Математическая регата 9 классов 4.10.2014

1.1. Решите уравнение: x(x + 1) = 2014*2015.

1.2. Из четырех палочек сложен контур параллелограмма. Обязательно ли из них можно сложить контур треугольника (одна из сторон треугольника складывается из двух палочек)?

1.3. Три пирата нашли клад, состоящий из 240 золотых слитков общей стоимостью 360 долларов. Стоимость каждого слитка известна и выражается целым числом долларов. Может ли оказаться так, что добычу нельзя разделить между пиратами поровну, не переплавляя слитки?

2.1. Марья Петровна идет по дороге со скоростью 4 км/ч. Увидев пенек, она садится на него и отдыхает одно и то же целое число минут. Михаил Потапович идет по той же дороге со скоростью 5 км/ч, зато сидит на каждом пеньке в два раза дольше, чем Марья Петровна. Вышли и пришли они одновременно. Длина дороги – 11 км. Сколько на ней могло быть пеньков?

2.2. Точка D — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC, угол ВАС равен 35°. Точка B₁ симметрична точке B относительно прямой СD. Найдите угол AB₁C.

2.3. Остаток от деления натурального числа Х на 26 равен неполному частному, остаток от деления Х на 29 также равен неполному частному. Найдите все такие Х.

3.1. Известно, что Какие значения может принимать выражение ?

3.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD: ∠DAВ = ∠AВC = 60° и ∠СAВ = ∠CBD. Докажите, что AD + CB = AB.

3.3. Петя нашел сумму всех нечетных делителей некоторого четного числа (включая 1), а Вася – сумму всех четных делителей этого же числа (включая само число). Может ли произведение двух найденных чисел быть точным квадратом?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Докажите, что для положительных значений а, b и c выполняется неравенство

4.2. В треугольнике АВС проведены высота ВН, медиана ВВ₁ и средняя линия А₁С₁ (А₁ лежит на стороне ВС, С₁ – на стороне АВ). Прямые А₁С₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М, а прямые С₁В₁ и А₁Н – в точке N. Докажите, что прямые MN и BH параллельны.

4.3. В строку выписаны 40 знаков: 20 крестиков и 20 ноликов. За один ход можно поменять местами любые два соседних знака. За какое наименьшее количество ходов можно гарантированно добиться того, чтобы какие-то 20 стоящих подряд знаков оказались крестиками?

Результаты регаты: