Математическая регата 8 классов 16.01.2016

1.1. В выражении x⁶ + x⁴ + x·A замените А на одночлен так, чтобы получился полный квадрат. Найдите как можно больше решений.

1.2. На свой день рождения Василиса купила треугольный пирог, который она разрезала по каждой биссектрисе и получилось 6 кусков. Опоздавшему Игорю достался кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего он заявил, что пирог имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли Игорь?

1.3. Найдите наименьшее натуральное n, для которого (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) делится на 1000.

2.1. На перемене несколько учащихся ушли из лицея и несколько пришли в него. В результате количество учеников в лицее после перемены уменьшилось на 10%, а доля мальчиков среди учеников лицея увеличилась с 50% до 55%. Увеличилось или уменьшилось количество мальчиков?

2.2. Высота АН остроугольного треугольника АВС равна его медиане ВМ. На продолжении стороны АВ за точку В отложена точка D так, что BD = AB. Найдите угол BCD.

2.3. Можно ли из кубиков размером 1×1×1 склеить многогранник, площадь поверхности которого равна 2015? (Кубики приклеиваются так, что склеиваемые грани полностью примыкают друг к другу.)

3.1. Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты. Могло ли у него в итоге получиться выражение x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1?

3.2. Внутри ромба АВСD выбрана точка N так, что треугольник ВСN – равносторонний. Биссектриса BL треугольника ABN пересекает диагональ АС в точке K. Докажите, что точки K, N и D лежат на одной прямой.

3.3. Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших, чем и больших, чем ?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Известно, что а > 1. Обязательно ли имеет место равенство: ? (Напомним, что [x] – это целая часть числа x, то есть это наибольшее целое число, не превосходящее x.)

4.2. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки E и F соответственно так, что AE = 2BF. На луче EF отмечена точка G так, что GF = EF. Докажите, что угол ACG – прямой.

4.3. Напомним, что игра в «морской бой» начинается с того, что на доске размером 10×10 клеток расставляют один «корабль» из четырех клеток, два – из трех клеток, три – из двух, и четыре одноклеточных (такие, как на рисунке). По правилам, «корабли» не должны касаться, даже углами. До какого наименьшего размера можно уменьшить поле для игры, оставив его квадратным и сохранив это правило?

Результаты регаты: