Математическая карусель 30.10.1999

1.(исх.)

Сколькими способами можно разменять 1999 рублей 1- и 5- рублевыми монетами?

2.(исх.)

В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями основания равны a и b. Чему равна высота трапеции?

3.(исх.)

Найдите все двузначные числа, у которых четвертая степень суммы цифр равна сумме цифр четвертой степени самого числа.

4.(исх.)

Две стороны треугольника равны 2 и 3. Какую длину должна иметь третья сторона, чтобы самый большой угол треугольника был как можно меньше?

5.(исх.)

Решите ребус: ИВА:ДА=ДА

6.(исх.)

Средний возраст членов гимнастической секции - 11 лет, старосте секции - 17 лет, а средний возраст остальных членов секции - 10 лет. Сколько детей занимается в секции?

7.(исх.)

В первый сплав два металла входят в отношении 1:2, а в другой сплав - в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий эти же металлы в отношении 17:27 ? (Ответ дать в виде отношения долей этих двух сплавов)

8.(исх.)

Сумму двух трехзначных натуральных чисел поделили на модуль их разности. Получилось четное число. Какое наибольшее значение оно могло принимать?

9.(исх.)

Цена за вход на стадион 30 рублей. Для увеличения дохода были снижены цены, при этом количество посетителей увеличилось наполовину, а доход - на четверть. На сколько рублей была снижена цена на билет?

10.(исх.)

Сколько существует четырехзначных чисел, которые при зачеркивании первой цифры уменьшаются в 9 раз?

11.(исх.)

Разделить прямоугольник размером 18*8 на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат.

12.(исх.)

Решите ребус: БАРС=(Б+А+С)⁴.

13.(исх.)

Студент за пять лет учебы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем, а на пятом курсе - втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов он сдал на четвертом курсе?

14.(исх.)

Найти наибольшее трехзначное число, которое при делении на 43 дает остаток, равный частному.

Сколькими способами можно разменять 1999 рублей 1-, 2- и 5- рублевыми монетами?

2.(зач.)

Сколько вершин может иметь выпуклый многоугольник, если известно, что число его диагоналей делится на число его вершин?

3.(зач.)

Какое слово зашифровано в числе 222122111121, если каждая буква заменена ее номером в русском алфавите?

4.(зач.)

Муха в полдень села на секундную стрелку часов и поехала, придерживаясь следующих правил: если она обгоняет какую-то стрелку или ее обгоняет какая-то стрелка (кроме секундной у часов есть часовая и минутная стрелки), то муха переползает на эту стрелку. Сколько кругов проедет муха в течение часа?

5.(зач.)

Из единичных кубиков составлен кубик размером 5*5*5. Какое наибольшее число кубиков можно из него удалить так, чтобы при взгляде на оставшуюся фигуру вдоль любого ребра был виден квадрат размером 5*5 без просветов? (Привести пример и объяснить, почему это наибольшее число.)

6.(зач.).

Вычислить (1999*2000*2001*2002+1)^1/2 .

7.(зач.)

Какие натуральные числа нельзя представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, больших 1?

8.(зач.)

В треугольнике АВС сторона АС - наибольшая. На ней (а не на ее продолжении) отложены отрезки АК=АВ и СМ=СВ. Угол МВК равен 20^o. Найдите угол АВС.

9.(зач.)

Сколько существует трехзначных чисел, у которых сумма любых двух цифр делится на третью?

10.(зач.)

Сто туристов из ста городов (по одному из каждого города) путешествуют по этим городам. Каждые два из них знакомятся во время пребывания в городе, чужом для обоих. Турист Вася посетил городов не меньше, чем каждый из остальных. Какое наименьшее число чужих городов мог посетить Вася, если любые два туриста познакомились между собой? (Привести пример и объяснить, почему это наименьшее число).

11.(зач)

Какое наибольшее число ненулевых цифр можно выбрать так, чтобы разность любых двух выбранных была невыбрана?

12.(зач)

Доску 8*8 замостили 21 плиткой 1*3 без наложений. Сколько различных положений могла иметь непокрытая клетка?

13.(зач.)

Несколько (больше одного) шахматистов провели между собой матч-турнир в несколько кругов (в одном круге каждый с каждым сыграл по одной партии). Во сколько кругов прошло это соревнование, если всего было сыграно 224 партии?

14.(зач.)

На берегу реки отгорожено забором место с трех сторон в форме прямоугольника. Длина всего забора - 10 км. Какую наибольшую площадь может иметь этот участок?

15.(зач.)

Даны натуральные числа А и В. Известно, что из следующих четырех утверждений: а). A+1 делится на В, б). А=2В+5, в). А+В делится на 3, г). А+7В - простое число; три верных, а одно - неверное. Найти все возможные пары чисел А и В.

16.(зач.)

Вершины выпуклого многоугольника пронумерованы по порядку, начиная с 1, и число диагоналей, соединяющих вершины разной четности, в 2 раза больше числа диагоналей, соединяющих вершины с четными номерами. Сколько сторон могло быть у этого многоугольника?

17.(зач.)

В кружки буквы М впишите все цифры от 1 до 9 так, чтобы все суммы из трех чисел, стоящих по линиям буквы, были равными и наименьшими из возможных. (Приведите пример и укажите сумму)

18.(зач.)

Найдите значения параметра а, при котором уравнения х³+ах+1=0 и х⁴+ах²+1=0 имеют общий корень.

19.(зач.)

Найдите угол А треугольника АВС, если он в три раза меньше угла ВОС, где О - центр вписанной в треугольник окружности.

20.(зач.)

Найдите наименьшее значение функции f(x) = |3x-6| - |x+1|