Правила математической каорусели
1.(исх.)
Сколько среди тысячи первых натуральных чисел таких, в записи которых
встречаются три одинаковые цифры?
2.(исх.)
Сколько точных квадратов содержится в множестве чисел вида
2n+4n, где nCN?
3.(исх.)
Найдите все трехзначные числа, составленные из четных цифр и делящиеся на
их произведение.
4.(исх.)
На какие цифры может оканчиваться сумма 1+2+3+...+n?
(nCN) Перечислите все варианты.
5.(исх.)
Шестизначное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести на
последнее место, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального.
Найдите первоначальное число.
6.(исх.)
Из различных фигур пентамино (фигуры из 5 клеток) составьте прямоугольник
наименьшей площади. (Надо использовать больше одной фигурки).
7.(исх.)
Сколько произведений, кратных десяти, можно образовать из чисел
2, 3, 5, 5, 7, 9?
8.(исх.)
После того, как туристы прошли 1 км, а затем половину оставшегося пути, им
осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?
9.(исх.)
Какое наибольшее число сторон может иметь фигура, являющаяся общей частью
треугольника и выпуклого четырехугольника? (Привести пример)
10.(исх.)
Расшифруйте ребус ** + *** = ****, если известно, что оба слагаемых и
сумма не изменятся, если прочитать их справа налево.
11.(исх.)
Несколько тракторов вспахивают поле в 300 га за целое число дней, причем
каждый трактор за день вспахивает ровно 15 га. Сколько тракторов потребуется
дополнительно, чтобы это же поле можно было вспахать на 6 дней раньше?
12.(исх.)
Найдите наибольший общий делитель всех четырехзначных чисел, записанных при
помощи цифр 3, 4, 5, 6.
13.(исх.)
Если в трехзначном числе с различными ненулевыми цифрами сложить все
возможные двузначные числа, образованные из цифр этого числа, то получится
число, которое в два раза больше исходного. Чему может равняться это число?
14.(исх.)
Тетушке Маше на три года меньше, чем Саше вместе с его ровесником Пашей.
Сколько лет было Саше, когда тетушке Маше было столько же лет, сколько сейчас
Паше?
1. (младшие)
Сколькими способами число 100 можно представить в виде суммы трех простых
чисел? (порядок слагаемых не важен)
2. (младшие)
Четыре последовательных целых числа дают в произведении 1680. Какие это
могут быть числа?
3. (младшие)
На какое наибольшее количество различных прямоугольников с целыми сторонами
можно разрезать по линиям сетки квадрат 5*5? (Приведите пример)
4. (младшие)
Рыболова спросили, сколько весила пойманная им рыба. Он ответил:
"Хвост весил 4 фунта, голова столько, сколько хвост и половина туловища,
а туловище столько, сколько голова и хвост". Сколько весила рыба?
5. (младшие)
У грибника в корзине подберезовиков на n% меньше, чем подосиновиков.
На сколько процентов n меньше числа процентов, на которое подосиновиков
больше, чем подберезовиков?
6. (младшие)
Сколько существует различных квадратов со сторонами, идущими по линиям
сетки квадрата 8*8?
7. (младшие)
На гранях кубика написаны шесть различных цифр. Сумма цифр на
противоположных гранях одна и та же для каждой пары параллельных граней.
Каковы остальные три цифры, если три известны: 4, 5 и 8 ? (Перечислите
все возможные варианты).
8. (младшие)
Сколько среди чисел 2х+у, х-у,
х-2у, у-2х может быть положительных?
(Укажите все варианты.)
9. (младшие)
Два равнобедренных треугольника приложили боковыми сторонами друг к другу
так, что образовался новый равнобедренный треугольник. Какими могут быть углы
у этого треугольника?
10. (младшие)
Какое наибольшее натуральное число в записи римскими цифрами начинается на ММХ?
11. (младшие)
Какое наименьшее натуральное число имеет более 12 натуральных делителей?
12. (младшие)
Одно круглое бревно весит 30 кг, второе бревно - вдвое толще и вдвое
короче. Сколько весит второе бревно?
