металлической меди (путём прокаливания и последующего нагревания в атмосфере водорода), а при упаривании раствора можно получить 23,0 г твёрдого вещества. Определите химическую формулу минерала.

Решение

Запишем уравнения в общем виде:
CuX_2/n + 2KOH = Cu(OH)₂ + (2/n)K_nX + ?
Cu(OH)₂ = CuO + H₂O
CuO + H₂ = Cu + H₂O

Переведём всё в моли. ν(КОН)=0,3 моль. ν(Cu)=0,1 моль = ν(минерал)

Больше минерала (например, 0,2 моль) быть не может, иначе не получится 0,1 моль гидроксида. Меньше может, но тогда молярная масса минерала 107 г/моль и меньше, а содержание меди в нём больше (минерал имеет вид Cu₂X, что не может быть, так как максимум молярной массы 107 г/моль). То есть M(минерал) = 214 г/моль.

На реакцию с минералом истратилось 0,2 моль гидроксида калия, значит в растворе плавает 0,1 моль KOH и 0,2/n моль K_nX, что в сумме дает 23 г.

Путь анион X имеет молярную массу x г/моль. Тогда:
5,6 + (0,2/n)(39n+x)=23
(0,2/n)(39n+x)=17,4
(39n+x)/n=87
39+(x/n)=87
x/n=48

Если n=1, тогда x=48. Анионов с такой молярной массой и зарядом −1 авторам задачи неизвестно.

Если n=2, то x=96. Соответствует сульфат-аниону.

n>2 быть не может, иначе меди в минерале будет слишком много.

Для n=2 получается расхождение по молярной массе:
214 − 64 − 96 = 54 = 3 · 18.
То есть в минерале есть ещё 3 молекулы воды.

Ответ: минерал бонаттит CuSO₄ · 3H₂O.

Задание H6

Задание

Известно, что при растворении 36,48 г металла в разбавленной азотной кислоте выделилось 8,512 л газа (н. у.) с плотностью по водороду 15. Определите этот металл.

(Другие процессы и химические реакции, которые возможны в данных условиях, не учитывать.)

Решение

Запишем уравнения в общем виде:
X + HNO₃ = X(NO₃)_n + газ + H₂O

Газа выделилось 0,38 моль. Молярная масса газа 30 г/моль, что соответствует NO.
mX + (mn+p)HNO₃ = mX(NO₃)_n + pNO + (2p)H₂O
mn + p = 4p
3p=mn

mX + (4mn/3)HNO₃ = mX(NO₃)_n + (mn/3)NO + (2mn/3)H₂O

Пусть n=1. Тогда ν(X)=1,14 моль. M(X)=32 г/моль. Соответствует сере. Не подходит.

Пусть n=2. Тогда ν(X)=1,5·0,38=0,57 моль. М(Х)=64 г/моль. Соответствует меди. Подходит!

Пусть n=3. Тогда ν(X)=0,38 моль. М(Х)=96 г/моль. Соответствует молибдену, что сомнительно.

Элементы большей валентности обсуждать не стоит. Там будет теллур (4), тербий (5), иридий (6), франций (7), фермий (8), ...

Задание H7

Задание

Определите химические элементы, обозначенные буквами А, Б, В, Г и Д, если известно, что Г — распространённый элемент, входящий в состав минерала магнетита, элемент Д образует простое вещество Д₂ — жёлто-зелёный газ с удушающим запахом, и химические соединения этих элементов могут вступать в следующие реакции

3А₂ = 2А₃
2БА + А₂ = 2БА₂
БВ₄ + В₂А = БА + 3В₂
Г + 2ВД = ГД₂ + В₂

Решение

А — кислород

Б — углерод

В — водород

Г — железо

Д — хлор

Задание H8

Задание

Определите химические вещества, обозначенные в схеме реакций буквами А, Б, В, Г, Д, Е и Ж.

бутен-2 —(КМnO₄, H₂SO₄)—> А —(NaOH)—> Б —(NaOH, t)—> В —(Cl₂, свет)—> Г —(КОН, Н₂О)—> Д

Е —(СН₃Сl, FeCl₃)—> С₆Н₅СН₃ —(КМnO₄, H₂SO₄)—> Ж

Напишите уравнение реакции между веществами Д и Ж.

Решение

А — уксусная кислота

Б — ацетат натрия

В — метан

Г — хлорметан

Д — метанол

Е — бензол

Ж — бензойная кислота

Уравнение реакции между веществами Д и Ж:
С₆Н₅СООН + СН₃ОН = С₆Н₅СООСН₃ + Н₂О

Задание H9

Задание

Определите возможные структуры вещества состава C₁₃H₂₀, не имеющего циклов в своём строении, если известно, что 1 моль этого вещества реагирует с водным раствором перманганата калия, подкисленным серной кислотой, с образованием
1 моль ацетона ( СН₃СОСH₃ ),
2 моль малоновой кислоты (CH₂(СОOH)₂),
1 моль пировиноградной кислоты ( СН₃СОСООН )
и 1 моль углекислого газа.

Решение

При указанных в условии задачи условиях происходит так называемое «окисление двойной связи», то есть двойная связь между двумя атомами углерода разрывается и к каждому такому атому углерода присоединяется двойной связью атом кислорода (фрагмент молекулы ...C=C... заменяется на фрагменты ...С=O и O=C...). Связи C–H у таких атомов углерода (если они есть) также «окисляются» (то есть фрагменты молекулы ...C–H заменяются ...C–O–H). Если в результате должна получиться угольная кислота (H₂CO₃), в реальности образуются углекислый газ (CO₂) и вода (H₂O).

Структуры, удовлетворяющие условию задачи:
CH₃–C(CH₃)=CH–CH₂–CH=CH–CH₂–CH=CH–C(CH₃)=CH₂
CH₃–C(CH₃)=CH–CH₂–CH=CH–CH₂–CH=C(CH₃)–CH=CH₂
CH₃–C(CH₃)=CH–CH₂–CH=CH–C(CH₃)=CH–CH₂–CH=CH₂
CH₃–C(CH₃)=CH–CH₂–CH=C(CH₃)–CH=CH–CH₂–CH=CH₂
CH₃–C(CH₃)=CH–C(CH₃)=CH–CH₂–CH=CH–CH₂–CH=CH₂
CH₃–C(CH₃)=C(CH₃)–CH=CH–CH₂–CH=CH–CH₂–CH=CH₂

Важно понимать, что ацетоновый хвост и метиленовая группа будут строго по бокам! В самом деле, по условию в исходной молекуле нет циклов, поэтому все фрагменты, являющиеся прототипами продуктов реакции, в этой молекуле связаны в цепочку. У прототипов ацетона и углекислого газа для встраивания в цепочку есть только по одной подходящей (двойной) связи, поэтому они находятся на концах цепочки. В середине цепочки должны быть оставшиеся структурные фрагменты: два прототипа малоновой кислоты и один прототип пировиноградной кислоты. Все они как раз имеют по две подходящие для образования цепочки двойные связи.

Началом цепочки будем считать фрагмент H₂C=... (прототип углекислого газа). Следующее звено цепочки можно выбрать 3 способами, следующее — двумя, для следующего останется только одна возможность, и противоположный конец также однозначно определён. Всего получается 2*3=6 вариантов. Это число нужно разделить на 2, так как 2 прототипа малоновой кислоты неразличимы между собой и в цепочки их можно менять местами, что вдвое сокращает количество различных вариантов. С другой стороны, у прототипа пировиноградной кислоты обе двойные связи, с помощью которых он встраивается в цепочку, неэквивалентны между собой. «разворачивая» этот фрагмент в цепочке, можно удвоить количество вариантов.

Окончательно получаем 3*2:2*2=6 вариантов возможных структур. Также можно отметить, что для полученных структур возможно различное расположение атомов в пространстве.

Задание I1

Задание

В русском переводе пародийной поэмы «Батрахомиомахия» (Война лягушек и мышей), написанной в период эллинизма, неоднократно встречаются упоминания кошек.

«Наистрашнейшая — кошка: Даже к зарытым в норе норовит она ловко пробраться».

Что за животное упоминалось вместо кошки в древнегреческом тексте?

Решение

Вместо кошки должна была быть ласка.

Задание I2

Задание

У Тимофея был сын Гавриил. У Гавриила сын Тит, а у Тита четверо сыновей: Уар, Иван, Феодор и Уар. О ком идёт речь?

Решение

Это крестильные имена Ивана III (Тимофей), Василия III (Гавриил), Ивана IV (Тит) и его сыновей Дмитрия, Ивана, Феодора и Дмитрия Углицкого.

Задание I3

Задание

Составьте цепочку знакомств между Сандро Боттичелли и Василием III (через два рукопожатия).

Решение

Художник Сандро Боттичелли был знаком с проповедником Джироламо Савонаролой, который в свою очередь был знаком с Михаилом Триволисом, который под именем Максим был знаком с московским великим князем Василием III.

Задание I4

Задание

Составьте короткую цепочку знакомств между Марией Темрюковной и королевой Марго.

Решение

Мария Темрюковна — жена Ивана IV, Иван IV переписывался со Стефаном Баторием, который сменил брата Маргариты Генриха на польском престоле.

Задание I5

Задание

Великий Новгород, Старая Русса, Торжок, Смоленск, Псков, Тверь, Звенигород-Галицкий, Москва, Мстиславль, Витебск, Старая Рязань, Вологда.

По какому принципу составлен список? Какие ещё древнерусские города могут попасть в этот список?

Решение

Это список городов, в которых найдены древнерусские берестяные грамоты (по состоянию на осень 2015 года). Расположение в списке зависит от количества найденных грамот (в Новгороде более 1000, в Вологде пока только одна). В список могут попасть города, в которых есть «влажный слой«. Например, Киев.

Задание I6

Задание

В истории Древней Руси была битва, во время которой одну из сражающихся сторон возглавляли три князя-тёзки. О каком сражении идёт речь?

Решение

В сражении на Калке в 1223 году русско-половецкими силами командовали три князя Мстислава:

Мстислав Романович Старый (Киев) — погиб в битве,

Мстислав Святославович (Чернигов) — погиб в битве,

Мстислав Мстиславович Удатный (Галич) — бежал.

Задание I7

Задание

Этот товар во второй половине XVI – первой половине XVII веков активно вывозился из Русского государства в Англию для нужд английского флота. Англичане даже называли этот товар созвучно с одним из названий Русского государства. Надо сказать, что у него был более совершенный и современный аналог. Что это за товар и что же привлекало в нём зарубежных покупателей?

Решение

Слюда добывалась в средневековой Руси и активно вывозилась в Европу. Дешевизна слюды по сравнению с оконным стеклом привлекала гражданских покупателей. Моряки использовали слюду для корабельных иллюминаторов, так как она не разлетается на острые осколки (как разбитое стекло).

В Европе слюда называлось «мусковит» (стекло из Московии).

Задание I8

Задание

В середине XIX века великий итальянский композитор Джузеппе Верди был очень популярен по всей Европе. Особенно в несчастной раздробленной Италии, жители которой боролись за объединение своей страны. В городах северной и северо-восточной Италии (они находились под контролем Австрии) часто можно было увидеть надписи «Да здравствует Верди!»

Что авторы надписей хотели высказать кроме почтения великому композитору?

Решение

Слюда добывалась в средневековой Руси и активно вывозилась в Европу. Дешевизна слюды по сравнению с оконным стеклом привлекала гражданских покупателей. Моряки использовали слюду для корабельных иллюминаторов, так как она не разлетается на острые осколки (как разбитое стекло).

В Европе слюда называлось «мусковит» (стекло из Московии).

Задание I9

Задание

Прочитайте художественный текст о событиях, которые, как предполагает автор, могли бы происходить в 1203 году. Найдите исторические ошибки в тексте. Нужно составить список указанных в тексте событий (фактов), которые на самом деле происходили или не тогда, или не там, или не так, как описано в тексте, и объяснить, как, где и с кем они происходили (или почему их вообще не могло быть).

