1.1. Решите уравнение: (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013).

1.2. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.

1.3. Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?

2.1. Для некоторых чисел а, b, c и d, отличных от нуля, выполняется равенство: . Найдите знак числа ас.

2.2. Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 25, а высота равна 15.

2.3. Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990. (Напомним, что n! – произведение всех натуральных чисел от 1 до n.)

3.1. Известно, что x, y и z – целые числа и xy + yz + zx = 1. Докажите, что число (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) является квадратом натурального числа.

3.2. В прямоугольном треугольнике АВС угол А равен 60° , М – середина гипотенузы АВ. Найдите угол IMA, где I – центр окружности, вписанной в данный треугольник.

3.3. Сколько существует натуральных n, не превосходящих 2012, таких, что сумма 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ оканчивается на 0?

4.1. По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили “Ауди” и “БМВ”. Оказалось, что как в 17:00, так и в 18:00 “БМВ” находился в два раза дальше от перекрёстка, чем “Ауди”. В какое время “Ауди” мог проехать перекрёсток?

4.2. Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

4.3. Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?

Результаты