10 класс.
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 15. Найдите наибольшее значение наибольшего из этих чисел.
1.2. Даны две пересекающиеся плоскости, в одной из которых лежит произвольный треугольник площади. Существует ли его параллельная проекция на вторую плоскость, имеющая ту же площадь?
1.3. Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – черной?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. Существует ли такой многочлен f(x) степени 6, что для любого x выполнено равенство f(sinx) + f(cosx) = 1?
2.2. В квадрате ABCD на стороне ВС взята точка М, а на стороне CD – точка N так, что ∠MAN = 45°. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника AMN, принадлежит диагонали АС.
2.3. В турнире по игре в «крестики-нолики», проведённом по системе «проиграл – выбыл», участвовали 18 школьников. Каждый день играли одну партию, участников которой выбирали жребием из ещё не выбывших школьников. Каждый из шестерых школьников утверждает, что сыграл ровно четыре партии. Не ошибается ли кто-то из них?
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. Число a – корень уравнения х11 + х7 + х3 = 1. При каких натуральных значениях n выполняется равенство a4 + a3 = an + 1?
3.2. В каком отношении делит площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, биссектриса ее острого угла?
3.3. Произведение четырех последовательных положительных нечетных чисел оканчивается на 9. Найдите две предпоследние цифры этого произведения.
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).
4.1. Решите систему уравнений: 
.
4.2. Вокруг равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) описана окружность. Касательная к ней в точке В пересекает луч АС в точке D, Е – середина стороны АВ, Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АВ. Найдите длину ЕН, если AD = a.
4.3. Какое наибольшее число фишек можно расставить в клетках шахматной доски так, чтобы на любой вертикали, на любой горизонтали и на любой диагонали (не только на главных) было чётное число фишек?
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
(a > 0, b > 0, c > 0).