Алиенор Аквитанская

На следующий день после Вознесения Господня 1203 года, в понедельник Алиенор Аквитанская разбирала почту. На столе вдовствующей королевы Великобритании лежали многочисленные пергаменты, присланные со всех концов христианского мира.

Первым Алиенор открыла письмо из Мадрида. Зять, кастильский король Альфонсо, спрашивал за кого выдать дочь Бланку. За французского принца Людовика или графа Ла Марш Гуго IX де Лузиньяна? Кто из женихов лучше?

Алиенор задумалась. Французский король, конечно, выгодный родственник, но его положение неустойчиво. Его война с английским королём Джоном поставила страну на грань гибели, герцоги один за другим присягают на верность англичанам. А Лузиньян хотя и небогат, но отличается верностью и гостеприимством. Он не один раз помогал Алиенор в её делах. Например, однажды провожал в Германию с выкупом за сына Ричарда, а в другой раз приютил в своём замке (в благодарность за это она отдала ему графство Ла Марш).

Пусть Бланка сама выберет жениха, а если тот не понравится, то разведётся с ним и найдёт нового, как бабушка. А если хочет быть, как бабушка, то пусть начинает с французского претендента.

Второе письмо было из Манчестера. Жители этого славного города просили вдовствующую королеву поучаствовать в строительстве грандиозного собора соразмерного значению Манчестера среди городов Изумрудного острова. В Англии помнили щедрость Алиенор и её сына Ричарда, которые вложили не одну сотню талеров в сооружение соборов и монастырей по всему северу королевства. Ответ на это письмо написать было несложно. Алиенор поблагодарила алькальда Манчестера за добрые слова и обещала прислать три сотни гиней для оплаты отделочных работ.

Третий пергамент был прислан из Рима. Папа Иннокентий III жаловался, что он в бедственном положении, так как христианские монархи не прислушиваются к его советам, а церковь бедна. Папская область стала меньше, чем при остготах, а византийцы с минуты на минуту отберут Равенну.

Алиенор молча перечитала скорбное послание понтифика. Ах, в какое безбожное время мы живём. Что бы про это сказали кентерберийский архиепископ Томас Беккет и Генрих II? Ведь они показали эталон симфонии светской и церковной власти. Почему современные короли не берут пример с её покойного мужа? Как он мудро правил своими английскими и французскими владениями! Как терпелив был с сыновьями, особенно с Ричардом.

Воспоминания о умершем супруге заставили Алиенор отвлечься от корреспонденции. Ах, Генрих! Как его сейчас не хватает! С какой гордостью он взирал бы на победы своего сына Джона во Франции, на благородство своего внука Артура, который часто навещает бабушку и всегда приносит добрые вести. Вот кому уготовано великое будущее!

Решение

Алиенор Аквитанская

На следующий день после Вознесения Господня 1203 года, в понедельник¹ Алиенор Аквитанская разбирала почту. На столе вдовствующей королевы Великобритании² лежали многочисленные пергаменты, присланные со всех концов христианского мира.

Первым Алиенор открыла письмо из Мадрида³. Зять, кастильский король Альфонсо, спрашивал за кого выдать дочь Бланку⁴. За французского принца Людовика или графа Ла Марш Гуго IX де Лузиньяна⁵? Кто из женихов лучше?

Алиенор задумалась. Французский король, конечно, выгодный родственник, но его положение неустойчиво. Его война с английским королём Джоном поставила страну на грань гибели⁶, герцоги один за другим присягают на верность англичанам. А Лузиньян хотя и небогат, но отличается верностью и гостеприимством. Он не один раз помогал Алиенор в её делах. Например, однажды провожал в Германию с выкупом за сына Ричарда, а в другой раз приютил в своём замке (в благодарность за это она отдала ему графство Ла Марш)⁷.

Пусть Бланка сама выберет жениха, а если тот не понравится, то разведётся с ним и найдёт нового, как бабушка. А если хочет быть, как бабушка, то пусть начинает с французского претендента.

Второе письмо было из Манчестера. Жители этого славного города просили вдовствующую королеву поучаствовать в строительстве грандиозного собора соразмерного значению Манчестера⁸ среди городов Изумрудного острова⁹. В Англии помнили щедрость Алиенор и её сына Ричарда¹⁰, которые вложили не одну сотню талеров в сооружение соборов и монастырей по всему северу королевства. Ответ на это письмо написать было несложно. Алиенор поблагодарила алькальда¹¹ Манчестера за добрые слова и обещала прислать три сотни гиней¹² для оплаты отделочных работ.

Третий пергамент был прислан из Рима. Папа Иннокентий III жаловался, что он в бедственном положении, так как христианские монархи не прислушиваются к его советам¹³, а церковь бедна. Папская область стала меньше¹⁴, чем при остготах¹⁵, а византийцы с минуты на минуту отберут Равенну¹⁶.

Алиенор молча перечитала скорбное послание понтифика. Ах, в какое безбожное время мы живём. Что бы про это сказали кентерберийский архиепископ Томас Беккет и Генрих II? Ведь они показали эталон симфонии светской и церковной власти¹⁷. Почему современные короли не берут пример с её покойного мужа? Как он мудро правил своими английскими и французскими владениями! Как терпелив был с сыновьями, особенно с Ричардом¹⁸.

Воспоминания о умершем супруге заставили Алиенор отвлечься от корреспонденции. Ах, Генрих! Как его сейчас не хватает¹⁹! С какой гордостью он взирал бы на победы своего сына Джона²⁰ во Франции, на благородство своего внука Артура, который часто навещает бабушку²¹ и всегда приносит добрые вести. Вот кому уготовано великое будущее!²²

Комментарии

1. Вознесение никогда не приходится на воскресенье, т. к. происходит на сороковой день после Пасхи (а она в Воскресенье).

2. Королевство Великобритания появилось только в 1707 году.

3. Столицей Кастилии в начале 13 века был город Толедо. Мадрид же — столица Испании с 1561 года.

4. Бланка Кастильская вышла замуж за Людовика ещё в 1202 году.

5. Гуго де Лузиньян не рассматривался в качестве жениха.

6. На грани гибели в описываемое время находилась не Франция, а Англия.

7. Гуго IX Лузиньян действительно помогал Алиеноре выкупить Ричарда, но потом он захватил её в плен и отдал лишь в обмен на графство Марш.

8. Манчестер в начале 13 века был незначительным городком.

9. Изумрудным островом называют Ирландию, а не Великобританию.

10. Ричард Львиное Сердце запомнился в Англии в первую очередь тем, что неутомимо выкачивал деньги на свои бесконечные военные кампании.

11. Алькальд — административная и судебная должность в пиренейских государствах, но никак не в Англии.

12. Гинеи впервые были начеканены в 1663 году.

13. Иннокентия III называют самым могущественным папой в истории.

14. При Иннокентии III Папская область достигла максимального расширения в истории.

15. Во времена Остготского королевства светской власти у Римских пап не было.

16. В 1203 году Восточная Римская империя не была способна на подобные авантюры.

17. Архиепископ Кентерберийский Томас Беккет и Генрих II очень сильно конфликтовали. Конфликт закончился убийством Томаса Беккета группой рыцарей.

18. Ричард неоднократно бунтовал против отца.

19. Генрих II держал Алиенору в заключении в течение 16 лет. Вряд ли она скучала по ушедшему супругу.

20. За военные неудачи Джона называли «Мягкий меч».

21. В 1202 году Артур осадил свою бабушку в замке Мирбо.

22. В 1203 году Артур был убит.

Задание I10

Задание

Прочитайте художественный текст о событиях, которые, как предполагает автор, могли бы происходить в середине V века до нашей эры (82 Олимпиада состоялась в 452 г. до н. э.). Найдите исторические ошибки в тексте. Нужно составить список указанных в тексте событий (фактов), которые на самом деле происходили или не тогда, или не там, или не так, как описано в тексте, и объяснить, как, где и с кем они происходили (или почему их вообще не могло быть).

Симпосий в Массалии

Весенним вечером 2 боэдромиона третьего года восемьдесят второй олимпиады, когда жара спала, в доме купца Агафокла собралось семеро друзей. Как говорит пословица, гостей должно быть не больше, чем Муз, и не меньше, чем Харит. Рассевшись за удобным столом, приглашённые ждали хозяина, беседуя с его дочерями и женой. Наконец в андрон вошёл Агафокл, сопровождаемый двумя рабами-скифами. Скифы принесли вино в пифосах, килики для питья и закуски. Председателем пиршества, симпосиархом, единогласно выбрали Никомаха. Он занял почётное место и немедленно распорядился налить всем вина для тоста за победу греческого оружия над персами. Друзья единодушно поддержали Никомаха, но Ликий заметил, что победа неполная.

«Как это неполная?» — удивился Никомах. Ведь города Малой Азии снова стали независимыми, а персы больше никогда не смогут вводить свой флот в Эгейское море!

Ликий ответил, что это правда, но держава потомков кровожадного Навуходоносора II продолжает существовать, и потеря нескольких городов на западе незначительно уменьшила владения персидских царей. Гости зашумели. Ликий продолжил речь. «Я верю, друзья мои, что греческие воины дойдут до края Персидской земли, как Ксенофонт и его товарищи».

«Боги помогут, это хорошее дело — громить варваров на их земле!» — воскликнул Клеон — «а потом пусть вернутся и уничтожат Карфаген за его отвратительное поведение».

Карфаген был извечным врагом греков. Многие годы карфагеняне не давали грекам основывать города, торговать с варварами и сеять веру в Зевса. Пусть флот Родосской симмахии пронесётся по берегам Нумидии и Испании, грозные спартанские пельтасты разрушат вражеские города. Тогда можно будет и галлов приструнить, и кимвров, и тевтонов. Путь через Геракловы столбы снова будет открыт. Греки вернут себе старинные владения на Оловянных островах, отторгнутые коварными финикийцами. Массалийские мореплаватели снова смогут посещать южную Ливию, как это делал великий эллин Ганнон.

Тем временем рабы разнесли гостям закуски: сыр, хлеб, оливки и грецкие орехи. В кратере уже смешали вино с водой. Никомах предложил поднять чаши за успех в зимней олимпиаде, на которую массалийцы возлагали большие надежды. Пусть Посейдон, покровитель Олимпийских игр, поможет массалийским стрелкам на соревнованиях! Должна же и нам улыбнуться Фортуна.

Третью чашу посвятили Плавту, ведь его новая комедия «Царь Эдип» гремела по всей Ойкумене от далёкого Туле и до мыса Бохадор. Говорят, что галльский царь Верцингеториг выучил греческий только для того, чтобы насладиться языковой игрой великого насмешника Плавта. Из гостей только Полидор предпочитал Плавту Аристофана.

На третьей чаше стоило бы остановиться, так как Аполлон не велит упиваться вином. Но симпосий продолжался, чаша лилась за чашей, гости играли в коттаб и трик-трак. Прекратилось пиршество только после того, как стражники постучали в окно с улицы. Дескать, что шумите, пора и честь знать. Друзья, кутаясь в тоги, разошлись по домам. А Агафокл, которому не спалось, достал свиток Платона.

Решение

Симпосий в Массалии

Весенним вечером 2 боэдромиона¹ третьего года восемьдесят второй олимпиады, когда жара спала, в доме купца Агафокла собралось семеро друзей. Как говорит пословица, гостей должно быть не больше, чем Муз, и не меньше, чем Харит. Рассевшись² за удобным столом, приглашённые ждали хозяина, беседуя с его дочерями и женой³. Наконец в андрон вошёл Агафокл, сопровождаемый двумя рабами-скифами. Скифы принесли вино в пифосах⁴, килики для питья и закуски. Председателем пиршества, симпосиархом, единогласно выбрали Никомаха. Он занял почётное место и немедленно распорядился налить всем вина для тоста за победу греческого оружия над персами. Друзья единодушно поддержали Никомаха, но Ликий заметил, что победа неполная.