13. (младшие)
Сколько раз в году может встречаться пятница, 13-е?
14. (младшие)
Вершины выпуклого 2n-угольника пронумеровали, начиная с 1.
Оказалось что общее число его диагоналей кратно числу диагоналей, соединяющих
вершины с четными номерами. Сколько вершин имеет этот многоугольник? Укажите
все варианты.
15. (младшие)
Сколько существует трехзначных чисел, у которых последняя цифра равна
произведению двух первых цифр?
16. (младшие)
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) на стороне
ВС взяли точки К и М (К ближе к В, чем
М) такие, что КМ=АМ и углы МАС и КАВ равны.
Чему равен угол ВАМ?
17. (младшие)
В клетках квадрата 3*3 расставили цифры 1,2,3,...,9. Затем в каждом из 4
внутренних узлов записали среднее арифметическое окружающих его четырех цифр.
После этого вычислили среднее арифметическое полученных четырех чисел. Какое
наибольшее число может при этом получиться?
18. (младшие)
Шестерым братьям вместе 57 лет. Каждый из них, кроме самого старшего,
моложе следующего по возрасту брата на одно и то же число. Самый старший
старше самого младшего на столько лет, сколько трем младшим вместе.
Сколько лет каждому?
19. (младшие)
Квадратный лист бумаги перегнули по прямой так, что получился невыпуклый
многоугольник. Какое наибольшее количество сторон у него может быть?
20. (младшие)
45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей.
Сколько конфет можно купить на 50 рублей?
15. (младшие)
Сколько существует трехзначных чисел, у которых последняя цифра равна
произведению двух первых цифр?
16. (младшие)
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) на стороне
ВС взяли точки К и М (К ближе к В, чем
М) такие, что КМ=АМ и углы МАС и КАВ равны.
Чему равен угол ВАМ?
17. (младшие)
В клетках квадрата 3х3 расставили цифры 1,2,3,...,9. Затем в каждом из 4
внутренних узлов записали среднее арифметическое окружающих его четырех цифр.
После этого вычислили среднее арифметическое полученных четырех чисел. Какое
наибольшее число может при этом получиться?
18. (младшие)
Шестерым братьям вместе 57 лет. Каждый из них, кроме самого старшего,
моложе следующего по возрасту брата на одно и то же число. Самый старший
старше самого младшего на столько лет, сколько трем младшим вместе.
Сколько лет каждому?
19. (младшие)
Квадратный лист бумаги перегнули по прямой так, что получился невыпуклый
многоугольник. Какое наибольшее количество сторон у него может быть?
20. (младшие)
45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей.
Сколько конфет можно купить на 50 рублей?
1. (старшие)
Сколькими способами число 100 можно представить в виде суммы трех простых
чисел? (порядок слагаемых не важен)
2. (старшие)
Четыре последовательных целых числа дают в произведении 1680. Какие это
могут быть числа?
3. (старшие)
Найдите углы ромба, если его периметр в восемь раз больше высоты.
4. (старшие)
Рыболова спросили, сколько весила пойманная им рыба. Он ответил: "Хвост
весил 4 фунта, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище
столько, сколько голова и хвост". Сколько весила рыба?
5. (старшие)
Найдите все такие пятерки подряд идущих натуральных чисел, что сумма
квадратов трех из них равна сумме квадратов двух других. (Ответ запишите в виде
соответствующих равенств).
6. (старшие)
Сколько существует различных квадратов со сторонами, идущими по линиям
сетки квадрата 8*8?
7. (старшие)
На гранях кубика написаны шесть различных цифр. Сумма цифр на
противоположных гранях одна и та же для каждой пары параллельных граней.
Каковы остальные три цифры, если три известны: 4, 5 и 8 ? (Перечислите все
возможные варианты).
8. (старшие)
Сколько среди чисел 2х+у, х-у,
х-2у, у-2х может быть положительных? Укажите все
варианты.
9. (старшие)
В треугольнике середины высот лежат на одной прямой. Найдите площадь этого
треугольника, если один его угол равен 30o, а меньшая высота
равна 3.
