9 класс (8.10.2011)

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня?

 

1.2. Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?

 

1.3. В клетках квадратной таблицы 5´5 расставлены числа 1 и –1. Известно, что строк с положительной суммой больше, чем с отрицательной. Какое наибольшее количество столбцов этой таблицы может оказаться с отрицательной суммой?

 

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. Найдите все натуральные решения уравнения: 2n –  = 3 – .

 

2.2. Окружность проходит через вершины В и D параллелограмма АВСD и пересекает его стороны АВ, ВС, СD и DA в точках M, N, P и K соответственно. Докажите, что MK || NP.

 

2.3. Делится ли число 21¹⁰ – 1 на 2200?

 

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)

3.1. Какие значения может принимать выражение , если известно, что выполняется равенство: ?

 

3.2. Существует ли треугольник с вершинами в узлах сетки, у которого центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения высот и медиан также лежат в узлах сетки?

 

3.3. Известно, что выражения 4k + 5 и 9k + 4 при некоторых натуральных значениях k одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение 7k + 4 при тех же значениях k?

 

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)

4.1. Найдите значение выражения , если а = , b = .

4.2. На сторонах АС и ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно так, что , . Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке F. Найдите угол BFC.

 

4.3. Имеется 200 гирек массами 1, 2, …, 200 грамм. Их разложили на две чаши весов по 100 гирек на каждую, и весы оказались в равновесии. На каждой гирьке записали, сколько гирек на противоположной чаше легче нее. Докажите, что сумма чисел, записанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, записанных на гирьках правой чаши.

 

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

5.1. Известно, что . Найдите значение выражения .

 

5.2. На плоскости дан квадрат и точка Р. Могут ли расстояния от точки Р до вершин квадрата оказаться равными 1, 1, 2 и 3?

5.3. Несколько школьников ходило за грибами. Вася собрал больше всех и это составило  от общего количества грибов, а Петя собрал меньше всех и это составило  от общего количества. Сколько могло быть школьников?