«Как это неполная?» — удивился Никомах. Ведь города Малой Азии снова стали независимыми, а персы больше никогда не смогут вводить свой флот в Эгейское море!

Ликий ответил, что это правда, но держава потомков кровожадного Навуходоносора II⁵ продолжает существовать, и потеря нескольких городов на западе незначительно уменьшила владения персидских царей. Гости зашумели. Ликий продолжил речь. «Я верю, друзья мои, что греческие воины дойдут до края Персидской земли, как Ксенофонт⁶ и его товарищи».

«Боги помогут, это хорошее дело — громить варваров на их земле!» — воскликнул Клеон — «а потом пусть вернутся и уничтожат Карфаген за его отвратительное поведение».

Карфаген был извечным врагом греков. Многие годы карфагеняне не давали грекам основывать города, торговать с варварами и сеять веру в Зевса⁷. Пусть флот Родосской симмахии⁸ пронесётся по берегам Нумидии⁹ и Испании, грозные спартанские пельтасты¹⁰ разрушат вражеские города. Тогда можно будет и галлов приструнить, и кимвров¹¹, и тевтонов. Путь через Геракловы столбы снова будет открыт. Греки вернут себе старинные владения на Оловянных островах¹², отторгнутые коварными финикийцами. Массалийские мореплаватели снова смогут посещать южную Ливию, как это делал великий эллин Ганнон¹³.

Тем временем рабы разнесли гостям закуски: сыр, хлеб, оливки и грецкие орехи¹⁴. В кратере уже смешали вино с водой. Никомах предложил поднять чаши за успех в зимней¹⁵ олимпиаде, на которую массалийцы возлагали большие надежды. Пусть Посейдон¹⁶, покровитель Олимпийских игр, поможет массалийским стрелкам¹⁷ на соревнованиях! Должна же и нам улыбнуться Фортуна¹⁸.

Третью чашу посвятили Плавту¹⁹, ведь его новая комедия «Царь Эдип»²⁰ гремела по всей Ойкумене от далёкого Туле²¹ и до мыса Бохадор²². Говорят, что галльский царь Верцингеториг²³ выучил греческий только для того, чтобы насладиться языковой игрой великого насмешника Плавта. Из гостей только Полидор предпочитал Плавту Аристофана²⁴.

На третьей чаше стоило бы остановиться, так как Аполлон²⁵ не велит упиваться вином. Но симпосий продолжался, чаша лилась за чашей, гости играли в коттаб и трик-трак²⁶. Прекратилось пиршество только после того, как стражники постучали в окно с улицы²⁷. Дескать, что шумите, пора и честь знать. Друзья, кутаясь в тоги²⁸, разошлись по домам. А Агафокл, которому не спалось, достал свиток Платона²⁹.

Комментарии

1. Боэдромион не весенний месяц, а осенний.

2. Древние греки не сидели за столом, а полулежали.

3. В древнегреческом обществе женщины не выходили на мужскую половину дома при посторонних.

4. Пифос — глиняный сосуд очень большого размера. Мог быть больше человеческого роста.

5. Навуходоносор II правил не Персией, а Нововавилонским царством.

6. Писатель и полководец Ксенофонт, автор «Анабасиса» родился только через четыре года после описываемого пира. К тому же поход десяти тысяч греков не был завоевательным, а скорее являлся эвакуацией наёмнического войска из Междуречья после гибели Кира Младшего.

7. Греки не занимались пропагандой своей религии.

8. После греко-персидских войн был создан Делосский Союз (симмахия), а не Родосский.

9. Нумидия — римское название северо-западной части Африки. Греки скорее бы назвали эти земли Ливией.

10. Пельтасты — лёгкая пехота, вооружённая дротиками и короткими мечами. Основой же греческого войска в V в. до н. э. были тяжеловооружённые гоплиты.

11. Кимвры и тевтоны впервые упоминаются во II в. до н. э.

12. Оловянные острова, упоминаемые Геродотом, были разведаны финикийцами, греки их не посещали и тем более ими не владели.

13. Ганнон — карфагенянин, а не грек.

14. По мнению многих историков распространение грецкого ореха в Средиземноморье началось в период эллинизма (то есть, через 150 лет после описанных событий).

15. В Древней Греции не было деления на зимние и летние олимпиады.

16. Олимпийские игры были посвящены Зевсу, а не Посейдону.

17. Стрельба из лука не была олимпийской дисциплиной.

18. Фортуна — римская богиня. Ей соответствует греческая Тюхе (Тихея).

19. Плавт был римлянином и жил III–II вв. до н. э.

20. «Царь Эдип» — не комедия, а трагедия. И написал её не Плавт, а Софокл.

21. Под именем Туле Пифей описал либо Гренландию, либо Исландию.

22. Мыс Бохадор на территории Западной Сахары грекам V в. до н. э. не был известен.

23. Верцингеториг жил в I в. до н. э.

24. Аристофан в середине V в. до н. э. ещё не родился.

25. Дионис, а не Аполлон покровительствует вину и пиршествам.

26. Трик-трак — вариант игры в нарды, в Древней Греции известен не был.

27. В древнегреческих домах окна выходили во внутренний двор, а не на улицу.

28. Тога — римская одежда, а не греческая.

29. В середине V в. до н. э. Платон ещё не родился.

Задание L1

Задание

Перед Вами — семь предложений на языке урарина и их переводы на русский язык, сделанные утомлённым переводчиком. В одном из семи переводов допущена ошибка:

1.	sa kwaraa akano.	Змея увидела крысу.
2.	akano kwaraa sa.	Крыса увидела змею.
3.	tahaae kwaraa reemae.	Пёс увидел птицу.
4.	reemae kwaraa reemae.	Пёс увидел пса.
5.	sa kwaraa arulari.	Лиса увидела крысу.
6.	hanulari kwaraa hanulari.	Ягуар увидел ягуара.
7.	hanulari kwaraa tahaae.	Ягуар увидел птицу.

Задание 1. Какую именно ошибку допустил переводчик и в каком из переводов? Кратко поясните Ваш ответ.

Задание 2. Переведите на язык урарина (но без ошибок!):

Пёс увидел лису.

Птица увидела птицу.

Крыса увидела ягуара.

Примечание. На языке урарина (симаку) говорит около 3000 человек в Перу. Родственные связи языка урарина не установлены.

Решение

Очевидно, что слово kwaraa означает ‘увидел(а)’; ни оно, ни существительные не изменяются. Сначала может показаться, что порядок слов в предложениях языка урарина такой же, как в русском. Тогда sa – это ‘змея’, akano — ‘крыса’, tahaae — ‘пёс’, а reemae — ‘птица’. Однако в предложении 4 нас поджидает сюрприз: оно звучит как reemae kwaraa reemae, но означает вовсе не «Птица увидела птицу», а «Пёс увидел пса»! Может быть, ошибка допущена в предложении 3? Но предложение 5 начинается со слова sa, которое, как мы предположили, означает ‘змея’, а в переводе этого слова нет. А поскольку из условия известно, что переводчик допустил только одну ошибку, приходится признать, что порядок слов в языке урарина — обратный русскому: прямое дополнение — сказуемое — подлежащее. Зная это, мы можем составить «словарик» встречающихся в задаче существительных:

Слово	Перевод
akano	змея
arulari	лиса
hanulari	ягуар
reemae	пёс
sa	крыса
tahaae	птица

Задание 1. Теперь видно, что ошибка допущена в предложении 7: переводчик действительно перепутал порядок слов. На самом деле это предложение означает не «Ягуар увидел птицу», а «Птица увидела ягуара».

Задание 2.

Пёс увидел лису — arulari kwaraa reemae.

Птица увидела птицу — tahaae kwaraa tahaae.

Крыса увидела ягуара — hanulari kwaraa sa.

Задание L2

Задание

В языке ниуэ некоторые глаголы имеют форму множественного числа. Даны формы единственного и множественного числа нескольких таких глаголов:

	Ед. ч.	Мн. ч.	Перевод
1.	mohe	momohe	уснуть
2.	nono	nonono	замолчать
3.	pine	pinepine	приколоть булавками
4.	lele	felele	лететь
5.	tuna	tutuna	сидеть без дела
6.	oko	okooko	собрать
7.	mui	mumui	идти следом
8.	fuli	fulifuli	перевернуть
9.	hola	fehola	убежать, спастись бегством
10.	hoko	hohoko	добраться, прибыть
11.	oka	feoka	врезаться, столкнуться
12.	veu	veuveu	открыть

Задание. Образуйте форму множественного числа от глаголов:

mole	‘уйти’
ala	‘проснуться’
oho	‘броситься, ринуться’
nofo	‘сидеть’
lipi	‘разбить’

Поясните Ваше решение.

Примечание. Язык ниуэ — один из полинезийских языков. На нём говорит около 8000 человек на острове Ниуэ и в Новой Зеландии.

Решение

Глаголы, приведённые в задаче, образуют множественное число тремя разными способами: путём полного удвоения основы (oko — okooko), путём удвоения первого слога (mui — mumui) и путём присоединения приставки fe- (oka — feoka). Выбор одного из этих способов зависит только от значения глагола.

Переходные глаголы, то есть глаголы, присоединяющие прямое дополнение («приколоть булавками», «собрать» и т. д.), образуют множественное число путём полного удвоения. Соответственно, два других способа возможны только для непереходных глаголов. Рассмотрим глаголы, образующие множественное число с помощью приставки fe-: oka ‘врезаться, столкнуться’, hola ‘убежать, спастись бегством’, lele ‘лететь’. Можно заметить, что в их значении есть нечто общее: все эти глаголы передают идею быстрого, резкого движения. Остальные непереходные глаголы (уснуть’, ‘идти следом’, ‘замолчать’ и т.—д.) образуют множественное число путём удвоения первого слога.

Ответ на задание.

mole — momole ‘уйти’
ala — aala ‘проснуться’
oho — feoho ‘броситься, ринуться’
nofo — nonofo ‘сидеть’
lipi — lipilipi ‘разбить’

Задание L3

Задание

Даны существительные албанского языка в именительном падеже единственного числа в двух формах: неопределённой (zog ‘<какая-то> птица’) и определённой (zogu ‘<эта> птица’) с указанием рода:

№ п/п	Неопределённая форма	Определённая форма	Род	Перевод
1	zog	zogu	м	птица
2	lopë	lopa	ж	корова
3	kalë	kali	м	лошадь
4	ushtri	ushtria	ж	армия
5	panterë	pantera	ж	пантера
6	pisk	pisku	м	узел
7	galeri	galeria	ж	галерея
8	njeri	njeriu	м	человек
9	burrë	burri	м	мужчина, муж
10		djali	м	мальчик
11	kafshë	kafsha		зверь
12	bari		м	пастух
13		krahu	м	рука
14		molla	ж	яблоко
15	peshk	peshku		рыба
16	ballë		м	лоб
17		fuqia	ж	сила
18	fjalë		ж	слово
19	shtëpi		ж	дом
20	qiri	qiriu		свеча
21		shoku	м	товарищ

Задание. Заполните пропуски. Поясните Ваше решение.

Примечание.   ë — особый гласный албанского языка.

Решение

Образование определённой формы зависит от рода существительного и от того, на какой звук оно заканчивается в неопределённой форме:
— у слов мужского рода, оканчивающихся на -ë, это -ë заменяется на -i;
— к словам мужского рода, оканчивающимся иначе, добавляется -u;
— у слов женского рода, оканчивающихся на -ë, это -ë заменяется на -a;
— к словам женского рода, оканчивающимся иначе, добавляется -a.

Разумеется, род албанских существительных никак не зависит от рода их русских переводов.

