1. Два равносторонних треугольника АВС и CDE имеют общую вершину (см.рис.). Найдите угол между прямыми AD и BE.


2. Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние 5/6 (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остается след от линии сгиба).

3. Две окружности w₁ и w₂ пересекаются в точках А и В. К ним через точку А проводятся касательные l₁ и l₂ (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки В на l₂ и l₁, вторично пересекают окружности w₁ и w₂ соответственно в точках К и N. Докажите, что точки К, А и N лежат на одной прямой.

4. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. H- точка пересечения высот. На сторонах АВ и ВС выбраны точки М и К соответственно так, что уголKMH прямой. Докажите, что из отрезков АК, СМ и МК можно сложить прямоугольный треугольник.

5. На сторонах АВ и CD квадрата ABCD взяты точки K и M соответственно, а на диагонали AC- точка L так, что ML = KL. Пусть P- точка пересечения отрезков MK и BD. Найдите угол KPL.

6. Серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС остроугольного треугольника АВС пересекают прямые АС и ВС в точках М и N. Пусть точка С движется по описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно АB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.

1. Выпуклый n-угольник P, где n>3, разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него. Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины С на биссектрису угла ABD, пересекает прямую АВ в точке C₁; перпендикуляр, опущенный из вершины В на биссектрису угла AСD, пересекает прямую CD в точке B₁. Докажите, что B₁C₁ ||AD.

3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К соответственно так, что S_KMC + S_KAC = S_ABC. Докажите, что все такие прямые МК проходят через одну точку.

4. Из вершины A параллелограмма ABCD опущены высоты AM на BC и AN на CD. P- точка пересечения BN и DM. Докажите, что прямые AP и MN перпендикулярны.

5. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности (бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса R. Найдите все возможные значения R.

6. В треугольнике АВС О- центр описанной окружности. Прямая а проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины А, и параллельна ОА. Аналогично определяются прямые b и с. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.