7 класс.
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Когда бочка пуста на 30%, она содержит на 30 литров больше меда, чем когда она заполнена на 30%. Сколько литров меда в полной бочке?
1.2. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 4 часа 12 минут?
1.3. В пачке 20 карточек: синие, красные и желтые. Синих в шесть раз меньше, чем желтых, и красных меньше, чем желтых. Какое наименьшее количество карточек надо вытащить не глядя, чтобы среди них обязательно оказалась красная?
Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?
2.2. Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.
2.3. В шестиугольниках записаны цифры и знаки арифметических действий так, как показано на рисунке. Требуется, начав с одного из шестиугольников и переходя в соседний, обойти все по одному разу. При этом надо записывать в строку то, что в них написано, и в итоге получить верное равенство. Какое?
Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
3.1. Велосипедист проехал из пункта А в пункт В, где пробыл 30 минут, и вернулся в А. По пути в В он обогнал пешехода, а через 2 часа встретился с ним на обратном пути. Пешеход прибыл в В одновременно с тем, когда велосипедист вернулся в А. Сколько времени потребовалось пешеходу на путь из А в В, если его скорость в четыре раза меньше скорости велосипедиста?
3.2. Два квадрата на рисунке имеют общую сторону АВ. На диагонали одного из них отметили точку K, расстояние от которой до вершины С другого квадрата равно его диагонали. Найдите угол АСK.
3.3. Известно, что каждое из трех двузначных чисел получается из суммы двух других чисел перестановкой цифр. Чему равна сумма всех трех чисел?
Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
4.1. Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по семь из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по восемь из этих чисел. Могло ли так случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)
4.2. На катете АС прямоугольного треугольника АВС отмечена точка M так, что AM = ВC, а на катете ВС – точка N так, что BN = MC. Найдите угол между прямыми AN и BM.
4.3. Может ли являться квадратом число, десятичная запись которого состоит из нескольких (более одной) одинаковых цифр?
