1. Каждая диагональ делит четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Обязательно ли его диагонали взаимно перпендикулярны?
2. В каждой клетке шахматной доски провели по одной диагонали. Докажите, что можно раскрасить каждый из получившихся 128 треугольников в один из трех цветов так, чтобы треугольники одинакового цвета по стороне не граничили.
3. Числа a и b таковы, что
a2 + b2 + ab = a + b.
Найдите наибольшее возможное значение суммы
a2 + b2.
4. Какое наименьшее количество "доминошек" можно расставить на поле 8*8 так, чтобы в плоскости поля нельзя было бы сдвинуть ни одной "доминошки" при условии, что "доминошки" не должны выступать за пределы поля?
5. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся двузначное число окажется меньше суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных трехзначных чисел?
6. Выпуклый пятиугольник вписан в окружность. Верно ли, что если равны все его диагонали, то все его углы равны между собой и все его стороны также равны между собой?
7. Несколько клеток бесконечного белого листа клетчатой бумаги закрасили в черный цвет. Разрешается выбрать на листе любой квадрат размером 2*2 и перекрасить все его белые клетки в черный цвет, а все черные - в белый. Назовем раскраску хорошей, если несколькими такими операциями можно добиться, чтобы все клетки листа стали белыми. Докажите, что раскраска является хорошей тогда и только тогда, когда в каждой горизонтали и в каждой вертикали листа в черный цвет закрашено четное число клеток.
8. При каком наименьшем натуральном n, отличном от 1, число 1979 нельзя представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых делится на n, но не делится на n + 1, а другое делится на n + 1, но не делится на n?
9. Назовем набор из 60 гирь крепким, если его невозможно разбить на три группы по 20 гирь в каждой так, чтобы массы всех трех групп были разными. Найдите все крепкие наборы, в которых есть хотя бы одна гиря массой 1 кг и хотя бы одна гиря массой 2 кг.
10. Два игрока играют, делая ходы по очереди. В свой ход каждый игрок пишет не делящееся ни на 2, ни на 5 натуральное число, в записи которого не более пяти цифр. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма всех выписанных чисел в первый раз превысит миллион. Кто выиграет при правильной игре?
1. В параллелограмме ABCD AB = BD. Докажите, что AC > 1,5AD.
2. Можно ли составить магический квадрат 5*5 из натуральных чисел от 1 до 25 (все эти числа нужно использовать ровно по одному разу) так, чтобы делилась на три сумма восьми чисел, стоящих во всех клетках внешней каемки, отличных от угловых клеток и центральных клеток сторон? Числовой квадрат называется магическим, если в нем равны между собой все суммы чисел по строкам, по столбцам и по диагоналям.
3. Рассмотрим целочисленные точки (x; y) координатной плоскости, для которых 1 < x, y < 1997. Отметим те из них, у которых координаты - взаимно простые натуральные числа. Докажите, что отмеченных точек не менее половины.
4. Можно ли клетчатую доску 1998*1998 раскрасить в несколько цветов так, чтобы для каждого использованного цвета оказалось ровно две клетки этого цвета, причем эти две клетки находились в одном столбце или в одной строке и между ними была ровно одна клетка другого цвета? Каждая клетка красится целиком в один цвет.
5. На Марсе 2000 стран, и для каждой четверки стран хотя бы одна страна из этой четверки дружит с тремя другими странами из этой четверки. Найдите наименьшее возможное количество стран Марса, которые дружат со всеми остальными 1999 странами.
6. Верно ли, что найдутся два таких 1997-значных натуральных числа, что десятичные записи каждого из них и их произведения состоят только из нечетных цифр?
7. AE - биссектриса треугольника ABC, точка D выбрана на стороне AC так, что сумма величин углов DBC и ABC равна 180o. Докажите, что DE - биссектриса угла BDC.
8. Клетчатый прямоугольник, каждая сторона которого не меньше 1, разбит на доминошки (прямоугольники из двух клеточек). Докажите, что количество квадратов 2*2, состоящих из двух целых доминошек, больше количества квадратов 2*2, состоящих из клеток четырех разных доминошек.
9. На доске в ряд выписаны n последовательных натуральных чисел. Двое играют в следующую игру: они по очереди разными мелками зачеркивают по одному из незачеркнутых ранее чисел, и так до тех пор, пока все числа не будут зачеркнуты. Если в какой-то момент игры окажется, что первый игрок зачеркнул два рядом стоящих числа, то он проиграл. Найдите все значения n, при которых первый игрок может не проиграть, независимо от игры второго игрока.