Ответ на задание (пропущенные формы албанских слов и данные об их роде выделены жирным шрифтом):

№ п/п	Неопределённая форма	Определённая форма	Род	Перевод
1	zog	zogu	м	птица
2	lopë	lopa	ж	корова
3	kalë	kali	м	лошадь
4	ushtri	ushtria	ж	армия
5	panterë	pantera	ж	пантера
6	pisk	pisku	м	узел
7	galeri	galeria	ж	галерея
8	njeri	njeriu	м	человек
9	burrë	burri	м	мужчина, муж
10	djalë	djali	м	мальчик
11	kafshë	kafsha	ж	зверь
12	bari	bariu	м	пастух
13	krah	krahu	м	рука
14	mollë	molla	ж	яблоко
15	peshk	peshku	м	рыба
16	ballë	balli	м	лоб
17	fuqi *	fuqia	ж	сила
18	fjalë	fjala	ж	слово
19	shtëpi	shtëpia	ж	дом
20	qiri	qiriu	м	свеча
21	shok	shoku	м	товарищ

* Не fuqië, поскольку нам не встретилось ни одного слова, в котором -ë стояло бы после гласной.

Задание M1

Задание

Как известно, длину можно мерять Попугаями. В одном Удаве 38 Попугаев. Известно, что длина Императорского пингвина 100 сантиметров, а длина Удава — 380 сантиметров. Сколько Попугаев в Императорском пингвине?

Решение

Поскольку длина удава 380 см, а в нём помещается 38 попугаев, длина одного попугая 380 см/38 = 10 см. Если длина императорского пингвина 100 см, в нём помещается 100 см/10 см = 10 попугаев.

Ответ: 10 попугаев.

Задание M2

Задание

Прямоугольник размером 3×4 клеточки можно разрезать по клеточкам как на 3 одинаковые части, так и на 4 одинаковые части.

Нарисуйте по клеточкам какую-нибудь другую фигуру (не квадрат и вообще не прямоугольник), которую также можно разрезать по клеточкам как на 3 одинаковые части, так и на 4 одинаковые части.

Решение

Одно из возможных решений показано на рисунке.

Приведём ещё несколько примеров.

Задание M3

Задание

Разговаривают четверо детей:

Оля: у Кати больше бубликов, чем у меня.
Толя: количество Катиных бубликов равно удвоенному количеству Олиных.
Катя: Толя говорит правду.
Коля: у кого-то из вас всего 1 бублик.

Известно, что всего у ребят 5 бубликов. И только один ребёнок сказал неправду. У кого сколько бубликов?

Решение

Толя говорит правду. Так как если бы его слова были неправдой, то также неправдой были бы слова Кати. А по условию неправду сказал только один. Значит, Толя сказал правду. Тогда Катя тоже сказала правду.

По словам Толи и, у Кати и у Оли могут быть такие количества бубликов:

Катя	Оля
0	0
2	1

Больше 1 бублика у Оли быть не может, так как тогда у Кати будет больше 2 бубликов и всего бубликов будет больше 5.

Если у Кати 2 бублика и у Оли 1, то утверждения и Оли, и Коли оказываются верными. Это противоречит условию задачи о том, что кто-то один сказал неправду.

Если у Кати и Оли нет бубликов, то Оля говорит неправду. Тогда правду говорит Коля. Тогда у Толи 1 бублик, а у самого Коли 4, и все условия задачи выполнены.

Задание M4

Задание

Прямоугольный лист бумаги (рисунок слева) перегнули по пунктирной линии. Получившаяся конфигурация показана на рисунке в центре. Затем был сделан ещё один перегиб — так, чтобы совпали углы листа, обозначенные буквами C и D (рисунок справа).

Одни и те же точки листа на разных рисунках обозначены одинаковыми буквами, оборотная сторона листа для наглядности закрашена серым.

Докажите, что KN=NL и NG=GL.

Решение

Прежде всего отметим, что линия перегиба листа бумаги — это отрезок прямой (а не какая-нибудь кривая линия). Будем считать этот факт очевидным (хотя его аккуратное объяснение не очень просто).

Перерисуем правый рисунок ещё раз, обозначив на нём пунктирной линией ту часть края $CD$, которую закрывает лист бумаги. Точку перегиба края $CD$ обозначим буквой $X$.

Очевидно, что $CX=DX$ (раз отрезки $CX$ и $DX$ накладываются друг на друга).

Кроме того, углы $CXN$ и $DXN$ равны друг другу (раз они точно друг на друга накладываются). Тогда эти углы — прямые, поскольку их сумма равна 180 градусам (развёрнутому углу $CXD$ в тот момент, пока лист ещё не был согнут).

Таким образом, отрезок $XN$ является серединным перпендикуляром к отрезку $CD$, то есть средней линией трапеции $CDLK$ на среднем рисунке. Эта средняя линия делит боковую сторону трапеции $LK$ пополам. Тем самым мы доказали, что $KN=NL$.

То есть треугольник $KNL$ — равнобедренный. Введём обозначение $\alpha$ для его равных углов: $\angle NKL =\angle NLK = \alpha$.

Заметим, что $\angle GNL = \angle NLK = \alpha$, так как отрезки $GN || LK$ параллельны.

На левом рисунке из условия угол $\angle LKC = \alpha$ (это тот же самый угол, что и $\angle NKL$ на правом рисунке, где мы его наблюдаем с оборотной стороны листа). Соответственно, угол $\angle BKL = 180^\circ - \alpha$.

На среднем рисунке $\angle BKC = \angle BKL - \angle CKL = (180^\circ - \alpha) - \alpha = 180^\circ - 2\alpha$. На этом же рисунке $\angle MLD = \angle BKC = \alpha$, так как $ML||BK$ и $KC||LD$ (это — отрезки параллельных сторон прямоугольника).

Рассмотрим развёрнутый $\angle KLD$ на правом рисунке:
$180^\circ = \angle KLD = \angle MLD + \angle NLG + \angle KLN = (180^\circ - 2\alpha) + \angle NLG + \alpha$
$0 = - 2\alpha + \angle NLG + \alpha$
$\angle NLG = \alpha$

Таким образом, треугольник $LGN$ — равнобедренный ($\angle GNL = \angle NLG = \alpha$), поэтому его боковые стороны равны: $NG=GL$.

Задание M5

Задание

Может ли сумма каких-то 2015 последовательных натуральных чисел быть равна сумме каких-то 2016 последовательных натуральных чисел?

Решение

Да, может.

Рассмотрим суммы:

                      (2016+1) + ... + (2016+2014) + (2016+2015)
(2014+1) + (2014+2) + (2014+3) + ... + (2014+2016)

В первой строке выписано 2015 подряд идущих слагаемых, а во второй — 2016 подряд идущих слагаемых (слагаемые можно нумеровать вторыми числами в скобках: 1, 2, 3, ...).

Слагаемые в скобках, записанные друг над другом, равны. Оставшиеся слагаемое (2016+2015) в первой строке равно сумме двух оставшихся слагаемых (2014+1)=2015 и (2014+2)=2016 во второй строке. Поэтому суммы в первой и во второй строке равны друг другу.

Найти это решение можно, например, так.

Пусть сумма 2015 последовательных натуральных чисел начинается с числа x, то есть

x + (x+1) + ... + (x+2013) + (x+2014) = 2015x + (1+2+...+2014) = 2015x + 0,5(1+2014)*2014 = 2015x + 2015*1007

Пусть сумма 2016 последовательных натуральных чисел начинается с числа y, то есть

y + (y+1) + ... + (y+2013) + (y+2015) = 2016y + (1+2+...+2015) = 2016y + 0,5(1+2015)*2015 = 2016y + 1008*2015

2015x + 2015*1007 = 2016y + 1008*2015
2015x = 2016y + 2015
2015x − 2015 = 2016y
2015*(x−1) = y*2016

Задание M6

Задание

Придумайте такую функцию f(x), что f(f(x))=−x² для всех действительных x.

Решение

Например,
$f(x)=-|x|^{\sqrt{2}}$.

Тогда
$f\left(f(x)\right)=f\left(-|x|^\sqrt{2}\right)=-\left|-|x|^\sqrt{2}\right|^\sqrt{2}=-\left||x|^\sqrt{2}\right|^\sqrt{2}=-\left(|x|^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}=-|x|^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-|x|^2=-x^2$.

Задание M7

Задание

Прошёл турнир по следующей схеме.

Участники разделились на группы равной численности, в каждой группе каждый сыграл с каждым по одной партии и определился единоличный победитель.

Затем прошёл финал, в котором играли только победители групп и каждый сыграл с каждым другим по одной партии.

Общее количество партий в турнире делится на количество участников. Докажите, что количество участников финала нечётно.

Решение

Пусть $M$ — количество групп, $N$ — количество человек в каждой группе. Тогда $MN$ — общее количество участников турнира.

В каждой группе было сыграно $\displaystyle\frac{N(N-1)}{2}$ партий в каждой группе и $\displaystyle\frac{M(M-1)}{2}$ — в финале.

Общее количество партий в турнире
$\displaystyle M\cdot\frac{N(N-1)}{2} + \frac{M(M-1)}{2}$

По условию это число делится на количество участников $MN$. Пусть $X$ — частное от деления, то есть

$\displaystyle \frac{1}{MN} \left(M\cdot\frac{N(N-1)}{2} + \frac{M(M-1)}{2}\right) = X$

$MN(N-1) + M(M-1) = 2MNX$

$N(N-1) + (M-1) = 2NX$

Правая часть этого равенства чётна, поэтому должна быть чётной и левая часть. Среди чисел $N$ и $(N-1)$ одно обязательно чётно, поэтому чётно и их произведение $N(N-1)$, то есть первое слагаемое левой части. Тогда второе слагаемое $(M-1)$ тоже должно быть чётным, поэтому $M$ — нечётно.

Задание M8

Задание

Схема железнодорожного узла из k станций имеет следующий вид:

Справа к узлу приближается состав из M локомотивов, которые могут двигаться лишь справа налево, при этом на каждом пути может уместиться любое число локомотивов. При каком наибольшем M локомотивы при прохождении через узел могут перестроиться в любом порядке?

Решение

Ответ. Когда $M \leqslant n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$.

Траектория каждого локомотива однозначно определена выбором веток, на которые он отправлен. А это составляет $N = n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$ возможностей. Если $M > N$, то по принципу Дирихле найдутся два локомотива, которые будут иметь одну и ту же траекторию и не смогут поменять порядок.

Покажем теперь, что если $M \leqslant N$, то любой порядок достижим.

Сопоставим каждому вагону $k$-значный код. Последняя (наименее значимая) «цифра» кода есть число от 1 and до $n_1$, вторая — число от 1 до $n_2$, и т. д., старшая «цифра» заключена между 1 и $k_n$. Общее число закодированных чисел равно $N$, так что если $M \leqslant N$, каждому локомотиву мы можем присвоить свой код. Мы сделаем это таким образом, чтобы коды (номера) локомотивов были упорядочены в том порядке, в каком эти локомотивы требуется расставить (чем меньше код локомотива, тем левее в итоге он должен оказаться).

Движение локомотивов будет осуществляться по следующим правилам:

• Только после того, как все локомотивы подъезжают к $i$-й станции, они будут разъезжаться по её веткам.
• Номер ветки, куда направляется локомотив, равен $i$-му знаку его кода.
• Сперва со станции выезжают локомотивы первой ветки, затем второй, и т. д.

Легко видеть, что при этом локомотив с меньшим кодом окажется левее любого локомотива, код которого больше. Так что любая перестановка достижима.

Примечание. Если количество веток на самой большой станции не больше 9, то в качестве цифр кода можно использовать обычные цифры от 1 до 9. Если количество веток больше — нужно придумывать дополнительные «цифры» (например, A=10, B=11, C=12, и т. п.). Сравниваются коды по обычным правилам: сначала сравниваются первые «цифры», если они одинаковы — то сравниваются вторые, и т. д. Как только на какой-то позиции окажутся различные «цифры» — большим следует считать тот код, у которого на этой позиции «цифра» больше.

