Математическая регата 10 классов 2.03.2013

Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

10 класс

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1.1. Известно, что tga + tgb = p, ctga + ctgb = q. Найдите tg(a + b ).

1.2. Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы любых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?

1.3. Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится X лет в X2 году. А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдет в России?

 

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

2.1. Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что Р(1) = 2013, Р(2013) = 1, P(k) = k, где k – целое. Найдите k.

2.2. Центр О окружности, описанной около четырехугольника АВСD, лежит внутри него. Найдите площадь четырехугольника, если Р ВАО = Р DAC, AC = m, BD = n.

2.3. Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

 

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)

3.1. Найдите наибольшее значение выражения ab + bc + ac + abc, если a + b + c = 12 (a, b и с – неотрицательные числа).

3.2. В треугольнике АВС проведена биссектриса АА1. Докажите, что серединный перпендикуляр к АА1, перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А1, и прямая АО (О – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.

3.3. Куб с ребром n составлен из белых и черных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?

 

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)

4.1. Пусть x1, x2, ..., xn – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0; 1]. Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что

.

4.2. В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что

Р ADB = Р ADC = Р BDC. Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если BD = a.

4.3. Существуют ли 2013 таких натуральных чисел, что сумма любых двух из них делится на их разность?

 

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

5.1. Найдите наибольшее значение выражения х + у, если (2sinx – 1)(2cosy – ) = 0, xО [0; ], yО [p ; 2p ].

5.2. Точка А лежит на окружности верхнего основания прямого кругового цилиндра, В – наиболее удаленная от нее точка на окружности нижнего основания, С – произвольная точка нижнего основания. Найдите АВ, если АС = 12, BC = 5.

5.3. Известно, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b3 + 1 и b2 + 2 взаимно простыми?

Результаты

Команда I II III IV V Итог
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 5 А 6 6 6 7 7 6 8 8 8 9 0 0 7 7 7 92 I
2 1 8 А 6 6 6 1 7 7 8 8 4 9 9 0 7 7 7 92 I
СУНЦ А 0 6 6 7 7 7 8 8 6 7 3 0 7 5 7 84 II
СУНЦ Б 6 6 6 7 7 7 8 0 4 9 0 0 7 7 7 81 II
1 7 9 А 6 6 6 7 7 7 0 8 1 9 9 0 0 7 7 80 II
Кострома А 6 6 6 0 7 7 8 8 8 9 1 0 0 7 7 80 II
1 7 9 Б 6 6 6 7 7 7 8 8 1 9 0 0 7 7 79 II
1 5 4 3 А 6 6 6 7 7 6 1 8 0 0 7 0 7 5 7 73 III
2 0 0 7 А 6 6 6 1 5 5 8 8 0 3 1 0 7 7 7 70 III
2 0 0 7 В 6 6 6 5 7 1 8 8 4 0 0 0 7 5 7 70 III
1 7 9 В 6 6 6 1 7 6 8 8 1 0 2 0 0 5 7 63 III
2 1 8 Б 6 6 6 0 7 7 1 8 0 0 0 0 7 7 7 62 III
2 В 6 6 6 1 0 7 1 0 0 9 3 0 7 7 7 60 ПП
1 5 4 3 Б 6 6 4 7 0 0 8 8 0 0 0 0 7 7 7 60 ПП
Сборная 0 4 1 7 6 6 -1 1 0 9 9 7 7 0 56 ПП
СУНЦ В 6 6 6 1 5 7 8 0 8 4 1 0 3 0 0 55 ПП
Интеллектуал Б 0 6 6 1 0 7 0 0 0 9 0 0 7 5 7 48 ПП
СУНЦ Г 6 6 4 0 0 0 1 8 0 9 0 0 7 5 0 46 ПП
3 5 4 6 6 4 1 2 1 8 0 1 0 1 0 7 1 7 45 ПП
5 4 6 6 6 0 7 6 0 0 0 0 0 0 7 5 0 43 ПП
1 5 1 4 А 6 6 6 0 7 6 0 0 4 0 1 0 0 7 0 43 ПП
1 9 2 6 6 6 0 7 0 3 0 1 0 0 0 7 5 0 41
1 5 6 8 А 6 6 6 1 7 0 0 0 0 0 1 0 7 0 7 41
2 0 0 7 Б 7 7 7 1 0 8 0 0 0 3 1 7 41
5 А Долгопрудный 6 0 6 0 0 0 1 0 4 0 0 0 7 7 7 38
1 5 5 7 А 6 6 6 0 0 0 8 0 1 0 3 0 7 1 0 38
1 1 8 9 А 6 6 6 0 1 0 0 0 2 0 1 0 7 1 7 37
2 А 6 4 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 7 5 7 36
2 5 Б 6 5 6 1 4 1 1 0 0 0 4 0 7 1 0 36
1 5 6 8 Б 6 0 0 0 7 0 0 0 0 0 9 0 7 0 7 36
2 Б 6 6 6 0 5 1 1 0 0 0 1 0 7 1 0 34
1 5 3 7 Б 2 6 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 7 5 7 34
Интеллектуал А 6 1 6 1 1 0 0 0 0 0 1 0 5 5 7 33
1 5 8 1 В 0 6 4 0 0 7 6 0 1 0 1 0 0 7 0 32
5 Б Долгопрудный 6 6 4 1 1 1 1 0 0 0 4 0 7 0 0 31
2 0 0 7 Д 6 6 6 0 0 0 0 7 1 0 0 0 0 5 0 31
1 5 1 1 Б 0 6 0 1 0 7 0 0 0 0 0 0 7 7 0 28
1 5 3 7 А 6 6 6 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 28
2 0 0 7 Г 0 6 6 7 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 27
4 4 4 А 0 6 6 1 0 0 1 2 3 0 0 0 0 7 0 26
1 5 6 8 В 6 1 4 0 0 0 0 0 1 0 9 0 0 5 0 26
Кострома Б 0 6 4 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 7 7 26
4 4 4 В 6 6 6 1 1 0 0 0 1 0 1 0 3 0 0 25
1 5 8 1 А 6 6 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5 0 24
1 5 8 1 Б 6 6 3 0 1 0 1 -1 0 0 1 0 0 0 17
9 1 Б 6 0 4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 0 15
4 6 3 6 0 6 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 14
1 5 1 1 А 6 0 6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 14
9 1 A 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 9
2 0 0 9 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 7
3 1 5 А 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4
1 7 2 6 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3
3 1 5 Б 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2
3 1 5 В 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
1 1 8 9 Б 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2