Условия задач.
1. Юра задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Юра? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.
2. Можно ли пятью прямыми разбить плоскость на 13 частей?
3. Докажите, что число19191919199797979797 - составное.
4. За круглым столом сидят 30 учеников, некоторые из которых всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Известно, что среди двух соседей каждого лжеца есть ровно один лжец. При опросе 12 учеников сказали, что ровно один из их соседей - лжец, а остальные сказали, что оба их соседа - лжецы. Сколько лжецов сидит за столом?
5. Во дворе стоят 12 столбов. Электрику Петрову дали задание соединить столбы проводами таким образом, чтобы каждый провод соединял ровно два столба, никакие два столба не были бы соединены дважды, и, главное, чтобы для любых четырех столбов нашлось бы ровно три провода, протянутых между этими столбами. Докажите, что электрик Петров не сумеет справиться с этим заданием.
1. Волк сказал, что Медведь - лжец, Медведь сказал, что Волк - лжец, а Лис сказал, что оба они - лжецы. Известно, что из этих трех зверей двое всегда лгут, а один всегда говорит правду. Кто из них сказал правду? Не забудьте обосновать ответ.
2. Можно ли расставить по кругу все натуральные числа от 1 до 10 таким образом, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, не делилась на 3, а сумма любых двух чисел, стоящих рядом, не делилась на 2? Каждое число нужно использовать ровно один раз.
3. Докажите, что число1919191919191997979797979797 - составное.
4. В треугольникеABC через AA1, BB1 и CC1 обозначим высоты, а через AA2, BB2 и CC2 - медианы. Докажите, что длина ломаной A2B1C2A1B2C1A2 равна периметру треугольникаABC.
5. Шахматная доска 8*8 разбита на 32 плитки, из двух клеток каждая. Назовем плитку горизонтальной, если ее длинная сторона параллельна горизонтальной стороне доски. Горизонтальную плитку назовем черно-белой, если ее левая клетка черная, и бело-черной в противном случае. Докажите, что количество черно-белых горизонтальных плиток разбиения равно количеству бело-черных горизонтальных плиток.
1. Каких чисел среди всех целых чисел от 1 до 1000000 больше и на сколько: делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 не делится, или не делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 делится?
2. На поле брани встретились армии Толстых и Тонких, по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. После этого у армий кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 1000 солдат.
3. Два игрока по очереди записывают натуральные числа от 1 до 4 в клетки таблицы 2*2, причем каждое число может быть записано только один раз. После заполнения всей таблицы отмечается строка, сумма чисел в которой - наибольшая, и столбец, сумма чисел в котором - наибольшая. Выигрышем первого игрока (соответственно, проигрышем второго) назовем разность между суммой чисел в отмеченной строке и суммой чисел в отмеченном столбце. Какой будет выигрыш первого при правильной игре обоих игроков?
4. Найдите наибольшее возможное отношение трехзначного числа abc к числу ab + bc.
5. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению: 1997(x + y) = xy.
6. В Море Дождей живут осьминожки, у каждой - один или два друга. Когда взошло Солнце, все те осьминожки, у кого было двое друзей, посинели, а все те, у кого был один друг - покраснели. Оказалось, что любые два друга - разноцветные. Тогда 10 синих осьминожек перекрасились в красный цвет, и одновременно с этим 12 красных осьминожек перекрасились в синий цвет, после чего любые два друга стали одного цвета. Сколько осьминожек в Море Дождей?
1. Каких чисел среди всех целых чисел от 1 до 1000000 больше и на сколько: делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 не делится, или не делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 делится?
2. На поле брани встретились армии Толстых и Тонких, по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. Наконец, каждый уцелевший Толстый еще раз выстрелил в одного из Тонких. После этого у армий кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 500 солдат.
3. Два игрока по очереди записывают натуральные числа от 1 до 4 в клетки таблицы 2*2, причем каждое число может быть записано только один раз. После заполнения всей таблицы отмечается строка, сумма чисел в которой - наибольшая, и столбец, сумма чисел в котором - наибольшая. Выигрышем первого игрока (соответственно, проигрышем второго) назовем разность между суммой чисел в отмеченной строке и суммой чисел в отмеченном столбце. Какой будет выигрыш первого при правильной игре обоих игроков?
4. Для каких n в клетчатом квадрате со стороной n можно расставить +1 и -1 так, чтобы все 4n сумм и произведений по строкам и по столбцам были одинаковы?
5. Докажите, что уравнение (x2+1)(y2+1) = z2+1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
6. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне AB взята точка K, а на стороне AC - точка L так, что AK = CL. Докажите, что KL не меньше половины BC.