Задание T1

Задание

Поэты Самуил Маршак (1887–1964) и Даниил Хармс (1905–1942) были хорошо знакомы и даже сочиняли стихи вместе. А иногда они переводили детские произведения с иностранных языков. Стихотворение Маршака «Три зверолова» является свободным переводом английской песенки, а стихотворение Хармса считается оригинальным.

Три зверолова		* * *
Три смелых зверолова Охотились в лесах. Над ними полный месяц Сиял на небесах. — Смотрите, это — месяц! — Зевнув, сказал один. Другой сказал: — Тарелка! — А третий крикнул: — Блин! Три смелых зверолова Бродили целый день, А вечером навстречу К ним выбежал олень. Один сказал: — Ни слова, В кустарнике олень! — Другой сказал: — Корова! — А третий крикнул: — Пень! Три смелых зверолова Сидели под кустом, А кто-то на берёзе Помахивал хвостом. Один воскликнул: — Белка! Стреляй, чего глядишь! — Другой сказал: — Собака! — А третий крикнул: — Мышь!		Фадеев, Калдеев и Пепермалдеев однажды гуляли в дремучем лесу. Фадеев в цилиндре, Калдеев в перчатках, а Пепермалдеев с ключом на носу. Над ними по воздуху сокол катался в скрипучей тележке с высокой дугой. Фадеев смеялся, Калдеев чесался, а Пепермалдеев лягался ногой. Но вдруг неожиданно воздух надулся и вылетел в небо горяч и горюч. Фадеев подпрыгнул, Калдеев согнулся, а Пепермалдеев схватился за ключ. Но стоит ли трусить, подумайте сами, — давай мудрецы танцевать на траве. Фадеев с картонкой, Калдеев с часами, а Пепермалдеев с кнутом в рукаве. И долго, весёлые игры затеяв, пока не проснутся в лесу петухи, Фадеев, Калдеев и Пепермалдеев смеялись: ха-ха, хо-хо-хо, хи-хи-хи!

Почему и звероловы, и мудрецы кажутся смешными чудаками? Мир вокруг них — тоже странный или обычный?

Назовите другие стихотворения, где смешные ситуации создаются при помощи описания чего-либо странного, глупого, нелогичного.

Решение

В задании нужно было поподробнее рассказать о персонажах обоих стихотворений и том, что происходит вокруг них (о так называемом «художественном мире»). Высокие баллы получили те, кто смог понять, как авторы создают смешные ситуации. И ещё те, кто смог найти разницу между стихотворениями:

Мир вокруг героев предстает перед нами совершенно обычным в первом стихотворении: «над ними полный месяц сиял на небесах...», «а вечером навстречу к ним выбежал олень...». Во втором же произведении мир кажется «сошедшим с ума»: «И долго, весёлые игры затеяв, // пока не проснутся в лесу петухи...» Какие могут быть петухи в лесу?? «Над ними по воздуху сокол катался // в скрипучей тележке с высокой дугой» — разве встретишь такое в реальной жизни? Весь мир, все кажется во втором стихотворении выдумкой.
(Зимина Дарья, 9 класс, Гимназия № 3, город Волгоград)

Мы привыкли к тому, что звероловы — серьёзные, и даже где-то жестокие люди. Здесь же они описаны как весельчаки и шутники. Мудрецов мы себе тоже представляем по-другому. Они должны быть очень умными, серьёзными людьми в очках и костюмах. В стихотворении они представлены действительно смешными и чудаковатыми. Мир вокруг звероловов вполне обычный для нас. А мир мудрецов — слегка странный: сокол катается по воздуху в скрипучей тележке, а воздух надувается и вылетает в небо. Это даже представить тяжело.
(Исмаилова Нина, 5 класс, Лицей № 44 города Чебоксары)

И звероловы, и мудрецы кажутся смешными чудаками из-за их взгляда на происходящие вокруг события и из-за их поведения. Например, звероловы не видели разницы между белкой, собакой и мышью. Они не знают таких простых истин, как то, что собаки не умеют лазить по деревьям. Звероловы не смогли отличить оленя от пня. Но мудрецы вызывают намного больше вопросов. Например, почему в дремучем лесу «Фадеев в цилиндре, Калдеев в перчатках, а Пепермалдеев с ключом на носу»?
(Соколов Александр, 8 класс, школы № 1208 города Москвы)

Мир и там, и там необычен. Но у Маршака к абсурду относится лишь «полный месяц», а Хармс создаёт подчёркнуто трудновообразимый и сюрреалистический мир — полностью в своём стиле.
(Никаноров Александр, 8 класс, школа № 91, город Москва)

Итак, оба поэта используют приёмы абсурда — то есть, в стихах происходит что-то странное и нелепое. Но звероловы в стихотворении, переведённом Маршаком, необычно смотрят на более привычный для нас мир и неправильно называют простые предметы вокруг них (а один из них ведёт себя совершенно обыкновенно, чтобы на его фоне другие выглядели глупее). А в стихотворении Хармса и сами мудрецы ведут себя странно, и мир вокруг них выглядит удивительно.

При ответе на вопрос о других стихотворениях со странными ситуациями многие правильно называли произведения Л. Кэрролла, С. Миллигана, Г. Остера, Д. Хармса и др. Особенно хорошо, что некоторыми ребятами в пример приводились малоизвестные стихи, и даже не по одному. А кто-то не просто писал названия, но и объяснял, почему считает свой пример похожим на те стихи, которые приведены в задании.

Задание T2

Задание

Перед вами отрывки из двух книг. Одна написана русским автором, другая — американским [Фрагмент приводится в переводе С. Белова.] Прочтите эти отрывки.

Отрывок из книги 1.

Через несколько минут Дин Гиор вернулся, и Элли спросила его:

— Видели Гудвина?

— О нет, я его никогда не вижу! — последовал ответ. — Великий Гудвин всегда говорит со мной из-за двери: вероятно, вид его так страшен, что волшебник не хочет попусту пугать людей. Я~доложил о вашем приходе. Сначала Гудвин рассердился и не хотел меня слушать. Потом вдруг стал расспрашивать о том, как вы одеты. А~когда узнал, что на вас серебряные башмачки, то чрезвычайно заинтересовался этим и сказал, что примет вас всех. Но каждый день к нему допускается только один проситель — таков его обычай. И~так как вы проживёте здесь несколько дней, он приказал отвести вам комнаты, чтобы вы отдохнули от долгого пути.

— Передайте нашу благодарность Великому Гудвину, — ответила Элли.

Девочка решила, что волшебник не так страшен, как говорят, и что он вернет её на родину.

Дин Гиор свистнул в зелёный свисточек, и явилась красивая девушка в зелёном шёлковом платье. У неё была красивая гладкая зелёная кожа, зелёные глаза и пышные зелёные волосы. Флита (так звали девушку) низко поклонилась Элли и сказала:

— Идите за мной, я отведу вас в вашу комнату.

Отрывок из книги 2.

Солдата долго не было. Наконец он снова появился в зале. Дороти обеспокоенно спросила его:

— Ну что, вы видели Оза?

— Я никогда не вижу его, — последовал ответ. — Но я сообщил ему всё, что вы хотели передать. Он находился за ширмой и прекрасно меня слышал. Он сказал, что готов принять вас, но при условии, что вы будете приходить поодиночке и каждый в свой день. Это значит, что вам придётся немного погостить во дворце. Сейчас вас проводят в комнаты, где вы сможете отдохнуть после трудного и долгого путешествия.

— Спасибо, — поблагодарила Дороти. — Оз очень любезен.

Солдат свистнул в зелёный свисток, и тотчас же появилась девушка в зелёном шёлковом платье. У неё были очаровательные зелёные глазки и длинные зелёные волосы. Поклонившись Дороти, она позвала:

— Пойдём за мной, я покажу тебе твою комнату.

Назовите авторов книг, отрывки из которых вы прочитали.

Сравните отрывки. Одинаковые ли в них описаны события? Одинаково ли вы представляете похожих героев? Что заставляет вас так думать?

Как вы считаете, одна из этих книг — только перевод другой или правильнее было бы сказать, что это две разные сказки?

Если бы вы сами переводили иностранную сказку, то изменили бы в ней имена героев, слова заклинаний, названия волшебных стран? Почему?

Решение

Любой переводчик привносит в книгу что-то своё. Иногда это получается случайно, потому что языки различаются. А часто это делается даже сознательно.

Хотя приведённые в задании отрывки очень похожи, требовалось найти разницу между ними. Высокие баллы получили те, кто смог описать, из-за чего появляется эта разница. Автору удаётся создать новый образ с помощью изменённого имени, более подробного описания и речевой характеристики персонажа.

Вот примеры интересных ответов, в которых ребята делают наблюдения и доказывают свою точку зрения:

В обоих отрывках описано одно и то же событие. Элли (Дороти) сообщается о том, что Гудвин примет девочку и её друзей, но только по одному в день. Я представляю героев по-разному. В первом тексте даётся более подробное и художественное описание девушки Флиты. У поминаются серебряные туфельки главной героини. И у «зелёной» девушки, и у солдата, сообщающего решение Гудвина, указано имя, в отличие от второго отрывка, где нет их имён. И Гудвина называют не Гудвином, а Озом. Описание во втором отрывке мне кажется более «плоским». Простая констатация происходящих событий, без всяких намёков на волшебную сказку.
(Черникова Ксения, 9 класс, гимназия № 40 города Краснодара)

Несмотря на то, что в целом как истории, так и приведённые отрывки похожи, между ними есть ряд различий.

К примеру, Дин Гиор, рассказывая Элли об аудиенции у Гудвина, представляет его этаким чудовищем, на которого даже взглянуть страшно. Кроме того, он довольно вспыльчив и резок, но зато любопытен и отходчив. Оз же, напротив, вежлив и дипломатичен. Он сразу выслушал Дороти, а поставив условие приходить по одному, волшебник приглашает их погостить и отдохнуть в его замке, а не просто приказывает отвести им комнаты. А насчёт того, зачем он сидит за ширмой, и вовсе нет никаких пугающих историй: просто ему так хочется, ничего более.

Обе девочки благодарят волшебника, но Дороти при этом отмечает личные качества Оза, называя его любезным, а Элли просит передать, что рада, что её примут. Кроме того, она развеивает для себя страхи по поводу того, какой Гудвин страшный, а её американской подруге и развеивать-то нечего.

И даже между второстепенными героинями есть небольшая разница. Первая кажется мне более взрослой и манерной: она низко кланяется, обращается к Элли на «Вы»; вторая же больше похожа на ровесницу Дороти: она просто кланяется, обращается к ней на «ты», да и описана она как «очаровательная», что чаще всего относится к молодым девушкам.
(Шейдякова Наталья, 8 класс, Щёлковская гимназия, Московская область)

На основании данных отрывков герои кажутся мне похожими, но кое-какие отличия в них есть. Например, Гудвин изначально не хотел принимать посетителей, но когда узнал, что на Элли серебряные башмачки, решил помочь, из чего можно сделать вывод, что Гудвин очень недружелюбный, а скорее всего, даже корыстный волшебник. А на основании второго отрывка можно сделать вывод, что Оз добрый волшебник, который помогает всем, кто ждёт помощи от него.
(Шестакова Ксения, 6 класс, Вологодский многопрофильный лицей)

Герои, на мой взгляд, представляются по-разному. Так Великий Гудвин представляется страшным, грозным, сердитым волшебником. Волшебник страны Оз представляется добрым, более мягким, открытым, гостеприимным волшебником.

Солдат и страж Дин Гиор тоже представляются по-разному. Дин Гиор говорит со страхом, а солдат говорит спокойным голосом.

В первом отрывке девушка-служанка описывается подробно с именем, с обликом. Видно, что Волков относится с уважением. Во втором отрывке у американского писателя девушка представляется, как неравноправный человек.

