Математическая регата 8 классов 13.11.2004

1.1. Найдите x + y, если x³ + y³ = 9, а x²y + xy² = 6.

1.2. В треугольнике АВС медиана ВЕ перпендикулярна биссектрисе AD. Найдите длину АВ, если АС = 12.

1.3. У Васи есть карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4 – по две с каждой цифрой. Он хочет сложить из них число так, чтобы между двумя единицами была одна цифра, между двойками – две цифры, между тройками – три, а между четверками – четыре. Укажите какое-нибудь число, которое может получить Вася.

2.1. Известно, что а + b + c = 7, а . Найдите сумму: .

2.2. Отрезки АВ и CD лежат на перпендикулярных прямых (см. рис.). Точки М, Р, N и Q – середины отрезков АС, BD, ВС и AD соответственно. Найдите QN, если MP = 4 см.

2.3. В шахматном турнире каждый участник встретился с каждым ровно один раз (победа – 1 очко, поражение – 0, ничья – пол-очка). Все шахматисты набрали одинаковое количество очков. Если удалить любого участника и аннулировать результаты встреч с ним, то количество очков у всех остальных участников по-прежнему будет одинаковым. Верно ли, что все партии этого турнира закончились вничью?

3.1. Дано уравнение c переменной x: (a² – 1)(b – 1)x = (a – 1)(b² – 1). При каких значениях а найдется значение b такое, что данное уравнение не имеет корней?

3.2. Дана равнобокая трапеция с основаниями 11 и 17. Покажите, как ее можно разрезать на четыре равные трапеции.

3.3. В вершинах куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой грани записана сумма чисел, расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться так, что на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел?

4.2. Угол ВАС треугольника АВС равен 120° . На биссектрисе этого угла взята точка D так, что АD = AB + AC. Найдите углы треугольника BDC.

4.3. В некоторых клетках таблицы 100´ 100 стоят крестики. Каждый крестик является единственным либо в строке, либо в столбце. Какое наибольшее количество крестиков может стоять в таблице?