XXXI Всероссийская олимпиада школьников по математике
(V этап)

Нижний Новгород, 24-29 апреля 2005 г.

Задачи

Задания подготовлены Методическим Советом Всероссийской математической олимпиады школьников. В скобках после каждой задачи указана фамилия ее автора.

Тексты задач воспроизводятся по печатным материалам, выданным участникам олимпиады.

В каждой параллели задачи с номерами 1, 2, 3 и 4 были предложены участникам 25 апреля 2005 года, задачи с номерам 5, 6, 7 и 8 - 26 апреля 2005 года. В каждый из дней на выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

9 класс

9.1. Дан параллелограмм ABCD (AB<BC). Докажите, что окружности, описанные около треугольников APQ, для всевозможных точек P и Q, выбранных на сторонах BC и CD соответственно так, что CP=CQ, имеют общую точку, отличную от A.
(Т. Емельянова)

9.2. Лёша поставил в клетки таблицы 22*22 натуральные числа от 1 до 22². Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?
(О. Подлипский)

9.3. Сумма чисел a₁, a₂, a₃, каждое из которых больше единицы, равна S, причём a_i²/(a_i-1)>S для любого i=1, 2, 3. Докажите, что (a₁+a₂)^-1+(a₂+a₃)^-1+(a₃+a₁)^-1>1
(С. Берлов)

9.4. На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?
(М. Гарбер)

9.5. Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для любых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение - рациональное число. Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
(О. Подлипский)

9.6. Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение x²-S(A)x+S(B)=0, где S(M) - сумма чисел множества M, имело целый корень.
(Н. Агаханов, И. Богданов)

9.7. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.
(А. Акопян)

9.8. За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находится в одной группе с не более чем одним своим соседом.
(С. Берлов)

10 класс

10.1. Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде (2^a-2^b)/(2^c-2^d), где a, b, c, d - натуральные числа.
(В. Сендеров)

10.2. В таблице 2*n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила (n+1)/4.
(Е. Куликов)

10.3. На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?
(И. Богданов)

10.4.Окружности w_B, w_C - вневписанные для треугольника ABC (т. е. w_B, w_C касаются соответственно сторон AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность w'_B симметрична w_B относительно середины стороны AC, окружность w'_C симметрична w_C относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей w'_B и w'_C, делит периметр треугольника ABC пополам.
(П. Кожевников)

10.5. В некоторые 16 клеток доски 8*8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?
(Е. Куликов)

10.6. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.
(А. Акопян)

10.7. Натуральные числи x и y таковы, что 2x²-1=y¹⁵. Докажите, что если x>1, то x делится на 5.
(В. Сендеров)

10.8. На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно покрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.
(А. Глебов, Д. Фон-Дер-Флаасс)

11 класс

11.1. Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение
|x-a₁|+...+|x-a₅₀|=|x-b₁|+...+|x-b₅₀|,
где a₁, a₂, ..., a₅₀, b₁, b₂, ..., b₅₀ - различные числа?
(И. Рубанов)

11.2. На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?
(И. Богданов)

11.3. Пусть A', B', C' - точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника ABC с его сторонами.
(Л. Емельянов)

11.4. Натуральные числа x, y, z (x>2, y>1) таковы, что x^y=z². Обозначим через p количество различных простых делителей числа x, через q - количество различных простых делителей числа y. Докажите, что p>q+2.
(В. Сендеров)

11.5. Существует ли ограниченная функция f: R->R такая, что f(1)>0 и f(x) удовлетворяет при всех x, y C R неравенству
f²(x+y)>f²(x)+2f²(xy)+f²(y) ?
(Н. Агаханов)

11.6.
(А. Акопян) Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P₁, P₂, ..., P₁₂, рёбра которых параллельны координатным осям Ox, Oy, Oz так, чтобы P₂ пересекался (т. е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P₁ и P₃, P₃ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P₂ и P₄, и т. д., P₁₂ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P₁₁ и P₁, P₁ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P₁₂ и P₂?

11.7. Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда OA*OC=OB*OD.
(А. Заславский, М. Исаев, Д. Цветов)

11.8. За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.
(С. Берлов)