Математическая регата 8 классов 18.01.2014

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл) | Решения (pdf-файл)

8 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Найдите сумму цифр в десятичной записи числа 412·521

1.2. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует углы по 45° со стороной BC и высотой, проведенной из вершины D к стороне АВ. Найдите угол АСD.

1.3. Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Для чисел а, b и с выполняется равенство . Следует ли из него, что ?

2.2. Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок). Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

2.3. Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма любых двух из них – степень тройки?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?

3.2. В квадрате АВСD со стороной 1 точка F – середина стороны ВС, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на DF. Найдите длину ВЕ.

3.3. Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы А и В могут сфотографировать друг друга, если на отрезке АВ нет других фотографов.)

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трем папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?

4.2. На равных сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что AC = CM и MN = NB. Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH – биссектриса угла MNC.

4.3. Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трехкопеечных монет могло быть у Толи?

Результаты регаты:

Команда

I тур

II тур

III тур

IV тур

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2 0 0 7 Г

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

9

9

90

I

2 Б

6

6

6

7

7

7

8

8

8

9

9

3

84

I

2 0 0 7 А

6

6

6

7

0

7

8

1

8

9

5

9

72

II

1 5 4 3 Г

6

6

6

7

7

7

6

0

8

0

9

9

71

II

1 5 1 4 А

6

6

6

7

7

7

8

8

8

0

0

5

68

II

2 1 8 А

6

6

6

7

0

7

4

0

8

9

0

9

62

III

Саров

6

6

6

0

0

7

8

8

8

9

0

1

59

III

МММФ_1415

6

6

2

0

7

7

5

0

8

0

9

9

59

III

5АДолгопрудный

6

6

6

0

7

7

8

0

8

0

0

9

57

III

2 В

6

6

6

7

7

7

8

0

0

0

0

9

56

III

2 Г

6

4

6

0

7

7

8

8

0

9

0

0

55

III

2 0 0 7 Б

6

6

6

0

7

7

8

0

8

0

0

7

55

III

2 1 8 Б

6

2

6

0

7

7

8

0

0

9

0

9

54

III

1 5 6 8 Б

6

6

6

3

7

7

5

8

0

0

0

5

53

III

2 А

6

6

0

0

7

7

8

8

0

0

0

9

51

2 0 0 7 В

6

6

6

0

0

7

8

1

8

0

0

9

51

ИнтеллектуалА

6

6

6

0

7

7

8

0

8

0

0

2

50

1 1 8 9 А

6

5

0

0

7

7

8

0

8

0

0

9

50

1 5 6 8 А

6

6

6

7

7

7

0

0

0

0

0

6

45

1 5 4 3 Б

6

2

6

7

0

7

8

0

0

0

0

9

45

1 5 4 3 В

0

1

6

0

7

7

5

1

0

7

8

2

44

1 5 6 8 В

6

2

6

0

7

0

8

0

8

0

0

7

44

1 5 1 4 Б

6

6

6

7

0

0

8

0

0

0

0

9

42

1 1 8 9 Б

6

4

6

0

0

0

8

0

8

0

0

9

41

1 1 8 9 В

6

0

6

7

4

7

8

1

0

0

0

0

39

2 Д

6

1

6

7

0

7

8

0

0

0

0

4

39

30АС-Петербург

6

1

0

7

7

7

8

1

0

0

0

0

37

1 5 4 3 А

6

6

6

0

0

7

8

1

0

0

0

3

37

1 5 3 4 Б

6

2

6

-1

7

7

5

1

0

0

0

3

36

1 7 4 1 А

0

6

6

3

0

0

8

8

0

0

0

4

35

Подольск

6

6

6

0

0

0

5

0

0

9

0

2

34

1 5 1 4 Г

0

6

6

0

0

7

8

0

0

0

0

4

31

1 5 4 7 А

0

6

6

0

0

0

5

1

0

9

0

4

31

30ГС-Петербург

6

2

0

0

5

7

8

0

0

0

0

2

30

1 5 3 7 В

6

6

6

0

0

0

8

0

0

0

4

30

3 5 4 Б

6

1

6

0

7

7

0

0

0

0

0

2

29

1 5 3 4 А

0

6

6

0

0

7

8

0

0

0

2

29

5БДолгопрудный

1

6

0

-1

7

7

5

1

0

0

0

3

29

30БС-Петербург

6

6

6

0

0

5

0

0

0

0

0

2

25

1 5 1 4 В

6

0

6

0

0

2

0

0

0

9

0

2

25

1 5 5 3

0

6

6

-1

-1

7

5

0

0

0

0

2

24

1 5 5 7 В

0

6

6

0

7

0

2

0

0

0

0

1

22

2 1 8 Г

0

0

6

0

0

7

8

0

0

0

0

0

21

ШР Люберцы

0

4

6

0

0

0

8

0

0

0

0

2

20

1 5 9 0 Б

0

2

6

0

0

0

8

0

0

0

0

4

20

1 5 9 0 А

0

1

6

7

0

0

3

0

0

0

0

2

19

2 0 3 1 Б

0

2

6

0

0

0

8

1

0

0

0

1

18

1 5 5 8 Б

6

0

6

3

0

0

0

1

0

0

0

2

18

1 7 9

0

1

6

0

0

0

8

-1

0

0

0

4

18

1 5 1 2 Б

0

6

0

7

0

0

0

0

0

0

0

3

16

1 5 3 7 Г

0

1

6

0

0

0

5

0

0

0

0

4

16

4 6 3 Б

0

1

6

0

0

7

0

0

0

0

0

1

15

1 5 4 7 Б

0

1

6

-1

0

0

5

0

0

0

0

4

15

1 5 1 2 А

0

0

6

7

0

0

0

0

0

0

0

1

14

1 5 3 7 А

1

2

0

0

0

0

0

1

8

0

0

2

14

1 5 5 7 Б

0

2

6

0

0

0

0

0

0

0

0

6

14

1 2 Люберцы

6

0

0

0

6

0

0

1

0

0

0

0

13

2 0 0 9 Б

0

0

6

0

0

0

5

0

0

0

0

2

13

30ВС-Петербург

0

6

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

1 4 2 3

1

2

6

0

0

0

0

1

0

0

0

1

11

1 5 4 7 В

0

1

0

-1

0

0

8

1

0

0

0

2

11

7 9 9 А

0

1

6

1

0

0

0

0

0

0

0

3

11

1 5 5 7 Г

0

2

6

0

0

0

0

0

0

0

0

2

10

1 5 5 8 А

0

2

6

0

0

0

0

0

0

0

0

2

10

1 5 3 7 Б

1

6

0

-1

0

0

2

0

0

0

0

2

10

5 4 6 А

0

1

6

0

0

0

0

0

0

0

0

2

9

7 7 1

0

0

6

0

0

0

0

0

0

0

0

2

8

2 1 8 В

0

0

6

0

0

0

0

0

0

0

0

2

8

5 2 9

0

6

0

0

0

0

0

0

0

0

2

8

1 5 9 0 В

0

1

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7

1 2 5 3

0

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

7

4 6 3 А

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

0

2

7

2 0 3 1 А

0

1

6

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

6

1 7 4 1 Б

0

1

0

0

0

5

0

0

0

0

0

6

1 5 5 7 А

1

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

5

5 4 6 Б

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

2 0 0 9 А

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

3 5 4 А

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

7 9 9 Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Rambler's
Top100 Rambler's Top100