Информация об очередном турнире 21.11.1999.
| Команда | Капитан | Счёт | Команда | Капитан | Вариант | Жюри | |
| 1. | Школа 2, 10-11 классы | Егор Чистяков | 69:30 | Школа 7, 10-11 классы | ? | А 10-11 | Е. Черепанов, А. Андреев, А. Ерошин, А. Онищенко |
| 2. | Школа 2, 10 класс | Арсений Акопян | 91:3 | Школа 1514, 10-11 классы | ? | Г. Челноков, А. Плахов, Б. Трушин | |
| 3. | Сборная школ 1525 и 1514 10-11 классы | Шабанов | 48:16 | Школа 218, 10-11 класс | Дмитрий Петров | Б 10-11 | А. Заславский, Б. Френкин, Ю. Кузнецова |
| 4. | Школа 5 г. Долгопрудный, команда А, 8 класс | Андрей Егоров | 8:7 (ничья) | Школа 1543, команда А, 8 класс | Дмитрий Аллергант | А 8-9 | И. Богданов, Н. Добринская, А. Перевозчиков |
| 5. | Школа 218, 9 класс | Дмитрий Филимонов | 48:41 | Школа 1525, 9 класс | Петр Дмитриев | Б 8-9 | А. Хачатурян, С. Галкин, Ал. Артемьев |
| 6. | Школа 2, команда Б, 9 класс | Николай Дудченко | 71:47 | Школа 1543, 7-8 классы, команда Б | Наталья Колодкина | А. Коровина, С. Злобин, В. Гаас | |
| 7. | Школа 2, команда А, 9 класс | Максим Гонгальский | 41:36 | Школа 57, 9 класс | Юрий Притыкин | В 8-9 | О. Подлипский, Н. Андреев, Л. Бирюков |
1. Можно ли так расставить все натуральные числа в кубах бесконечной пространственной решетки, чтобы сумма любых 10 чисел, идущих подряд вдоль каждой оси координат, делилась на 1001?
2. В треугольнике ABC A', B', C' - точки касания сторон с вписанной окружностью, M - середина A'B'. Докажите, что угол AMB - тупой.
3. a1<a2<...< an. Известно, что |bi-ai|<e, c1< c2<...< cn - перестановка чисел bi в порядке возрастания. Докажите, что |ci-ai|<e.
4. Шесть кругов имеют непустое пересечение. Докажите, что среди них найдется круг, внутри которого лежит центр одного из оставшихся кругов.
5. A и B играют в следующую игру. Вначале A рисует на плоскости систему точек и некоторые из них соединяет непересекающимися отрезками так, что отрезки не образуют замкнутых ломаных. Затем каждым своим ходом игрок может покрасить любую неокрашенную еще точку в один из четырех данных цветов так, чтобы никакие две "соседние" точки не были окрашены в один цвет. Первым ходит B, и он выигрывает, если в конце игры все точки окажутся окрашенными. Иначе выигрывает A. Кто выигрывает при правильной игре?
6. Число 1/1999 представлено в виде десятичной дроби. Докажите, что в (наименьшем) периоде не более 200 семерок.
7. Многочлен четной степени P(x) с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 принимает бесконечно много целых значений, являющихся точными квадратами. Докажите, что он сам является квадратом некоторого многочлена.
8. Дан тетраэдр A1A2A3A4. Mi - центр тяжести грани, лежащей напротив Ai, Hi - ее ортоцентр. Докажите, что прямые, проходящие через Hi и перпендикулярные соответствующим плоскостям граней тетраэдра, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда этим свойством обладают перпендикуляры, проходящие через Mi.
9. Из квадрата 8*8 вырезали угловую клетку. Можно ли его разрезать на 17 равновеликих треугольников?
10. Найдите все функции, удовлетворяющие условию
f(xy)=(f(x)+f(y))/(x+y)
при x+y не равно 0.1. Существует ли непрерывная функция, график которой пересекается с каждой прямой по одной или двум точкам?
2. В сегмент, ограниченный дугой и хордой AB, вписана окружность, касающаяся дуги в т. C, а хорды - в т. D. Докажите, что CD - биссектриса /ACB.
3. В круговом турнире участвовали N игроков. Имеется ровно одна пара игроков, сделавших одинаковое количество ничьих. Чему оно может равняться?
4. a1< a2<...< an. Известно, что |bi-ai|<e, c1< c2<...< cn - перестановка чисел bi в порядке возрастания. Докажите, что |ci-ai|<e.
5. Шесть кругов имеют непустое пересечение. Докажите, что среди них найдется круг, внутри которого лежит центр одного из оставшихся кругов.
6. Можно ли так расставить все натуральные числа в клетках бесконечной клетчатой ленты, чтобы сумма любых 10 чисел, идущих подряд, делилась на 11?
7. Можно ли число 1999/2000 представить в виде суммы нескольких попарно различных дробей, обратных к натуральным числам?
8. При каких n можно раскрасить шахматную доску n*n в черный и белый цвета так, чтобы у каждой черной клетки было ровно два белых соседа и у каждой белой ровно два черных?
9. Докажите, что для любого тетраэдра можно построить треугольник, сторонами которого служат некоторые три ребра, выходящие из его вершины.
10. Решить уравнение в целых числах: (xy+1)/(x+y)=3/2.