10. Докажите, что после раскрытия всех скобок и приведения всех
подобных слагаемых в выражении
(1+x+x2+x3+...+x2000)(1+x2+x4+x6+...+x4000)(1+x3+x6+x9+...+x6000)...(1+x2000+x4000+x6000+...+x20002)
коэффициент при x1998 окажется строго больше, чем
коэффициент при x1997.
1. При каком наибольшем n можно расставить на шахматной доске n белых и n черных ладей так, чтобы никакие две ладьи разных цветов не били друг друга?
2. Пусть a, b и c - стороны треугольника с
периметром 1. Докажите что
((1+a)/(1-2a)) + ((1+b)/(1-2b)) + ((1+c)/(1-2c)) > 6
3. На листе бумаги нарисован клетчатый квадрат 10*10. Двое по очереди делают ходы. Первый каждым своим ходом рисует клетчатый прямоугольник площадью в 20 клеток, все стороны которого лежат внутри или на сторонах исходного квадрата. Эти прямоугольники могут пересекаться, но не могут совпадать. Второй каждым своим ходом отмечает крестиком одну из клеток только что нарисованного прямоугольника, причем нельзя отмечать клетку, уже отмеченную ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода без нарушения правил. Кто из игроков выигрывает при правильной игре и как ему для этого надо играть?
4. Числа a, b, c, d, e нечетны и не являются точными квадратами. Может ли произведение abbccddeea быть точным квадратом?
5. Существуют ли такие натуральные a, b и c, что
(a + b)(b + c)(c + a) = 340?
6. Имеются семь монет, пронумерованных от 1 до 7. Известно, что ровно шесть из них - настоящие, весящие одинаково, а одна - фальшивая, и ее вес отличается от веса настоящей монеты. Известно также, что монеты 1 и 2 не тяжелее настоящей, а монеты 5, 6, 7 - не легче настоящей. Можно ли, используя эту информацию, за два взвешивания на чашечных весах без гирь наверняка определить номер фальшивой монеты и узнать, легче она или тяжелее настоящей, если результаты обоих взвешиваний становится известными только после второго взвешивания?
7. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он придумал такое натуральное число, что для любых натуральных чисел n и k, не больших 1997, это число можно представить в виде произведения n различных натуральных чисел, являющихся точными k-ми степенями. Может ли это утверждение барона быть истинным?
8. Из 35 клетчатых прямоугольников, не являющихся квадратами, составили девять квадратов 10*10. Докажите, что из всех этих прямоугольников можно составить два прямоугольника, площади которых отличаются не более, чем на 80 клеток.
9. Старшина составил расписание дежурств для взвода из 50 курсантов на 30 дней, в котором каждый день заступают на дежурство 4 курсанта, и у каждого курсанта перерыв между дежурствами не менее 5 дней. Докажите, что можно добавить в каждое дежурство по одному курсанту так, чтобы у каждого курсанта перерыв между дежурствами по-прежнему был не менее 5 дней.
10. Докажите, что если четыре биссектрисы внутренних углов выпуклого пятиугольника соответственно перпендикулярны противолежащим сторонам (или их продолжениям), то таким же свойством обладает и пятая биссектриса.
1. По кругу записаны 1997 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре одно из соседних чисел делится на другое. Докажите, что найдется пара и не соседних чисел с тем же свойством.
2. Можно ли составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными вида
P(x, y) = 0 ;
Q(x, y) = 0 ,
где P(x, y) и Q(x, y) - многочлены степени не выше второй, чтобы она имела ровно три решения в действительных числах: (2; 3), (0; 2), (9; 7)?3. На первое занятие танцевального кружка пришли школьники, каждый из которых знает ровно трех других. Руководитель кружка хочет расставить несколько человек в круг так , чтобы каждый знал своих соседей справа и слева. После многочисленных попыток он понял, что ни трех, ни четырех школьников расставить таким образом ему не удастся. Чему равно наименьшее возможное число участников кружка ?
4. Можно ли отметить на плоскости 1001 точку так, чтобы для каждой из них среди расстояний от нее до всех остальных было ровно 999 различных?
5. Верно ли, что если в выпуклом пятиугольнике каждая диагональ делит углы при вершинах, которые она соединяет, в отношении 2:1, то в этом пятиугольнике все углы равны между собой и все стороны равны между собой?
