Устная олимпиада по геометрии для 9-х классов

прошла в воскресенье 27 апреля 2003 года
в школе 444.

Условия задач:

1. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне (исследование вопроса о количестве решений не требуется).

2. В выпуклом четырехугольнике ABCD ÐABC= 90⁰, РBAC = РCAD, AC = AD, DH — высота треугольника ACD. В каком отношении прямая BH делит отрезок CD?

3. Внутри отрезка АС выбрана произвольная точка В и построены окружности с диаметрами АВ и ВС. На окружностях (в одной полуплоскости относительно АС) выбраны соответственно точки M и L так, что РMBA = Ð LBC. Точки K и F отмечены соответственно на лучах ВМ и BL так, что BK = BC и BF = AB. Докажите, что точки M, K, F и L лежат на одной окружности.

4. В треугольнике ABC M — точка пересечения медиан, O — центр вписанной окружности, A', B', C' — точки ее касания со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что, если CA' = AB, то прямые OM и AB перпендикулярны.

5. Дан треугольник АВС. Точка О₁ — центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О₂ и О₃ являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО₁, ВО₂ и СО₃ пересекаются в одной точке.

6. На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?