1. Число 1/1999 представлено в виде десятичной дроби. Докажите, что в (наименьшем) периоде не более 200 семерок.
2. В каждой из трех школ - n учеников. Каждый дружит в сумме с n+1 учеником из двух других школ. Докажите, что можно так выбрать по одному ученику из каждой школы, что все трое дружат между собой.
3. Из палочек можно составить 13 семиугольников. Можно ли из них составить 7 тринадцатиугольников?
4. Даны 4 прямых. Построить квадрат с вершинами на этих прямых.
5. При каких n можно обойти конем шахматную доску (2n+1)*(2n+1) без центральной клетки, побывав на каждом поле один раз, и вернуться обратно на исходное поле?
6. Учитель записал в ряд 20 чисел. Каждое из записанных чисел равно +1. Ученик может назвать любые 19 мест ряда, и учитель сообщает ему произведение чисел, стоящих на этих местах. Какое наименьшее число вопросов необходимо задать ученику, чтобы найти произведение всех чисел ряда?
7. На выборах баллотировались два кандидата: Елкин и Палкин. Каждый избиратель был либо правдистом, либо лжецом. (Правдисты всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.) После выборов всем избирателям было задано два вопроса: "За кого вы голосовали?" и "Кто победил?". Большинство заявило, что проголосовало за Елкина. На второй вопрос большинство ответило "Палкин". Можно ли утверждать, что лжецы составляют большинство?
8. Выпуклый четырехугольник можно разрезать на два равных многоугольника. Обязательно ли у этого четырехугольника есть центр или ось симметрии?
9. Решить систему уравнений:
x1+x2+x3=1,
x2+x3+x4=1,
...
xn+x1+x2=1.
10. Из квадрата 8*8 вырезали угловую клетку. Можно ли его разрезать на 17 равновеликих треугольников?
1. Можно ли число 1999/2000 представить в виде суммы нескольких попарно различных дробей, обратных к натуральным числам?
2. Магараджей называется фигура, которая ходит и как ферзь, и как конь одновременно. Какое наибольшее число магарадж можно расставить на доске 11*11 так, чтобы они не били друг друга?
3. Назовем диагональ пятиугольника хорошей, если она делит его площадь пополам. Какое наибольшее число хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?
4. В квадрате ABCD взяли точку O. Докажите, что центры треугольников AOB, BOC, COD, DOA образуют квадрат.
5. Даны целые числа a1,...,a1999. Их переставили между собой и получили числа b1,...,b1999. Докажите, что произведение
(a1-b1) * ... * (a1999-b1999)
четно.6. Из палочек можно составить 7 тринадцатиугольников. Можно ли из них составить 13 семиугольников?
7. Дана решетка из 19*99 клеток. Какое наибольшее число прутьев можно перепилить, чтобы решетка не распалась?
8. В северной Флоренции прошли выборы президента, в которых участвовали все жители. Кандидат, ставший президентом, получил на выборах более половины голосов, причем за него проголосовало 99% неграмотного населения и 1% грамотного. Докажите, что если бы 35% грамотного населения не пришли на выборы, то этот кандидат набрал бы более 60% голосов.
9. В круговом турнире участвовали 1999 игроков. Каждый сделал хотя бы одну ничью. Имеется ровно одна пара игроков, сделавших одинаковое количество ничьих. Чему оно может равняться?
10. Может ли число, записываемое одними единицами, быть квадратом целого числа?
1. Можно ли так расставить все натуральные числа в кубах бесконечной пространственной решетки, чтобы сумма любых 10 чисел, идущих подряд вдоль каждой оси координат, делилась на 1001?
2. В треугольнике ABC A', B', C' - точки касания сторон с вписанной окружностью, M - середина A'B'. Докажите, что угол AMB - тупой.
3. a1< a2<...< an. Известно, что |bi-ai|<e, c1< c2<...< cn - перестановка чисел bi в порядке возрастания. Докажите, что |ci-ai|<e.
4. Шесть кругов имеют непустое пересечение. Докажите, что среди них найдется круг, внутри которого лежит центр одного из оставшихся кругов.
5. A и B играют в следующую игру. Вначале A рисует на плоскости систему точек и некоторые из них соединяет непересекающимися отрезками так, что отрезки не образуют замкнутых ломаных. Затем каждым своим ходом игрок может покрасить любую неокрашенную еще точку в один из четырех данных цветов так, чтобы никакие две "соседние" точки не были окрашены в один цвет. Первым ходит B, и он выигрывает, если в конце игры все точки окажутся окрашенными. Иначе выигрывает A. Кто выигрывает при правильной игре?
6. Число 1/1999 представлено в виде десятичной дроби. Докажите, что в (наименьшем) периоде не более 200 семерок.
7. При каких n можно обойти конем шахматную доску (2n+1)*(2n+1) без центральной клетки, побывав на каждом поле один раз, и вернуться обратно на исходное поле?
8. Даны 4 прямых. Построить квадрат с вершинами на этих прямых.
9. Из квадрата 8*8 вырезали угловую клетку. Можно ли его разрезать на 17 равновеликих треугольников?
10. Найдите все функции, удовлетворяющие условию
f(xy)=(f(x)+f(y))/(x+y)
при x+y не равно 0.