6. На поверхности шарообразной планеты расположено 1996 замков (замки будем считать точками, причем никакие четыре из них не лежат на одной окружности). Два крота по очереди соединяют эти замки прямолинейными туннелями (за один ход прорывается ровно один новый туннель из любого замка, вначале никаких туннелей нет вообще). Проигрывает тот крот, после хода которого можно будет попасть по туннелям из любого замка в любой другой. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий крот или его соперник?
7. Найдите все натуральные n, при которых уравнение
nx + ny + nz + nt =2000
имеет решение в целых числах.
8. Можно ли расставить во всех клетках квадрата 100*100 плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних по сторонам клетках был ровно один минус?
9. Можно ли в вершинах и серединах сторон 999-угольника расставить натуральные числа от 1 до 1998 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в ее середине? Все эти числа нужно использовать ровно по одному разу.
10. Могут ли все прямые, делящие пополам периметр треугольника, пересекаться в одной точке?
1. Для участников матбоя и членов жюри было приготовлено конфет столько же, сколько булочек и стаканов чая вместе. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько, сколько булочек. Найдется ли стакан чая для заглянувшего к ним члена жюри?
2. Каждая диагональ делит четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Обязательно ли его диагонали взаимно перпендикулярны?
3. Некоторые клетки бесконечного клетчатого листа покрашены в черный
цвет, а все остальные - в белый, как показано на рисунке справа. Разрешается
поменять цвета на противоположные у любых четырех клеток, образующих квадрат
2*2. Можно ли за несколько таких операций добиться того, чтобы все клетки стали
белыми?
4. Два мудреца написали на семи карточках числа от 5 до 11. После этого они перемешали карточки, первый мудрец взял себе три карточки, второй взял две, а две оставшиеся карточки они, не глядя, спрятали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: "Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна!" Какие числа написаны на карточках первого мудреца?
5. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся двузначное число окажется меньше суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных трехзначных чисел?
6. Выпуклый пятиугольник вписан в окружность. Известно, что все его диагонали равны между собой. Докажите, что все его углы равны между собой и все его стороны также равны между собой?
7. Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Шестиклассник Ваня сказал, что займет последнее. По итогам чемпионата все заняли разные места, и оказалось, что все, кроме, разумеется, Вани, заняли места хуже, чем ожидали. Какое место занял Ваня?
8. Число 599 нужно представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых делится на n, но не делится на n + 1, а другое делится на n + 1 но не делится на n. Докажите, что это невозможно при n = 25 и возможно при любом меньшем натуральном n, кроме 1.
9. Четыре человека подошли ночью к мосту (с одной стороны) и хотят перейти через него. У них есть на всех один фонарик, без которого невозможно и шагу ступить. Мост выдерживает только двух человек. Папа может перейти мост за 1 минуту, мама - за 2 минуты, малыш - за 5 минут, бабушка - за 10 минут. Как им всем перейти мост за 17 минут?
10. Два игрока играют, делая ходы по очереди. В свой ход каждый игрок пишет не делящееся ни на 2, ни на 5 натуральное число, в записи которого не более двух цифр. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма всех выписанных чисел в первый раз превысит тысячу. Кто выиграет при правильной игре?
1. В параллелограмме ABCD AB = BD. Докажите, что AC > 1,5AD.
2. Можно ли составить магический квадрат 5*5 из натуральных чисел от 1 до 25 (все эти числа нужно использовать ровно по одному разу) так, чтобы делилась на три сумма восьми чисел, стоящих во всех клетках внешней каемки, отличных от угловых клеток и центральных клеток сторон? Числовой квадрат называется магическим, если в нем равны между собой все суммы чисел по строкам, по столбцам и по диагоналям.
3. На доске в ряд выписаны n последовательных натуральных чисел. Двое играют в следующую игру: они по очереди разными мелками зачеркивают по одному из незачеркнутых ранее чисел, и так до тех пор, пока все числа не будут зачеркнуты. Если в какой-то момент игры окажется, что первый игрок зачеркнул два рядом стоящих числа, то он проиграл. Найдите все значения n, при которых первый игрок может не проиграть, независимо от игры второго игрока.
