1. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

2. Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?

3. Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

4. Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8ґ 8 по следующим правилам. Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами). Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным. Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.

Разрежем поле для игры на 16 квадратов размером 2ґ 2. Заметим, что в каждом таком квадрате не может стоять более одного корабля (иначе корабли будут соприкасаться). Так как всего кораблей 16, то в каждом квадрате должен стоять корабль. Таким образом, Васе достаточно полностью «расстрелять» один из этих квадратов.

5. На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня?

Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6Ч 7 = 42 дня. Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота.

6. На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

 

7. По кругу стоят восемь козлов разного роста. Любой из них умеет перепрыгивать через двух соседних козлов против часовой стрелки. Докажите, что при любом начальном расположении козлов они смогут встать по росту.

Такая операция возможна потому, что числа 2 и 7 – взаимно простые.

1. На клетчатой бумаге нарисован квадрат. Известно, что его можно разрезать на прямоугольники размером 1ґ 6 клеток. Докажите, что этот квадрат можно также разрезать на уголки из трёх клеток.

Так как площадь квадрата делится на 6, то длина его стороны также делится на 6. Следовательно, квадрат можно разбить на прямоугольники размером 2ґ 3. Любой такой прямоугольник состоит из двух уголков.

2. На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня?

Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6Ч 7 = 42 дня. Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота.

3. На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Гуляя по этой дороге, Бобик для каждой таблички подсчитал наибольший общий делитель записанных на ней чисел. Оказалось, что среди полученных им чисел встретились только 1, 3 или 5 (каждое хотя бы по одному разу). Найдите расстояние между селами.

Ответ: 15.

 

4. Существует ли 10-угольник, который одной прямой можно разбить на 6 частей?

5. Можно ли оклеить поверхность куба прямоугольниками, так чтобы любой прямоугольник граничил (по отрезку) ровно с пятью другими?

Ответ: можно.

Например, см. рисунок.

6. Двое играют в крестики-нолики на бесконечном листе клетчатой бумаги. Побеждает тот, кто первым сумеет поставить пять одинаковых значков подряд (по горизонтали или вертикали). Докажите, что второй может играть так, чтобы не проиграть.

Разобьем лист на прямоугольники размером 2ґ 1 так, как показано на рисунке. Заметим, что в любом горизонтальном или вертикальном прямоугольнике размером 5ґ 1 обязательно содержится один из прямоугольников разбиения. Поэтому, второму достаточно ставить нолик в тот же прямоугольник 2ґ 1, в который первый поставил крестик. Тогда пяти крестиков подряд не получится.

7. Восемь томов «Энциклопедии Козлов» сложили в стопку. Разрешается вынимать из стопки либо третью сверху книгу, либо самую нижнюю, и класть ее наверх. Докажите, что независимо от начального расположения томов их можно сложить по порядку номеров.