Это две разные книги, так как в каждой из них автор относится по своему к персонажам, книга Волкова имеет множество продолжений, каждый из героев проживает свою самостоятельную отдельную от других персонажей жизнь. Все герои детально прорисованы, имеют свой неповторимый характер и свою историю жизни вне конкретной ситуации, с вязаной с Элли. Книга Баума не может похвастаться такой детализацией. На мой взгляд, она более краткая, не даёт прочувствовать в полной мере характер героев.
(Фальков Роман, 6 класс, Вологодский многопрофильный лицей)

Ещё в задании предлагалось представить себя на месте переводчика книги. При оценке ответов на последние вопросы высокие баллы получили не только авторы наиболее развёрнутых ответов, но и те, кто смог проявить фантазию. Особенно поощрялись рассуждения о границе между плагиатом («украденными» сюжетами) и литературным диалогом (когда автор специально использует и продолжает мысль другого автора). Ведь существует много книжек с похожими сюжетами — но это не значит, что автор не может придумать что-то своё. Он просто рассказывает старую историю по-другому, и от того, как он её сможет рассказать, зависит, останется ли его произведение в сердцах читателей.

Задание T3

Задание

В XVIII веке поэт Г. Р. Державин написал фигурное стихотворение «Пирамида», оно перед вами.

Зрю Зарю Лучами, Как свещами, Во мраке блестящу, В восторг все души приводящу. Но что? — от солнца ль в ней толь милое блистанье? Нет!     —     Пирамида     —     дел     благих     воспоминанье.

Что такое фигурные стихи? Объясните своими словами.

Как в тексте связаны форма и содержание? Почему выбрана именно форма пирамиды? Какие образы из этого стихотворного текста помогают создать цельную картинку?

Какие ещё известные вам авторы экспериментировали с графической поэзией?

Составьте своё фигурное стихотворение любой выбранной (придуманной) вами формы.

Решение

Целью задания было познакомиться или расширить свои знания о таком явлении, как фигурные стихи. В фигурных стихах в первую очередь интересна форма (то есть, как они по строены), тогда как содержание часто остаётся на втором плане. При этом в содержании должна непременно обыгрываться форма. Поэтому наиболее высокие баллы получили те авторы фигурных стихов, которые смогли обыграть выбранную ими форму (например, в стихотворении говорится о нелёгком пути — и строки выстроены в виде дорожки).

Высоко оценивались ответы, в которых предпринималась попытка проанализировать, как связаны содержание и форма, однако мало кто смог разгадать главную загадку Державина. Автор был членом масонской ложи, а пирамида с изображением ока внутри (так называемая «лучезарная дельта») — знаменитый масонский символ. Недаром стихи начинаются словом «зрю», которое заключено вверху пирамиды.

Все примеры авторов, экспериментировавших с графической поэзией были названы правильно, но особенно поощрялись малоизвестные примеры и наиболее развёрнутые ответы.

Приводим несколько фигурных стихов, авторы которых выбрали самые интересные формы и смогли примирить их с содержанием:

Стихотворение в форме ноты

                 Правильный лад —
                 Для музыки клад.
                 Ты Рад.
                 Он Рад.
      А в ритме Разлад.
       Бьюсь об Заклад,
        За такой Акколад
 Не получишь Наград! 

Стихотворение в форме луны

         Что скры                              ...
   В себе        вает                        е
 Луна                                      с
Полна                                    о
необъятных                             м
тайн  она                            с
 И всё в себе                      о
  хранить                        к
   должна          в бесконечном
     А что если       тайны 
       Луна и вовсе     наши
          не Луна   хранит все 
               То кто

Стихотворение-ключ

      Нам мир — что запертый комод.
   Плевать    —    от страсти или скуки.
Мы, как давно   —   запретный плод,
   Вкусим гранит науки.
      Не остановимся на том,
      Ведь людям
      Нет предела
      Того, где нарушать закон.
      Висит замок?
      За дело!

Стихотворение в форме сердца

  любить можем     и несмотря
на запрет, несмотря на преграды,
несмотря на секрет,  что  храним
 мы с тобою уж тысячу лет. никто
   не поймёт нас, есть  только
      мы, есть только вместе,
            лишь  я и
                ты

Стихотворение в форме листа

                        Я

                     Обожаю

                   Эти жёлтые

              Листья. Когда осень

            И может присниться зима

         Или синее море, к которому ты

        Отправишься вскоре. Ещё я люблю

      Осенние ливни, что оставляют на окнах

   Картинки. Мне нравится осенью дыхание леса,

Куда отправляюсь я для интереса. Там пахнет, бывает,

   Приятною гнилью       и        сладким туманом

    А если  принюхаться,   то    даже    ванилью

     А может кафтаном. Ну, кто как любит. Вот я

        Люблю осень.        Чтоже ты, тоже?

            Нет,               не похоже.

Стихотворение в форме ступенек

Играю я мало,
     Много учусь,
          Не ленюсь.
Английский,
     Фоно и литра,
           Всюду мчусь.
Вот повзрослею,
     Работать пойду —
            Отличусь!
Заброшу дела,
     Играть я начну —
          Оторвусь.

Стихотворение-ёлочка

          Ель
         растёт
        пушистая
      у дома моего.
    Зелёное,душистое
    иголок торжество.
   Люблю я эту ёлочку,
 ведь каждый день и час
 в ней каждая иголочка
          так
          рад
          ует
          мой
          глаз

Стихотворение «Ступень»

   Посылая,
   И исчезая,
   Боль свою там
   Заглушая — мы бежим
   Во мрак ночи,
   Пряча в нём
   свой страх
   любви.

«Я» Много есть незнакомых мне в мире людей, Число меньше коллег и весёлых друзей, Есть ближе друзья, небольшая семья, Есть любимый и верное, вечное «я». Но проходят года и сменяются дни, Захотели, решили расстаться они, Выбрали цель и ушли в никуда. И осталось с тобою навсегда Только верное, вечное «я»

(Шейдякова Наталья, 8 класс, Щёлковская гимназия, Московская область)

Стихотворение в форме сердца

         Сердце моё                    любовью полно
       Счастье любить                всем  людям  дано.
      Прекрасное чувство,           что нужен   кому-то,
     Что  жизни  ты делишь         с  любимым     минуты.
    Проснуться     пораньше,     чтоб      увидеть с  утра
   улыбку   покоя  на  нежных   губах.  Убрать     невесомо
  Непослушные пряди с такого родного  и милого  сердцу  лица.
Пусть ссоримся мы иногда, но хочу я сказать, что чувства мои
Никогда не угаснут. Быть может на свете и не было пар, что
Вечно милуясь живут...Любовь ведь не только  безграничное
Счастье,   любовь  есть  работа,    совместный   труд.
Что значит стараться  должны  оба мы,  чтоб в  жизнь
 Воплотить все нашы мечты. О, чувство покоя, когда
  Обнимаешь,   словами    сказать    невозможно.
   То   чувство   защиты,   покоя и  счастья,
      В  слова   облачить   очень    сложно.
        И нет мне дороже на свете подарка,
          Чем видеть металл твоих глаз,
            Чем видеть  в    глазах
               без       сомнения
                   признание   и
                      нежной
                        любви
                         фраз.

Стихотворение-пирамида

Вот пирамида, Что может быть лучше? Она идеальна, как чистое небо, Как солнце, пославшее светлые лучики, Как трон, благородным металлом отделанный, Все формы другие — круги и овалы, квадраты и ромбики Не могут сравниться со столь совершенной фигурой, что понял я.

(Соколов Александр, 8 класс, школа № 1208 города Москвы)

Задание T4

Задание

В романе О. Уайльда (1854–1900) «Портрет Дориана Грея» герой читает книгу, присланную лордом Генри. Вспомните этот эпизод [Фрагменты приведены в переводе М. Абкиной.].

Взяв книгу, Дориан уселся в кресло и стал ее перелистывать. Не прошло и нескольких минут, как он уже погрузился в чтение.

Странная то была книга, никогда ещё он не читал такой! Казалось, под нежные звуки флейты грехи всего мира в дивных одеяниях проходят перед ним безгласной чередой. Многое, о чем он только смутно грезил, вдруг на его глазах облеклось плотью. Многое, что ему и во сне не снилось, сейчас открывалось перед ним. <...>

Это была отравляющая книга. Казалось, тяжёлый запах курений поднимался от её страниц и дурманил мозг. Самый ритм фраз, вкрадчивая монотонность их музыки, столь богатой сложными рефренами и нарочитыми повторами, склоняла к болезненной мечтательности. И, глотая одну главу за другой, Дориан не заметил, как день склонился к вечеру и в углах комнаты залегли тени.

Как вы считаете, что в данном контексте означают слова «отравляющая книга»? Какое изобразительное средство заключено в этом выражении?

Какую роль сыграла эта книга в жизни Дориана Грея?

Назовите произведения мировой литературы (русской и зарубежной), в которых герои под влиянием прочитанных книг совершали важные поступки. Есть ли среди ваших примеров персонажи, «отравленные» книгами?

Решение

Выполнение этого задания почти невозможно без близкого знакомства с сюжетом книги О. Уайльда «Портрет Дориана Грея». Авторам ответов необходимо было описать своё понимание роли приведённого эпизода в контексте всего романа, осознать художественные особенности образа «отравляющей» книги и найти к нему другие литературные аналогии.

В качестве верного ответа на вопрос об изобразительном средстве засчитывались и метафора, и эпитет. Однако олицетворение (названное многими) не может быть правильным ответом, поскольку свойство «отравляющий» применимо к неодушевлённым предметам, здесь нет художественного иносказания.

Роль книги в жизни героя, как верно было замечено многими отвечающими, оказалась роковой, она усилила впечатление от бесед с Генри Уоттном, и чувствительно-болезненное восприятие этого романа Дорианом Греем способствовало моральному падению героя. В качестве героев, получивших подобное сильное впечатление от книг, оказавшееся знаменательным для их жизни, чаще всего называли Татьяну Ларину, Софью Фамусову и Дон Кихота. Особенно поощрялись те ответы, авторы которых смогли почувствовать разницу между вдохновляющим и губительным влиянием искусства, «отравляющим» в уайльдовском понимании. Человек (и в жизни, и в литературе) нередко проецирует на себя происходящие с героем книги события и начинает подражать тем или иным персонажам. Однако на разных людей книги могут влиять по-разному, и особенно восприимчивые мечтательные натуры могут быть не только окрылены прочитанным, но и погублены. Над этими вопросами предлагалось поразмышлять в задании.

Задание T5

Задание

Перед вами два текста, разделённые восемью столетиями.

1. Стихотворение «Если» (Р. Киплинг (1865–1936), перевод С. Маршака).

О, если ты спокоен, не растерян,
Когда теряют головы вокруг,
И если ты себе остался верен,
Когда в тебя не верит лучший друг,
И если ждать умеешь без волненья,
Не станешь ложью отвечать на ложь,
Не будешь злобен, став для всех мишенью,
Но и святым себя не назовёшь, —

И если ты своей владеешь страстью,
А не тобою властвует она,
И будешь тверд в удаче и в несчастье,
Которым в сущности цена одна,
И если ты готов к тому, что слово
Твоё в ловушку превращает плут,
И, потерпев крушенье, можешь снова —
Без прежних сил — возобновить свой труд, —

И если ты способен всё, что стало
Тебе привычным, выложить на стол,
Всё проиграть и всё начать сначала,
Не пожалев того, что приобрёл,
И если можешь сердце, нервы, жилы
Так завести, чтобы вперед нестись,
Когда с годами изменяют силы
И только воля говорит: «Держись!» —

И если можешь быть в толпе собою,
При короле с народом связь хранить
И, уважая мнение любое,
Главы перед молвою не клонить,
И если будешь мерить расстоянье
Секундами, пускаясь в дальний бег, —
Земля — твоё, мой мальчик, достоянье.
И более того, ты — человек!

2. Пересказ отрывков из произведения Владимира Мономаха (1053–1125).

Пусть не осудят ни дети мои, ни все, кто услышит эти слова. Пусть примет их в сердце своё тот, кто услышит, и пусть отвергнет лень, и станет жить трудом.