4. Можно ли клетчатую доску 1997*1997 с вырезанной центральной клеткой раскрасить в несколько цветов так, чтобы для каждого использованного цвета оказалось ровно две клетки этого цвета, причем эти две клетки находились в одном столбце или в одной строке и между ними была ровно одна клетка другого цвета (не вырезанная)? Каждая клетка красится целиком в один цвет.
5. На Марсе 2000 стран, и для каждой четверки стран хотя бы одна страна из этой четверки дружит с тремя другими странами из этой четверки. Найдите наименьшее возможное количество стран Марса, которые дружат со всеми остальными 1999 странами.
6. Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на любое большее трех число равнобедренных треугольников.
7. На витрине ювелирного магазина лежат 9 золотых монет массой 100 г, 101 г, ..., 108 г. Рядом с каждой золотой монетой лежала этикетка, указывающая массу монеты. Первого апреля какой-то шутник переложил этикетки. Продавец точно помнит, какая монета сколько весит, но хозяин ему не верит. У продавца имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс грузов, лежащих на чашках. Как продавец за два взвешивания может показать хозяину, как правильно положить все этикетки?
8. Лист бумаги имеет форму выпуклого шестиугольника. Петя провел на нем несколько линий, разбивших лист на три параллелограмма. Вася шестиугольника не видел, но утверждает, что можно стереть Петины линии и провести несколько линий, не повторяющих стертые, таким образом, что они тоже разобьют лист на три параллелограмма. Прав ли Вася?
9. При каком наименьшем натуральном n 1997 произвольных кусков халвы можно разложить на две части равной массы, разрезав не более n кусков?
10. Каким количеством способов можно заменить все звездочки на рисунке справа десятичными цифрами так, чтобы получился верный пример на умножение?
19*****
*
-------
*****97
1. Можно ли расставить на шахматной доске 17 белых и 17 черных ладей так, чтобы ладьи разных цветов не били друг друга?
2. Вершины замкнутой несамопересекающейся восьмизвенной ломаной совпадают с вершинами куба. Докажите, что у этой ломаной найдутся четыре звена одинаковой длины.
3. На листе бумаги нарисован клетчатый квадрат 10*10. Двое по очереди делают ходы. Первый каждым своим ходом рисует клетчатый прямоугольник площадью в 20 клеток, все стороны которого лежат внутри или на сторонах исходного квадрата. Эти прямоугольники могут пересекаться, но не могут совпадать. Второй каждым своим ходом отмечает крестиком одну из клеток только что нарисованного прямоугольника, причем нельзя отмечать клетку, уже отмеченную ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода без нарушения правил. Кто из игроков выигрывает при правильной игре и как ему для этого надо играть?
4. Числа a, b, c нечетны и не являются точными квадратами. Может ли произведение abbcca быть точным квадратом?
5. Существуют ли такие натуральные a, b и c, что (a + b)(b + c)(c + a) = 340?
6. Имеются семь монет, пронумерованных от 1 до 7. Известно, что ровно шесть из них - настоящие, весящие одинаково, а одна - фальшивая, и ее вес отличается от веса настоящей монеты. Известно также, что монеты 1 и 2 не тяжелее настоящей, а монеты 5, 6, 7 - не легче настоящей. Можно ли, используя эту информацию, за два взвешивания на чашечных весах без гирь наверняка определить номер фальшивой монеты и узнать, легче она или тяжелее настоящей?
7. Найдите все двузначные числа, обладающие следующим свойством: если вставить между его цифрами произвольное ненулевое количество семерок, то полученное число будет делиться нацело на 13.
8. Из 35 клетчатых прямоугольников, не являющихся квадратами, составили девять квадратов 10*10. Докажите, что из всех этих прямоугольников можно составить два прямоугольника, площади которых отличаются не более, чем на 80 клеток.
9. Старшина составил расписание дежурств для взвода из 25 курсантов на 30 дней, в котором каждый день заступают на дежурство три курсанта, и у каждого курсанта перерыв между дежурствами не менее трех дней. Докажите, что можно добавить в каждое дежурство по одному курсанту так, чтобы у каждого курсанта перерыв между дежурствами по-прежнему был не менее трех дней?
10. Докажите, что если четыре биссектрисы внутренних углов выпуклого пятиугольника соответственно перпендикулярны противолежащим сторонам (или их продолжениям), то таким же свойством обладает и пятая биссектриса.
1. По кругу записаны 1997 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре одно из соседних чисел делится на другое. Докажите, что найдется пара и не соседних чисел с тем же свойством.
