I Всероссийская олимпиада по геометрии имени Игоря Федоровича Шарыгина.

Условия задач финального тура

24 сентября 2005 г.

9 класс

1. (А.А.Заславский.) Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Доказать, что, если угол BAO равен углу DAC, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.

2. (Л.А.Емельянов.) Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

3. (И.Ф.Шарыгин.)Дана окружность и точки A, B на ней. Изобразить множество середин отрезков, один из концов которых лежит на одной из дуг AB, а другой на второй.

4. (А.Г.Мякишев.) Пусть P — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, M — точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O — точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H — точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M — середина OH.

5. (Б.Р.Френкин.) Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник. Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135^o.

10 класс

1. (Л.А.Емельянов.) Дан выпуклый четырехугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырехугольника. Доказать, что из четырех построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырехугольника.

2. (А.В.Шаповалов.) Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника. Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.

3. (А.А.Заславский.) В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P. Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

4. (Вим Пайлс, Нидерланды) На плоскости даны два отрезка A₁B₁ и A₂B₂, причем A₂B₂/A₁B₁=k<1. На отрезке A₁A₂ взята точка A₃, а на продолжении этого отрезка за точку А₂ — точка А₄, так что А₃А₂/А₃А₁=А₄А₂/А₄А₁=k. Аналогично, на отрезке В₁В₂ берется точка В₃, а на продолжении этого отрезка за точку В₂ — точка В₄, так что В₃В₂/В₃В₁=В₄В₂/В₄В₁=k. Найти угол между прямыми А₃В₃ и А₄В₄.

5. (А.А.Заславский.) Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми также равно 1. Из точки C одной окружности проведены касательные CA, CB к другой. Прямая CB вторично пересекает первую окружность в точке A'. Найти расстояние AA'.

6. (А.А.Заславский.) Пусть H — ортоцентр треугольника ABC, X — произвольная точка. Окружность с диаметром XH вторично пересекает прямые AH, BH, CH в точках A₁, B₁, C₁, а прямые AX, BX, CX в точках A₂, B₂, C₂. Доказать, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

11 класс

1. (А.А.Заславский.) Точки A₁, B₁, C₁ — середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A₁, B₁, C₁, пересекают, соответственно, прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ в точках A₂, B₂, C₂. Доказать, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной около треугольника ABC окружности.

2. (А.Г.Мякишев.) Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причем B лежит на отрезке OC и A на отрезке OD. I — центр вписанной окружности треугольника OAB, J — центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырехугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырехугольника ABCD пополам, причем из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD XY имеет наименьшую длину.

3. (А.А.Заславский.) Внутри вписанного четырехугольника ABCD существует точка K, расстояния от которой до сторон ABCD пропорциональны этим сторонам. Доказать, что K — точка пересечения диагоналей ABCD.

4. (И.Ф.Шарыгин.) В треугольнике ABC угол A равен альфа, BC=a. Вписанная окружность касается прямых AB и AC в точках M и P. Найти длину хорды, высекаемой на прямой MP окружностью с диаметром BC.

5. (В.Ю.Протасов.) На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдется точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

6. (И.И.Богданов.) Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.