2010/2011 год

10 класс

 

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. Известно. что разность кубов корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна 2011. Сколько корней имеет уравнение ax² + 2bx + 4c = 0?

 

1.2. Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырехугольника KBLM.

 

1.3. Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

 

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

 

2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: . Найдите f(–1).

 

2.2. Основания описанной трапеции равны 2 и 11. Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под острым углом.

 

2.3. В шахматном турнире участвовало 8 человек и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое место?

 

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)

 

3.1. Найдите наименьшее значение x² + y², если x² – y² + 6x + 4y + 5 = 0.

 

3.2. В кубе АВСDA’B’C’D’ с ребром 1 точки T, Р и Q – центры граней AA’B’B, A’B’C’D’ и BB’C’C соответственно. Найдите расстояние от точки Р до плоскости АTQ.

 

3.3. Целые числа a, b и c таковы, что (a – b)(b – c)(c – a) = a + b + c. Докажите, что число

a + b + c делится на 27.

 

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Докажите, что если x > 0, y > 0, z > 0 и , то  и укажите, в каком случае достигается равенство.

 

4.2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Биссектрисы углов В и С пересекаются в точке, лежащей на отрезке AD. Найдите AD, если АВ = 5, СD = 3.

 

4.3. Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

 

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

5.1. Докажите, что ни при каких натуральных значениях x и y число x⁸ – x⁷y + x⁶y² – ... – xy⁷ + y⁸ не является простым.

 

5.2. Дан угол с вершиной O и окружность, касающаяся его сторон в точках A и B. Луч с началом в точке A, параллельный OB, пересекает окружность в точке C. Отрезок OC пересекает окружность в точке E. Прямые AE и OB пересекаются в точке K. Докажите, что OK = KB.

 

5.3. Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?