2. Можно ли составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными вида,
P(x, y) = 0 ;
Q(x, y) = 0 ,
где P(x, y) и Q(x, y) - многочлены, чтобы она имела ровно три решения: (2; 3), (0; 2), (9; 7)?3. На первое занятие танцевального кружка пришли школьники, каждый из которых знает ровно трех других. Руководитель кружка хочет расставить несколько человек в круг так, чтобы каждый знал своих соседей справа и слева. После многочисленных попыток он понял, что ни трех, ни четырех школьников расставить таким образом ему не удастся. Чему равно наименьшее возможное число участников кружка?
4. Библиотекарь расставляет на очень длинной полке собрание сочинений, содержащее 1997 томов. После этого он получает выговор за каждую пару томов, расположенных так, что том с меньшим номером стоит правее тома с большим номером . Докажите, что при некоторой расстановке книг библиотекарь получит ровно миллион выговоров.
5. Верно ли, что если в выпуклом пятиугольнике каждая диагональ делит углы при вершинах, которые она соединяет, в отношении 2:1, то в этом пятиугольнике все углы равны между собой и все стороны равны между собой?
6. На поверхности шарообразной планеты расположено 6 замков (замки будем считать точками, причем никакие четыре из них не лежат на одной окружности). Два крота по очереди соединяют эти замки прямолинейными туннелями (за один ход прорывается ровно один новый туннель из любого замка, вначале никаких туннелей нет вообще). Проигрывает тот крот, после хода которого можно будет попасть по туннелям из любого замка в любой другой. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий крот или его соперник?
7. Из трех друзей один всегда лжет, второй всегда говорит правду, а третий может как сказать правду, так и солгать. Они на обед съели два первых блюда, два вторых и два третьих, причем каждый съел два разных блюда. Вспоминая этот обед через 5, 10 и 20 лет, Олег каждый раз утверждал, что он ел первое блюдо, Игорь два раза говорил, что он ел первое блюдо, и один раз говорил, что он ел второе блюдо, а Костя один раз утверждал, что он ел первое блюдо, второй раз утверждал, что он ел второе блюдо, и третий раз утверждал, что он ел третье блюдо. Кто из них что ел на самом деле?
8. Сколькими различными способами можно расставить во всех клетках квадрата 4*4 плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних по сторонам клетках был ровно один минус?
9. Можно ли в вершинах и серединах сторон восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в ее середине? Все эти числа нужно использовать ровно по одному разу.
10. Незнайка отметил на плоскости 15 точек и утверждает, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он может указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. Прав ли он?
1. Для участников матбоя и членов жюри было приготовлено конфет столько же, сколько булочек и стаканов чая вместе. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько, сколько булочек. Найдется ли стакан чая для заглянувшего к ним члена жюри?
2. Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Шестиклассник Ваня сказал, что займет последнее. По итогам чемпионата все заняли разные места, и оказалось, что все, кроме, разумеется, Вани, заняли места хуже, чем ожидали. Какое место занял Ваня?
3. Пончик закусывал в придорожном кафе, когда мимо него проехал автобус. Через три плюшки после автобуса мимо Пончика проехал мотоцикл, а еще через три плюшки - автомобиль. Мимо Сиропчика, который закусывал в другом кафе у той же дороги, они проехали в другом порядке: сначала - автобус, через три плюшки - автомобиль, а еще через три плюшки - мотоцикл. Известно, что Пончик и Сиропчик всегда едят плюшки с одной и той же постоянной скоростью. Найдите скорость автобуса, если скорость автомобиля - 60 км/ч, а скорость мотоцикла - 30 км/ч.
4. Какое наименьшее количество "доминошек" можно расставить на поле 6*6 так, чтобы в плоскости поля нельзя было бы сдвинуть ни одной "доминошки" при условии, что "доминошки" не должны выступать за пределы поля?
5. Назовем трехзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть одну цифру так, что получившееся двузначное число окажется меньше суммы цифр исходного трехзначного. Сколько существует особенных трехзначных чисел?
6. Выпуклый пятиугольник вписан в окружность. Верно ли, что если равны все его диагонали, то равны и все его углы?
7. Некоторые клетки бесконечного клетчатого листа покрашены в черный цвет, а все остальные - в белый, как показано на рисунке справа. Разрешается поменять цвета на противоположные у любых четырех клеток, образующих квадрат 2*2. Можно ли за несколько таких операций добиться того, чтобы все клетки стали белыми?
