XXX Всероссийская олимпиада школьников по математике
(V этап)

Чебоксары, 19-25 апреля 2004 г.

Задачи

Задания подготовлены Методическим Советом Всероссийской математической олимпиады школьников на основании п.п. 3.4 и 4.2. Положения о Всероссийской математической олимпиаде школьников, утверждённого приказом Минобразования России от 30.10.2003 N 4072. В скобках после каждой задачи указана фамилия ее автора.

Тексты задач воспроизводятся по печатным материалам, выданным участникам олимпиады (см. также тексты задач в формате pdf - 83 Кб).

В каждой параллели задачи с номерами 1, 2, 3 и 4 были предложены участникам 20 апреля 2004 года, задачи с номерам 5, 6, 7 и 8 - 21 апреля 2004 года. В каждый из дней на выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

9 класс

9.1. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
(С. Берлов)

9.2. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K, внешних углов B и C - в точке L, внешних углов C и D - в точке M, внешних углов D и A - в точке N. Пусть K₁, L₁, M₁, N₁ - точки пересечения высот треугольников ABK, BCL, CDM, DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ - параллелограмм.
(Л. Емельянов)

9.3. На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков - белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в которых лежат белые шарики?
(Жюри)

9.4. Даны натуральное число n>3 и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1. Докажите неравенство
(1+x₁+x₁x₂)^-1+(1+x₂+x₂x₃)^-1+...+(1+x_n+x_nx₁)^-1>1
(С. Берлов)

9.5. Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что m+n=p+q и m^1/2+n^1/3=p^1/2+q^1/3>2004 ?
(И. Богданов)

9.6. В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырех цветов. Известно, что провода всех четырех цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?
(О. Подлипский)

9.7. Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?
(С. Берлов)

9.8. Пусть O - центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T - центр описанной окружности треугольника AOC, M - середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что /BDM=/BEM=/ABC. Докажите, что ВЕ | DE.
(А. Смирнов)

10 класс

10.1. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
(С. Берлов)

10.2. На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков - белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какую-нибудь коробочку, в которой лежит белый шарик?
(Жюри)

10.3. Четырехугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причем вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C - в точке L', внешних углов C и D - в точке M', внешних углов D и A - в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM', NN' проходят через одну точку.
(С. Берлов, Л. Емельянов, А. Смирнов)

10.4. Даны натуральное число n>3 и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1. Докажите неравенство
(1+x₁+x₁x₂)^-1+(1+x₂+x₂x₃)^-1+...+(1+x_n+x_nx₁)^-1>1
(С. Берлов)

10.5. Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁, a₂, a₃, ... удовлетворяет соотношению a_m+a_n=a_mn при любых натуральных m, n. Докажите, что не все ее члены различны.
(А. Протопопов)

10.6. В стране 1001 город, любые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из любого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.
(Д. Карпов, А. Смирнов)

10.7. Треугольник T содержится внутри центрально-симметричного многоугольника M. Треугольник T' получается при отражении треугольника T относительно некоторой точки P, лежащей внутри треугольника T. Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит внутри или на границе многоугольника M.
(В. Дольников)

10.8. Существует ли такое натуральное число n>10¹⁰⁰⁰, не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?
(Е. Чернышов, И. Богданов)

11 класс

11.1. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
(С. Берлов)

11.2. Пусть I_A и I_B - центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P - точка на окружности W, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников I_BCP и I_BCP, совпадает с центром окружности W.
(А. Акопян, Л. Емельянов)

11.3. Даны многочлены P(x), Q(x). Известно, что для некоторого многочлена R(x,y) выполняется равенство P(x)-P(y)=R(x,y)(Q(x)-Q(y)). Докажите, что существует многочлен S(x) такой, что P(x)=S(Q(x)).
(А. Быстриков)

11.4. В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В ее клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое - по 9 раз. При этом в любом столбце числа различаются не более, чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.
(И. Богданов, Г. Челноков)

11.5. Пусть M={x₁,...,x₃₀} - множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; A_n (1<n<30) - сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M. Докажите, что если A₁₅>A₁₀, то A₁>1.
(В. Сендеров)

11.6. Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N (N>3) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающих следующими двумя свойствами:
  1) для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю.
  2) для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.
(О. Подлипский)

11.7. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что любые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на k+2 группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией.
(В. Дольников)

11.8. В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение, являющееся шестиугольником. Известно, что этот шестиугольник можно поместить в некоторый прямоугольник П. Докажите, что в прямоугольник П можно поместить одну из граней параллелепипеда.
(С. Волчёнков).