10. (старшие)
Какое наибольшее натуральное число в записи римскими цифрами начинается на
ММХ?
11. (старшие)
Какое наименьшее натуральное число имеет более 12 натуральных делителей?
12. (старшие)
Одно круглое бревно весит 30 кг, второе бревно - вдвое толще и вдвое
короче. Сколько весит второе бревно?
13. (старшие)
Сколько раз в году может встречаться пятница, 13-е?
14. (старшие)
Вершины выпуклого многоугольника пронумеровали, начиная с 1. Оказалось что
общее число его диагоналей кратно числу диагоналей, соединяющих вершины с
четными номерами. Сколько вершин имеет этот многоугольник? Укажите все
варианты.
15. (старшие)
Сколько существует трехзначных чисел, у которых последняя цифра равна
произведению двух первых цифр?
16. (старшие)
На периметре прямоугольника 3х4 выбрана точка М. Найдите длину
кратчайшего пути, начинающегося и оканчивающегося в точке М, и имеющего
общую точку с каждой стороной прямоугольника.
17. (старшие)
В клетках квадрата 3*3 расставили цифры 1,2,3,...,9. Затем в каждом из 4
внутренних узлов записали среднее арифметическое окружающих его четырех цифр.
После этого вычислили среднее арифметическое полученных четырех чисел. Какое
наибольшее число может при этом получиться?
18. (старшие)
Шестерым братьям вместе 57 лет. Каждый из них, кроме самого старшего,
моложе следующего по возрасту брата на одно и то же число. Самый старший
старше самого младшего на столько лет, сколько трем младшим вместе. Сколько
лет каждому?
19. (старшие)
Квадратный лист бумаги перегнули по прямой так, что получился невыпуклый
многоугольник. Какое наибольшее количество сторон у него может быть?
20. (старшие)
45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей.
Сколько конфет можно купить на 50 рублей?
Ответы к исходным задачам
1. 10 чисел
2. 0 (ни одного)
3. 224 и 624
4. 0,1,3,5,6,8
5. 142 857
6. прямоугольник 3*5
Проверьте картинку - фигурки из 5 клеток должны быть разными!
7. 16
8. 9 км
9. 7 сторон Проверьте пример!
10. 22+979=1001
11. 3 трактора
12. 9
13. 198
14. 3 года
Ответы к зачётным задачам (МЛАДШИЕ)
1. 4 способа
2. 5, 6, 7, 8 и -8, -7, -6, -5
3. 7 различных прямоугольников Проверьте пример!
4. 32 фунта
5. n%
6. 204 квадрата
7. (0, 1, 9), (1, 2, 7), (1, 3, 6), (3, 6, 7), (3, 7, 9), (6, 7, 9)
8. 0, 1, 2 или 3 числа
9. 90, 45, 45 и 36, 72, 72 градусов
10. ММХСIX = 2099 Принимается любой вариант.
11. 144
12. 60 кг
13. 1, 2 и 3 раза
14. 4 и 6
15. 32 числа
16. 60 градусов
17. 6,125 = 6 1/8 Принимается любой вариант.
18. 2, 5, 8, 11, 14 и 17 лет
19. 9 сторон
20. 75 штук
Ответы к зачетным задачам (СТАРШИЕ)
1. 4 способа
2. 5, 6, 7, 8 и -8, -7, -6, -5
3. 30o и 150o
4. 32 фунта
5. 102+112+122=132+142 и 22+42+52=32+62
6. 204 квадрата
7. (0, 1, 9), (1, 2, 7), (1, 3, 6), (3, 6, 7), (3, 7, 9), (6, 7, 9)
8. 0, 1, 2 или 3 числа
9. 6*31/2
10. ММХСIX = 2099 Принимается любой вариант.
11. 144
12. 60 кг
13. 1, 2 и 3 раза
14. 4, 5 и 6
15. 32 числа
16. 10
17. 6,125 = 6 1/8 Принимается любой вариант.
18. 2, 5, 8, 11, 14 и 17 лет
19. 9 сторон
20. 75 штук