Математическая регата 7 классов 10.03.2001

Задания | Результаты | Решения (doc-файл)

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. При каких значениях m уравнения mx-1000=1001 и 1001x=m-1000x имеют общий корень?

1.2. Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рис.). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все "угловые" кубики.

1.3. Назовем натуральное число "замечательным", если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи первого замечательного числа?


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Докажите, что (1/2)-(1/3)+(1/4)-(1/5)+...+(1/98)-(1/99)+(1/100)>1/5 .

2.2. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

2.3. В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?


Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

3.1. Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.

3.2. Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что
/ADB = /DBC;
/ABD = /BDC;
/BAD = /ABC.
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см2.

3.3. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он - рыцарь!", либо "Он - лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?


Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

4.1. Расположите в порядке возрастания числа: 2222; 2222; 2222; 2222; 2222; 2222; 2222. Ответ обоснуйте.

4.2. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника АВD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину АО, если ВО = 10 см.

4.3. Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?


Результаты

Команда
школы
IIIIIIIVСумма
баллов
Место
123123123123
1 Щербинка065006846013398
566776288093671
3607200280102911-13
300010001112 930-31
0200010082131725-27
17А 1205000002101129
17Б 2060000000131228
49А 0600160082012418-20
49Б 000000001013 532
109 2600113030132023-24
152А 3605500032132814
152Б 160001000010 930-31
218А 366677448018605
218Б 0000177020122023-24
218В 3000071171132418-20
Фрязино 3656200000032517
548 0200002644132221
697 0600000034131725-27
1101 665507813823546
1189А 056407028003359
1189Б 0660170200112418-20
1514А 361777387219613-4
1514Б 3000778000132911-13
1514В 3000770080132911-13
1515 3350161062133110
1534А 6600013080032715-16
1534Б 2605001220032122
1543А 3603061000532715-16
1543Б 661000088713407
Алеф 0606010110111725-27
МММФ-1 363777838108613-4
МММФ-2 366607808909622
Rambler's
Top100 Rambler's Top100