8. Назовем диагональ многоугольника хорошей, если она делит его площадь пополам. Какое наибольшее число хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?
9. Четыре человека подошли ночью к мосту (с одной стороны) и хотят перейти через него. У них есть на всех один фонарик, без которого невозможно и шагу ступить. Мост выдерживает только двух человек. Папа может перейти мост за 1 минуту, мама - за 2 минуты, малыш - за 5 минут, бабушка - за 10 минут. Как им всем перейти мост за 17 минут?
10. Два игрока играют, делая ходы по очереди. В свой ход каждый игрок пишет не делящееся ни на 2, ни на 5 натуральное число, в записи которого не более двух цифр. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма всех выписанных чисел в первый раз превысит тысячу. Кто выиграет при правильной игре?
1. На стене висят двое внешне одинаковых часов, одни - исправные, а другие - испорченные. Испорченные часы идут следующим образом: часовая стрелка движется правильно, а минутная - в ту же сторону и с того же начального положения, что и в исправных часах, но только в пять раз быстрее. Сколько раз в течение суток только по показаниям этих часов нельзя определить, какие из них исправные, а какие - испорченные?
2. Можно ли составить магический квадрат 5*5 из натуральных чисел от 1 до 25 (все эти числа нужно использовать ровно по одному разу) так, чтобы делилась на три сумма восьми чисел, стоящих во всех клетках внешней каемки, отличных от угловых клеток и центральных клеток сторон? Числовой квадрат называется магическим, если в нем равны между собой все суммы чисел по строкам, по столбцам и по диагоналям.
3. На доске в ряд выписаны 100 последовательных натуральных чисел. Двое играют в следующую игру: они по очереди разными мелками зачеркивают по одному из незачеркнутых ранее чисел, и так до тех пор, пока все числа не будут зачеркнуты. Если в какой-то момент игры окажется, что первый игрок зачеркнул два рядом стоящих числа, то он проиграл. Может ли первый игрок не проиграть, независимо от игры второго игрока?
4. Можно ли клетчатую доску 6*6 раскрасить в несколько цветов так, чтобы для каждого использованного цвета оказалось ровно две клетки этого цвета, причем эти две клетки находились в одном столбце или в одной строке и между ними была ровно одна клетка другого цвета? Каждая клетка красится целиком в один цвет.
5. На Марсе 2000 стран, и для каждой четверки стран хотя бы одна страна из этой четверки дружит с тремя другими странами из этой четверки. Найдите наименьшее возможное количество стран Марса, которые дружат со всеми остальными 1999 странами.
6. Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать как на 4, так и на 5 равнобедренных треугольников.
7. На витрине ювелирного магазина лежат 9 золотых монет массой 100г, 101г, ..., 108г. Рядом с каждой золотой монетой лежала этикетка, указывающая массу монеты. Первого апреля какой-то шутник переложил этикетки. Продавец точно помнит, какая монета сколько весит, но хозяин ему не верит. У продавца имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс грузов, лежащих на чашках. Как продавец за два взвешивания может показать хозяину, как правильно положить все этикетки?
8. Рассмотрим две операции: прибавление 19 к данному числу и деление данного числа на 97. Найдите все натуральные числа, из которых можно за несколько описанных операций получить единицу.
9. Докажите, что 1997 произвольных кусков халвы можно разложить на две части равной массы, разрезав не более одного куска.
10. Каким количеством способов можно заменить все звездочки на рисунке справа десятичными цифрами так, чтобы получился верный пример на умножение?
19*****
*
-------
*****97
1. Пешеход вышел из А в В, чтобы придти через 5 часов. Одновременно из В выехал велосипедист, который проезжает это расстояние за один час. Через 50 минут после их встречи из В в А выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за 1 час 40 минут. За сколько минут до своего прибытия в В пешеход встретится со вторым велосипедистом?
2. Незнайка хочет составить число так, чтобы все цифры, входящие в его запись, были различны, а любые две цифры, стоящие подряд, составляли простое число. Найдите наибольшее число, которое может у него получиться.
3. На листе бумаги нарисован клетчатый квадрат 10*10. Двое по очереди делают ходы. Первый каждым своим ходом рисует клетчатый прямоугольник площадью в 20 клеток, все стороны которого лежат внутри или на сторонах исходного квадрата. Эти прямоугольники могут пересекаться, но не могут совпадать. Второй каждым своим ходом отмечает крестиком одну из клеток только что нарисованного прямоугольника, причем нельзя отмечать клетку, уже отмеченную ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода без нарушения правил. Кто из игроков выигрывает при правильной игре и как ему для этого надо играть?
4. Числа a, b, c нечетны и не являются точными квадратами. Может ли произведение abbcca быть точным квадратом?
5. Существуют ли такие натуральные a, b и c, что
(a + b)(b + c)(c + a) = 340?
6. Имеются семь монет, пронумерованных от 1 до 7. Известно, что ровно шесть из них - настоящие, весящие одинаково, а одна - фальшивая, и ее вес отличается от веса настоящей монеты. Известно также, что монеты 1 и 2 не тяжелее настоящей, а монеты 5, 6, 7 - не легче настоящей. Можно ли, используя эту информацию, за два взвешивания на чашечных весах без гирь наверняка определить номер фальшивой монеты и узнать, легче она или тяжелее настоящей?
7. Существует ли двузначное число, обладающее следующим свойством: если вставить между его цифрами произвольное ненулевое количество семерок, то полученное число будет делиться нацело на 13?
8. Из 35 клетчатых прямоугольников, не являющихся квадратами, составили девять квадратов 10*10. Докажите, что из всех этих прямоугольников можно составить два прямоугольника, площади которых отличаются не более, чем на 80 клеток.
9. Несколько учащихся ушли из лицея и несколько пришли. В результате число учащихся уменьшилось на 10%, а доля мальчиков в лицее увеличилась с 50% до 55%. Увеличилось или уменьшилось число мальчиков?
10. По кругу расставлены 20 натуральных чисел. Для каждого числа подсчитывают сумму десяти чисел, следующих за ним по часовой стрелке. Затем числа стирают, а вместо них записывают вычисленные суммы. Докажите, что после многократного повторения этой операции все числа станут четными.
1. По кругу записаны 1997 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре одно из соседних чисел делится на другое. Докажите, что найдется пара и не соседних чисел с тем же свойством.
2. Сколькими способами коридор шириной 2 метра и длиной 20 метров можно полностью покрыть неналегающими прямоугольными кусками линолеума со сторонами 2 метра и 1 метр?
3. На первое занятие танцевального кружка пришли школьники, каждый из которых знает ровно трех других. Руководитель кружка хочет расставить несколько человек в круг так, чтобы каждый знал своих соседей справа и слева. После многочисленных попыток он понял, что ни трех, ни четырех школьников расставить таким образом ему не удастся. Чему равно наименьшее возможное число участников кружка ?
4. Библиотекарь расставляет на очень длинной полке собрание сочинений, содержащее 1997 томов. После этого он получает выговор за каждую пару томов, расположенных так, что том с меньшим номером стоит правее тома с большим номером. Докажите, что при некоторой расстановке книг библиотекарь получит ровно миллион выговоров.
5. Найдите углы равнобедренного треугольника, который можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
6. На поверхности шарообразной планеты расположено 10 замков (замки будем считать точками, причем никакие четыре из них не лежат на одной окружности). Два крота по очереди соединяют эти замки прямолинейными туннелями (за один ход прорывается ровно один новый туннель из любого замка, вначале никаких туннелей нет вообще). Проигрывает тот крот, после хода которого можно будет попасть по туннелям из любого замка в любой другой. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий крот или его соперник?
7. Из трех друзей один всегда лжет, второй всегда говорит правду, а третий может как сказать правду, так и солгать. Они на обед съели два первых блюда, два вторых и два третьих, причем каждый съел два разных блюда. Вспоминая этот обед через 5, 10 и 20 лет, Олег каждый раз утверждал, что он ел первое блюдо, Игорь два раза говорил, что он ел первое блюдо, и один раз говорил, что он ел второе блюдо, а Костя один раз утверждал, что он ел первое блюдо, второй раз утверждал, что он ел второе блюдо, и третий раз утверждал, что он ел третье блюдо. Кто из них что ел на самом деле?
8. Сколькими различными способами можно расставить во всех клетках квадрата 4*4 плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних по сторонам клетках был ровно один минус?
9. Можно ли в вершинах и серединах сторон восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в ее середине? Все эти числа нужно использовать ровно по одному разу.
10.Незнайка отметил на плоскости 15 точек и утверждает, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он может указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. Прав ли он?