Математическая регата 11 классов 24.11.2018

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (pdf-файл)

11 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Решите уравнение:

1.2. Существует ли многоугольник, в котором каждая сторона равна одной из диагоналей, а каждая диагональ равна какой-то стороне?

1.3. На бесконечной шахматной доске стоят два ферзя, не бьющие друг друга. Сколько на доске клеток, которые находятся под боем обеих фигур?

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Вычислите: (1 + tg5°)(1 + tg10°)(1 + tg15°)(1 + tg20°)(1 + tg25°)(1 + tg30°)(1 + tg35°)(1 + tg40°)

2.2. Биссектриса угла A остроугольного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке D. Сумма расстояний от вершин B и C до прямой AD в два раза меньше AD. Найдите угол BAC.

2.3. Петя записал на доске пять трехзначных простых чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа с разностью, кратной 12?

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Известно, что x4y2 + x2 + 2x3y + 6x2y + 8 ≥ 0. Докажите, что

3.2. В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 6, высота равна 4. Найдите площадь ортогональной проекции этой пирамиды на плоскость боковой грани.

3.3. Найдите все целые решения уравнения

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Существуют ли такие функции f и g, определенные на R и отличные от постоянных, что g(x) – четная функция, а g(f(x)) – нечетная?

4.2. Отрезок EF разбивает четырехугольник ABCD на два равновеликих четырехугольника AEFD и BEFC, каждый из которых является вписанным. Найдите длину EF, если ВС = 1, AD = 7.

4.3. Оля и Коля играют в следующую игру: Оля называет два натуральных числа а и b, а Коля должен так подобрать натуральное число k, чтобы числа ka и kb имели одинаковую сумму цифр. Всегда ли Коля сможет это сделать?

Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

5.1. Найдите все такие тройки чисел, для которых среднее арифметическое самих чисел на 0,25 больше среднего арифметического их квадратов.

5.2. В остроугольном треугольнике ABC прямые, симметричные AB относительно AC и ВС, пересекаются в точке D. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой СD.

5.3. В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. Более сильный всегда побеждает более слабого. Борцы разбились на пары и провели поединки. Затем разбились на пары по-другому и снова провели поединки. Призы получили те, кто выиграл оба поединка. Каково наименьшее возможное количество призёров?

Результаты регаты:

Команда 1 тур 2 тур 3 тур 4 тур 5 тур Сумма Диплом
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 Б 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 7 7 7 111 ГП
2 В 6 6 6 7 0 7 7 2 8 9 9 0 7 7 7 88 I
2 0 0 7 Г 6 6 6 0 5 7 7 0 8 9 9 0 7 7 7 84 I
4 4 4 6 6 6 7 2 7 7 0 8 9 5 0 7 7 7 84 I
Г М К А 6 6 0 0 7 7 8 8 0 9 1 9 7 7 7 82 I
2 0 0 7 А 6 0 2 7 0 7 8 2 8 9 9 0 7 7 7 79 I
2 А 6 6 2 7 7 7 0 8 6 0 2 3 7 7 7 75 II
1 5 1 4 Б 6 6 2 7 7 5 0 8 2 9 2 0 7 7 7 75 II
1 7 9 Б 6 6 6 7 1 7 0 2 0 9 9 0 7 7 7 74 II
1 5 3 4 А 6 6 6 0 0 7 0 8 8 9 2 0 7 7 7 73 II
Л Н И П 3 6 6 0 0 0 8 1 8 9 9 0 7 7 7 71 II
1 5 1 4 А 3 6 4 7 0 7 8 8 2 9 0 0 7 2 7 70 II
Ф Т Ш СПб 6 6 2 7 0 7 8 2 6 9 3 0 7 0 7 70 II
5 В Долгопрудный 3 6 6 0 0 7 7 0 7 9 2 2 7 0 7 63 III
5 Б Долгопрудный 6 6 2 7 0 7 0 0 7 9 0 0 7 2 7 60 III
2 0 0 7 Б 6 6 2 7 0 3 8 0 2 9 0 0 7 2 7 59
2 0 0 7 Д 6 6 2 0 0 7 8 7 0 0 2 0 7 7 7 59
5 А Долгопрудный 0 0 2 3 0 7 8 5 8 0 9 0 7 2 7 58
3 1 5 Б 6 0 2 7 1 7 7 0 2 9 9 0 0 0 7 57
2 0 0 7 В 6 0 2 0 0 7 8 1 8 0 2 0 7 7 7 55
2007 Е 0 0 0 7 0 7 8 8 0 9 2 0 7 0 7 55
1 5 5 7 Б 6 6 2 7 0 7 0 0 2 9 2 0 0 0 7 48
1 5 6 8 6 0 0 0 0 7 7 2 6 0 2 0 7 2 7 46
1 5 1 1 Б 6 6 0 7 0 0 0 8 2 0 2 0 7 0 7 45
1 7 9 А 3 0 0 7 0 7 7 0 0 9 2 0 1 0 7 43
5 5 4 6 6 2 3 0 7 0 0 6 0 0 -2 7 0 7 42
1 5 5 7 А 6 0 2 7 0 7 7 0 -1 0 2 0 1 0 5 36
2 1 0 1 А 6 0 2 7 0 7 0 0 0 0 1 0 1 2 7 33
Г М К Б 6 0 0 0 0 7 7 0 0 0 2 0 0 3 7 32
5 4 8 6 0 2 0 0 7 0 0 8 0 0 0 1 0 7 31
1 5 1 1 А 6 1 0 0 0 4 0 0 0 0 2 0 7 0 7 27
2 1 0 1 Б 1 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 7 24
1 5 3 4 В 0 0 2 0 0 0 0 0 7 0 2 2 1 0 7 21
Н Г Ш 6 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 17
3 1 5 А 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 1 0 7 11
1 5 3 4 Б 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Rambler's
Top100 Rambler's Top100