Математическая регата 7 классов 14.03.2003

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

7 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача √ 6 баллов).

1.1. Вася перемножил квадрат и куб некоторого натурального числа, отличного от единицы. Мог ли он получить шестую степень какого-то натурального числа? Обоснуйте.

1.2. Известно, что треугольники АВС и ADCпрямоугольные равнобедренные. Следует ли из этого, что Ð АВС = Ð АDС?

1.3. Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом?

Второй тур (15 минут; каждая задача √ 7 баллов).

2.1. Известно, что а = 32004 + 2. Верно ли, что а2 + 2 √ простое число? Обоснуйте.

2.2. В треугольнике ABC угол С в три раза больше угла A. На стороне AB взята такая точка D, что BD = BC. Найдите CD, если AD = 4.

2.3. Существуют ли четыре числа, попарные разности между которыми равны: 2, 2, 3, 4, 5, 6? Обоснуйте.

Третий тур (15 минут; каждая задача √ 7 баллов).

3.1. Докажите, что если xy + z = yz + x = zx + y, то (x √ y)(y √ z)(z √ x) = 0.

3.2. ABCDквадрат. Треугольники АМD и AKBравносторонние (см. рисунок). Верно ли, что точки С, М и K лежат на одной прямой?

3.3. В трехзначном числе зачеркнули цифру в разряде сотен, затем полученное двухзначное число умножили на 7 и вновь получили исходное трехзначное число. Какое это число?

 

Четвертый тур (20 минут; каждая задача √ 8 баллов).

4.1. Докажите, что число является квадратом натурального числа.

4.2. Треугольник, один из углов которого равен 40° , разрезали по его биссектрисам на шесть треугольников, среди которых есть прямоугольные. Какими могли быть остальные углы исходного треугольника?

4.3. Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем √ две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево ... . Каждый раз на дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2004 серебряные монеты. Сколько монет закопал Буратино?


Команда S   Команда S   Команда S
5А Долг 58 I 345А 18   5Б ЮЗАО 7
1189А 43 II 1189Б 17   13А Кор 6
40 II 179 16   218 6
345Б 36 II 1514А 16   896 6
1101А 32 II 1189В 16   1905 6
ИнтеллектА 29 III 1514Г 14   2007А 6
1543А 28 III 1738 14   799А 3
1514В 28 III МЦНМОБ 14   Малаховка 3
1189Г 27 III 1018 13   5А ЮЗАО 3
24 III 2007Б 13   230 3
5Б Долг 24 III КвантикБ 12   13Б Кор 3
1543Б 24 III 1926 10   17Б 2
2 А 24 III МЦНМОА 10   1543Г 2
2007В 22   ЛОГОС 10   Дворец 2
2 Б 22   9   1965 2
1514Б 22   1101Б 9   799Б 0
1543В 20   17А 8   1958 0
ИнтеллектБ 20   843 7      
19   КвантикА 7      
Rambler's
Top100 Rambler's Top100