Научитесь быть хозяевами своего языка и взгляда, головы и всего тела. Научитесь подавлять гнев и иметь чистые мысли, побуждающие вас к добрым делам. Не мстите, когда отнимают у вас, умейте любить, когда ненавидят вас, терпите, когда обижают, и промолчите, когда обругают.

Более же всего гордости не имейте ни в сердце, ни в мыслях. Ведь каждый из нас смертен и жизнь переменчива. Всё, что есть у нас, не принадлежит нам, но лишь поручено ненадолго. Не зарывайте свой талант в землю.

Когда идёте воевать, не ленитесь, не полагайтесь ни на кого другого, кроме себя. Не предавайтесь чрезмерно еде, питью и сну, но сами, назначив стражу, ложитесь возле войнов и вставайте рано. Остерегайтесь лжи и страстей, ведь от них погибает тело и душа.

Кому адресованы слова обоих произведений?

К какому жанру можно отнести оба произведения, несмотря на временну́ю дистанцию? Откуда этот жанр мог быть известен авторам?

О каких качествах человека говорят авторы? Представьте, если бы они встретились, то в чём бы могли согласиться друг с другом, а о чём поспорить? Порассуждайте на эту тему.

Решение

В основе этого задания лежат понятия вечного и временного, исторического в литературе. В настоящем произведении искусства всегда есть что-то вневременное, всеобщее, но оба приведённых в задании произведения адресованы прежде всего потомкам. Тексты оформлены как послания, а жанр их — поучение, целью обоих авторов было передать своим детям некоторое знание, житейские советы, мудрость. Подобные заветы сыну — часть традиционной английской культуры. А как известно, Владимир Мономах был женат на английской принцессе, и через неё мог познакомиться с этой традицией. Впрочем, ответы, в которых было сказано о важной роли дидактических сочинений в истории всего человечества и литературе Древней Руси в частности, тоже произвели хорошее впечатление.

Основная часть ответа должна была быть посвящена подробной сопоставительной работе с текстами. Следовало выделить не только сходства (твёрдость, самообладание, честность), но и различия в миропонимании авторов (смирение против упрямства, аскеза против азарта). Особенно поощрялись ответы с историческим комментарием об эпохе, которая оставляет на произведении особый отпечаток. Те авторы ответов, которые проявили фантазию и смогли представить диалог в лицах, также получили высокую оценку.

Задание Z1

Задание

Посёлок Восточный находится восточнее посёлка Западный. Может ли так случиться, что в какой-то день заход Солнца в Восточном будет наблюдаться позднее (по московскому времени), чем в Западном (тоже по московскому времени)? Объясните, почему.

Решение

Ось вращения Земли отклонена от перпендикуляра к плоскости её орбиты на 23,5 градуса. Поэтому направление с Земли на Солнце не перпендикулярно оси вращения Земли. Точнее, перпендикулярность случается только 2 раза в год, а всё остальное время Солнце светит на Землю как бы сбоку, граница дня и ночи не совпадает с линиями меридианов.

На картинке показано положение границы дня и ночи в Евразии в день проведения турнира 19 октября 2015 года в 15.00 по московскому времени.

По картинке сразу понятно, как посёлки Восточный и Западный можно разместить так, чтобы Восточный был расположен восточнее Западного, но на светлой части поверхности Земли, а Западный — на тёмной части. Для этого Восточный должен быть расположен южнее Западного.

Задание Z2

Задание

Вы увидели на небе яркую звезду и хотите поточнее определить расстояние до неё. Как вы сможете это сделать? Сколько времени вам для этого потребуется? Какая будет точность?

Решение

Самый простой метод определения расстояния — метод параллакса. Он доступен практически любому человеку, имеющему телескоп или даже хороший цифровой фотоаппарат. Метод основан на измерении направлений на звезду из двух точек пространства и вычисления расстояния до вершины треугольника (звезды) по длине основания треугольника (расстоянию между точками наблюдения) и измеренным углам этого треугольника.

Специально куда-то ехать для проведения измерений из двух разных мест нет никакой необходимости — достаточно провести измерения с интервалом в полгода. Тогда расстояние между точками измерения будет равно диаметру орбиты Земли. Можно и не ждать так долго, но тогда расстояние между точками измерений будет меньше и точность получится хуже. А можно, наоборот, провести как можно больше измерений за длительный промежуток времени (например, несколько лет) и за счёт набора статистики увеличить точность результата.

Может оказаться, что нужную звезду вообще никогда нельзя наблюдать с данной точки поверхности Земли или же продолжительность периода возможного наблюдения слишколм мала. Также звёзды могут наблюдаться сезонно (их невозможно наблюдать в сезон, когда они находятся на дневной стороне неба). Поэтому для каждой конкретной звезды нужно выбрать наиболее удачное место наблюдения на Земле и подходящий период наблюдений. Может оказаться, что звезду нельзя наблюдать полгода подряд — тогда придётся ограничиться более коротким периодом наблюдений. Также, если в данный момент звезду нельзя наблюдать ни с какой точки поверхности Земли, то приступить к измерениям расстояния сразу не получится и придётся дождаться подходящего для наблюдения сезона.

С практической точки зрения разумнее использовать не угловые измерения направлений на звёзды, а наблюдаемые смещения близких звёзд (расстояния до которых мы хотим определить) на фоне далёких.

Чем дальше находится звезда, тем меньше будет её смещение на фоне звёздного неба, наблюдаемое из разных точек земной орбиты. И тем больше погрешность определения до такой звезды. По наблюдениям в оптическом диапазоне звёзд, находящихся на расстоянии 100 парсек (1 парсек = 3,2616 световых лет = 3,0856776·10¹⁶ м) погрешность определения этого расстояния составляет около 50%. Их угловое смещение на небесной сфере при наблюдении с диаметрально противоположных точек земной орбиты составляет 1/100 угловой секунды — это предел точности измерений. Прочие звёзды, которые кажутся нам неподвижными, очевидно, расположены ещё дальше. Но чтобы узнать, насколько дальше — требуются другие методы.

Один из таких методов — фотометрический. Он основан на том, что чем дальше от нас расположена звезда, тем тусклее она нам кажется. Если знать, насколько ярко звезда светит на самом деле, и измерить, насколько тусклой она видна с Земли, можно определить расстояние от Земли до неё. Астрономами изучено уже очень много звёзд, известны общие закономерности их эволюции. Поэтому светимость («настоящую яркость») звезды можно определить, например, по спектру её излучения, путём сравнивая с другими аналогичными звёздами и построения математической модели звезды.

Бывают звёзды (они называются цефеиды), которые периодически меняют свою яркость. Оказалось, что существует достаточно точная зависимость между периодом изменения яркости (блеска) цефеид и их абсолютной яркостью (светимостью), что и позволяет определять расстояние до них точнее, чем до звёзд других типов.

Есть и другие способы определения расстояний до звёзд, других астрономических объектов и событий (в прочем, в задании спрашивалось только про звёзды). В любом случае для уменьшении погрешности результата требуются длительные наблюдения (годы или даже десятилетия) как за интересующим нас объектом, так и за другими аналогичными объектами (для сравнения и сопоставления). А аналогичные измерения с небольшой точностью могут провести все желающие. Так, например, наблюдать наиболее яркие цефеиды и заметить периодическое изменение их блеска можно даже невооружённым взглядом.

Критерии

• Упоминание метода параллакса.
• Относительно подробное описание метода параллакса.
• Погрешности метода параллакса, увеличение погрешности с увеличением расстояния.
• Время наблюдений, необходимое для использования метода параллакса.
• Ограничения на место и время (продолжительность) наблюдений.
• Упоминание фотометрического метода.
• Относительно подробное описание фотометрического метода.
• Цефеиды (зависимость между периодом изменения блеска цефеид и их светимостью).
• Погрешности и ограничения методов, основанных на фотометрии. Необходимая длительность наблюдений.
• Расширение вселенной, формула Хаббла, красное смещение.
• Редкие астрономические события (взрывы сверхновых и т. п.), наблюдение которых может дать дополнительную полезную информацию для определения расстояний.
• Наблюдения со спутников из космоса.
• Интерферометрические наблюдения для уточнения направлений на объект.
• Использование для наблюдений различных диапазонов длин волн.
• Другие усовершенствования технического характера.
• Другие фундаментальные идеи, позволяющие определить расстояние до звёзд.
• Организационные меры, в том числе общедоступные базы данных по астрономическим наблюдениям.
• Названы конкретные астрономические обсерватории и отдельные инструменты.
• Замечание про скорость света (чтобы определить положение звезды в какой-то момент, нужно дождаться, пока испущенный в этот момент свет дойдёт до наблюдателя).

Задание Z3

Задание

Что такое парниковый эффект и парниковые газы? Как вы думаете, нужно ли бороться с выбросом парниковых газов в атмосферу Земли (учитывая, что основной вклад в парниковый эффект на Земле создают водяные пары, которые в любом случае присутствуют в атмосфере)? Где ещё (кроме Земли) наблюдается парниковый эффект, за счёт каких веществ он там возникает?

Как по химической формуле молекулы газа определить, является ли этот газ парниковым?

Решение

Парниковый эффект — повышение температуры нижних слоёв атмосферы и поверхности Земли вследствие накопления в атмосфере парниковых газов.

Парниковые газы — газы, хорошо поглощающие тепловое (инфракрасное) излучение.

Поверхность Земли в основном нагревается за счёт солнечного излучения видимого диапазона, которое парниковыми газами не поглощается. Если бы парниковых газов в атмосфере не было, всё тепловое излучение поверхности Земли уходило бы в космос, а поверхность поверхность Земли при этом бы охлаждалась. Однако парниковые газы создают как бы нагретую «шубу», окутывающую Землю. Эта «шуба» нагревается, поглощая тепловое излучение Земли, и сама становится источником теплового излучения. Излучает она во все стороны: часть энергии улетучивается в космос, а часть — возвращается обратно на поверхность Земли.

Основным парниковым газом в атмосфере Земли являются водяные, непосредственное влияние других парниковых газов незначительно. Но нужно учитывать, что парниковый эффект создаёт только та вода, которая присутствует в атмосфере Земли в виде пара. Поэтому небольшое потепление из-за увеличения в атмосфере какого-нибудь парникового газа приводит к небольшому повышению температуры, которого оказывается достаточно для увеличения абсолютной влажности воздуха. А уже эта дополнительная вода приводит к значительному потеплению из-за парникового эффекта. Незначительное уменьшение содержания в воздухе какого-нибудь парникового газа приводит к уменьшению влажности и похолоданию из-за уменьшения парникового эффекта. (Отметим также, что вода, выпавшая их атмосферы на поверхность Земли в виде снега также способствует похолоданию, так как снег хорошо отражает солнечные лучи, не давая им прогреть земную поверхность.)

Парниковыми газами являются те, которые в своей молекуле содержат 3 или больше атомов. Одиночные атомы и молекулы газов из двух атомов не способны поглощать и испускать электромагнитное излучение в инфракрасной области. Объяснить, почему это так, в рамках школьной программы не получится. В качестве пояснения можно сказать, что за поглощение и излучение инфракрасного излучения в молекуле ответственны не отдельные атомы и переходы электронов в них с уровня на уровень (как это происходит с излучением оптического диапазона), а коллективные колебательные и вращательные движения атомов в молекуле. При поглощении инфракрасного излучения в молекуле возбуждаются такие колебания, а на излучение, наоборот, тратится энергия этих колебаний. Поскольку ИК-излучение — электромагнитное, для взаимодействия с ним годятся не любые колебания в молекуле, а только такие, которые приводят к перераспределению в молекуле электрических зарядов определённым образом. Для выполнения всех нужных условий молекула должна быть устроена достаточно сложно: одного или двух атомов в молекуле для этого не достаточно, нужно как минимум три.

На Земле основными парниковыми газами являются водяной пар (H₂O), углекислый газ (CO₂), метан (CH₄), озон (O₃).

Атмосфера Венеры на 97% состоит из углекислого газа (CO₂). Который, естественно, создаёт парниковый эффект. Условно считается, что из-за парникового эффекта температура поверхности Венеры оказывается примерно на 500 градусов больше, чем если бы этого эффекта не было. (Для Земли усреднённый «перегрев» составляет примерно 40 градусов).

Атмосфера Марса также в основном состоит из углекислого газа (концентрация около 96%), но поскольку атмосфера там намного менее плотная, чем на Венере и Земле, парниковый эффект там даёт прибавку к температуре около 8 градусов.

Атмосфера Меркурия состоит из кислорода (O₂), паров натрия (Na и Na²), водорода (H₂) и гелия (He). Аналогично, атмосферы Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна состоят в основном из водорода (H₂) и гелия (He). Все эти газы состоят или из отдельных атомов, или двухатомных молекул, и потому не являются парниковыми.

Критерии

• Любое определение (описание) термина «парниковый эффект».
• Описание механизма парникового эффекта.
• Величина парникового эффекта на Земле.
• Парниковые газы на земле.
• Вода — положительная обратная связь с концентрацией других парниковых газов в земной атмосфере.
• Целесообразность уменьшения выброса парниковых газов в атмосферу.
• Парниковый эффект на Венере.
• Парниковый эффект на Марсе.
• Другие планеты и тела Солнечной системы (отсутствие парниковых газов в атмосфере или самой атмосферы).
• В молекуле парниковых газов должно быть 3 или больше атомов.
• Объяснение механизма возбуждения молекулы газа в ИК-диапазоне.

Задание Z4

Задание

Ракета со спутником стартует с космодрома перпендикулярно поверхности Земли. После старта она отклоняется от вертикали. Направление отклонения определяет положение плоскости будущей орбиты спутника. В какую сторону нужно отклонять ракету при старте, чтобы угол между плоскостью орбиты спутника и плоскостью земного экватора был наименьшим из возможных для данного места старта ракеты. (Считать, что после запуска орбита спутника дополнительно не корректируется).

Решение

Рассмотрим проекцию орбиты спутника на поверхность Земли. Это будет окружность, лежащая в плоскости орбиты спутника. То есть сечение поверхности Земли этой плоскостью. (Для простоты объяснения считаем Землю сферической, высоту орбиты спутника считаем постоянной, суточное вращение Земли не учитываем).

Если спутник запустить вдоль параллели, проходящей через место старта (то есть сразу после старта ракету отклонять или на запад, или на восток), то проекция орбиты спутника на поверхность Земли будет касаться параллели места старта. Широта этой параллели (в градусах) как раз и будет равна углу между плоскостью экватора Земли и плоскостью орбиты спутника.

При любом другом направлении запуска (отклонении ракеты при запуске) проекция орбиты на поверхность Земли будет пересекать параллель места запуска под каким-то углом и проходить по более высоким широтам. Соответственно, угол между плоскостью экватора Земли и плоскостью орбиты спутника будет больше. Он будет равен широте той параллели, которой будет касаться проекция орбиты.

Критерии

• Верный ответ («вдоль параллели», «на восток», «на запад»).
• Пояснение к правильному ответу.
• Разбор тонких динамических эффектов.

Задание Z5

Задание

У планеты Уран есть «кольца», образованные вращающимися по орбитам вокруг планеты мелкими телами и пылью. Наличие таких колец предполагалось с самого момента открытия планеты Уран (1781 год), однако впервые их наличие было подтверждено результатами астрономических наблюдений только в 1977 году. Почему это произошло так поздно? Какие обстоятельства помешали астрономам открыть кольца Урана раньше?

Решение

Кольца Урана непосредственно с поверхности земли наблюдать невозможно — детали изображения теряется в шумах различного происхождения (прежде всего атмосферы Земли).

Кольца были открыты по косвенным данным — во время затмения (покрытия) звезды, когда планета Уран вместе со своими кольцами находилась между этой звездой и Землёй. Соответственно, до и после моментов затмения звезды самой планетой происходили затмения кольцами, что выражалось в периодическом понижении наблюдаемой на Земле яркости звезды. Именно по этим изменениям яркости и был сделан вывод о наличии колец (непосредственно изображение колец наблюдать не удалось).

Такое астрономическое событие — затмение достаточно яркой звезды планетой, в частности, планетой Уран— является достаточно редким. Кроме того, для успешного наблюдения необходимо выполнение ещё ряда условий: подходящая для наблюдения ориентация колец Урана относительно направления на Землю (не —боком—), подходящие условия наблюдения на Земле, удачно спланированные и проведённые наблюдения. Все необходимые условия впервые совпали как раз 10 марта 1977 года.

Критерии

• Правильный ответ (упоминание события покрытия звезды планетой и кольцами).
• Краткие пояснения к правильному ответу.
• Развёрнутые пояснения и комментарии.

Задание Z6

Задание

Для современной астрофизики очень важны высокоточные наблюдения звёздного неба в инфракрасном диапазоне. К сожалению, таким наблюдением сильно мешает поглощение инфракрасного излучения молекулами воды, присутствующими в атмосфере Земли в виде водяного пара.

Научный коллектив астрономов, не имея средств для запуска своего инфракрасного телескопа за пределы земной атмосферы (в космос), выяснил, что наиболее засушливый климат на Земле наблюдается в пустыне Сахара, и решил установить свой инфракрасный телескоп именно там.

Насколько оправдано такое решение? С какими проблемами столкнутся авторы этой идеи в процессе наблюдений? Есть ли на Земле места, где эти проблемы отсутствуют или проявляются в меньшей степени?

Решение

Слова «засушливый климат» означают, что в атмосфере в виде водяных паров содержится существенно меньше воды, чем это возможно при данной температуре (низкая относительная влажность). Именно поэтому вода не выпадает из атмосферы в виде осадков.

А абсолютная влажность (то есть концентрация паров воды в воздухе) в пустыне в несколько раз больше, чем в зонах умеренного климата. Для астрономических наблюдений в ИК-диапазоне необходима низкая абсолютная влажность, так как чем больше водяных поров в атмосфере, тем больше они поглощают инфракрасное излучение наблюдаемых объектов и сами излучают в этом же диапазоне помехи (см. также ответ на задание 3 про парниковые газы).

Кроме большой абсолютной влажности в пустыне есть и другие причины, мешающие астрономическим наблюдениям в инфракрасном диапазоне. Прежде всего это песок, который днём сильно нагревается и сам становится источником ИК-излучения. Причём песок находится не только на поверхности земли, но и в воздухе в виде пыльных бурь. Одним словом, пустыню Сахара никак нельзя назвать удачным местом для размещения ИК-телескопов.

Также необходимо отметить, что регистрирующую аппаратуру ИК-телескопа необходимо охлаждать, поддерживая температуру как можно более низкой и постоянной. Это технически трудно сделать в условиях жаркого климата.

Самое удачное по большинству параметров место для ИК-телескопа на Земле — это Антарктида. Здесь очень низкое содержание в воздухе водяных паров и других примесей, низкая температура окружающей среды (то есть излучается мало помех в ИК-диапазоне), есть возможность проводить длительные измерения во время полярной ночи).

Другой подходящий вариант для размещения ИК-телескопа — высокогорная местность. Условия там схожие с антарктическими (низкая температура окружающей среды, низкая абсолютная влажность и низкая запылённость воздуха), но зато туда легче (а, следовательно, и дешевле) добираться. А также можно наблюдать объекты, которые на антарктическом небе не видны или их наблюдение затруднено во время полярного дня.

Критерии

• Засушливый климат, относительная и абсолютная влажность.
• Абсолютная влажность в пустыне.
• Тепловые помехи в пустыне.
• Загрязнённая атмосфера в пустыне.
• Необходимость охлаждения регистрирующих ИК-элементов телескопа.
• Предложения более удачного места размещения ИК-телескопа на Земле.
• Обоснование предложения места размещения.
• Примеры ИК-телескопов с указанием места размещения.

Задание Z7

Задание

Далёкие галактики можно представить себе как плоские диски, состоящие из светящегося вещества. (Это «вещество» на самом деле состоит из отдельных звёзд, которые мы не можем различить из-за слишком большого расстояния до них.)

Если наблюдать такую галактику «плашмя» (плоскость галактического диска перпендикулярна лучу зрения), она будет выглядеть на небе как круглое светящееся пятно, яркость свечения в котором уменьшается от центра к краям. Зависимость наблюдаемой яркости свечения от расстояния до центра пятна I(R) можно приближённо описать формулой
I(R)=I(0)e^−R/h
(e=2,71828...; h — масштабный коэффициент, характерный для данной галактики).

Галактика, расположенная наклонно к лучу зрения, будет наблюдаться в виде светящегося пятна эллиптической формы. Эллиптичностью такого изображение называется величина E, равная отношению длин малой и большой осей эллипса (0<E<1). Для определения E по изображению галактики можно использовать изофоты — линии, образованные на этом изображении точками равной яркости.

Оказывается, для изофот характерна эллиптическая форма, параметры E для изофот, соответствующих разным яркостям, имеют близкие значения, a угол φ между плоскостью галактики и лучом зрения связан с параметром E соотношением $$ \left(1-\frac{d}{a}\right) \sin^2\varphi = 2E-E^2 $$
(d — оценочное значение толщины диска галактики, a — оценочное значение радиуса диска этой галактики).

Предложите способ определения по наблюдаемому изображению галактики её относительной толщины d/a.
Примечание: для этого достаточно придумать способ оценки значения sin φ по имеющемуся изображению для подстановки его в приведённое выше соотношение.

Решение

Прежде всего отметим, что в условии была допущена неточность. φ — это угол между перпендикуляром к плоскости галактики и лучом зрения, а не между самой плоскостью галактики и лучом зрения (как было указано в условии; эта неточность в обозначениях принципиально на решение никак не влияет).

Рассмотрим, чем отличается внешний вид диска галактики при наблюдении из далёких точек A и B, расположенных на одинаковом расстоянии от центра галактики O, таких, что отрезок OA перпендикулярен плоскости галактики и ∠AOB=φ.

Прежде всего, при наблюдении из точки B каждая точка диска галактики будет казаться в 1/cos φ раз ярче, чем та же точка при наблюдении из точки A (именно во столько раз увеличится длина отрезка луча зрения, проходящего сквозь галактический диск, воспринимаемый нами как область, заполненная светящимся веществом).

Кроме того, масштаб изображения диска галактики в одном из направлений окажется неизменным, а в перпендикулярном направлении все расстояния окажутся умноженными на cos φ (то есть «сожмутся»). Таким образом, можно определить, насколько «сжато» изображение, определить cos φ и затем сам угол φ.

Технически это можно сделать следующим образом. Оказывается, интенсивность свечения наблюдаемого изображения диска галактики в любом направлении спадает экспоненциально с расстоянием до центра изображения:
I(R)=I(0)e^−R/h
Но коэффициент h в разных направлениях будет разным (его в каждом случае можно определить, построив график зависимости I(R) в логарифмическом масштабе).

Пусть h_min и h_max — минимальное и максимальное значения коэффициента h (для направления максимального сжатия изображения и для перпендикулярного ему направления). Пусть H=h_min/h_max. Оказывается, что угол sin φ выражается через H по формуле $$ \sin\varphi=\sqrt{2H-H^2} $$ Тогда для относительной толщины галактики d/a можно написать формулу $$ \frac{d}{a}=\sqrt{1-\frac{2E-E^2}{2H-H^2}}, $$ в правую часть которой входят только величины, определяемые по наблюдаемому изображению галактики, и не входит неизвестный угол φ.

Критерии

• Предложен способ оценки значения угла наклона.
• Приведено обоснование способа оценки угла наклона.
• Приведён соответствующий этому способу алгоритм обработки изображения галактики.
• Приведена итоговая формула для расчёта.