Приглашение

Матпраздник

Задачи

Решения

Победители

Оргкомитет




i


Решения задач
4-го Математического Праздника
в Математической вертикали
19 февраля 2023 года

6 класс1  2  3  4  5  6

7 класс1  2  3  4  5  6

См. также решения классического Математического праздника.

Все решения доступны в виде брошюры.

6 класс в Математической вертикали

Задача 1

Аня называет дату красивой, если все 6 цифр её записи различны. Например, 19.04.23 красивая дата, а 19.02.23 и 01.06.23 нет.

а) [2 балла] Сколько красивых дат будет в апреле 2023 года?

б) [2 балла] Сколько всего красивых дат в 2023 году?

Ответ. а) 5; б) 30.

Решение.

а) Заметим, что в апреле дата записывается **.04.23. Поэтому в качестве первых двух цифр можно использовать только 1, 5, 6, 7, 8, 9. Первой из этих цифр может быть только 1, поэтому всего получается пять дат: 15, 16, 17, 18, 19 апреля.

б) См. решение задачи 1 для 7 класса.

Задача 2

Кот за полминуты съел половинку самой маленькой рыбки, а всего он съел 5 рыбок и потратил на это целое число минут (кот ест рыбу с постоянной в «клеточках» скоростью). На рисунке изображены все рыбки, которые были у кота. Какую рыбку кот не стал есть?

Ответ. Самую правую.

Решение. Раз за полминуты кот съел полрыбки, то за минуту он съест эту рыбку целиком. В маленькой рыбке 3 клетки, значит, за каждую минуту кот съедает по 3 клетки. За целое число минут будет съедено кратное трём число клеток. Суммарно во всех рыбках 3+4+16+12+13+20 = 68 клеток. Это число при делении на 3 даёт остаток 2. Значит, после целого числа минут останется рыбка, количество клеток в которой при делении на 3 даёт остаток 2. Такая рыбка всего одна — это рыбка с туловищем 4×5 клеток. Она и не будет съедена.

Задача 3

Вася в течение 15 дней решал задачи — каждый день хотя бы одну. Каждый день (кроме первого), если погода была пасмурная, то он решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а если солнечная — на одну задачу меньше. За первые 9 дней Вася решил 13 задач.

а) [4 балла] Какая погода была на 10-й день? Сколько задач он решил в этот день?

б) [2 балла] Какое наибольшее число задач мог решить Вася в 15-й день?

Ответ. а) 10-й день был пасмурным, Вася решил 2 задачи; б) 7 задач.

Решение. а) См. решение задачи 2 для 6 класса.

б) Так как в 10-й день Вася решил 2 задачи (см. п. а), а в каждый следующий день можно решить максимум на 1 задачу больше, то через 5 дней можно решить максимум 2+5=7 задач. Так получится, если с 11-го по 15-й день была пасмурная погода.

Задача 4

См. задачу 3 для 6 класса.

Задача 5

а) [2 балла] От маленького «печенья» откусили кусочек. Разрежьте остаток, изображенный на рисунке, на 3 равные части (т. е. одинаковые по размеру и по форме). Разрезы не обязательно прямолинейные.

б) [5 баллов] См. задачу 4 для 6 класса.

Решение.

а)

Задача 6

У царя есть 5 мешков с золотыми монетами, в каждом по 100 монет. Царь помнит, что в одном мешке все монеты весят 10 г, во втором 11 г, в третьем 12 г, в четвёртом 13 г, в пятом 14 г, но не помнит, где какие. Царь сообщил это придворному мудрецу и указал на один из мешков. Мудрец может вынимать из этого и из других мешков любое количество монет, но на вид они все одинаковы. Однако у мудреца есть большие двухчашечные весы без гирь (они точно покажут, равны ли веса на чашках, а если нет, то какая чашка тяжелее).

а) [4 балла] Может ли мудрец за одно взвешивание проверить, верно ли, что в указанном мешке хранятся монеты по 10 г?

б) [6 баллов] Может ли мудрец определить, какие монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний?

Ответ. а, б) Да, может.

Решение.

а) Возьмём по одной монете из каждого из мешков, кроме указанного, поместим их на левую чашку, а на правую положим 5 монет из указанного мешка. Если в указанном мешке действительно лежат монеты по 10 г, то весы покажут равновесие:

11+12+13+14 = 10+10+10+10+10.
Если же в указанном мешке монеты тяжелее 10 г, то правая чашка окажется тяжелее 50 г. На левой же чашке суммарный вес четырёх монет будет меньше 50 г, равенства не будет (весы покажут, что правая чашка тяжелее).

б) Аналогично пункту а) за одно взвешивание можно проверить, не лежат ли в указанном мешке монеты по 12 г. Для этого достаточно взять по одной монете из всех мешков, кроме указанного, и сравнить полученный вес с весом четырёх монет из указанного мешка. Тогда возможны случаи:

10+11+12+13 < 14+14+14+14 — правая чашка перевесила;
10+11+12+14 < 13+13+13+13 — правая чашка перевесила;
10+11+13+14 = 12+12+12+12 — веса равны;
10+12+13+14 > 11+11+11+11 — левая чашка перевесила;
11+12+13+14 > 10+10+10+10 — левая чашка перевесила.

Если весы показали равенство, то мы уже поняли, какие монеты в указанном мешке.

Если левая чашка перевесила (т. е. в нашем мешке монеты по 10 г или по 11 г), то вторым взвешиванием можно проверить, лежат ли в указанном мешке монеты по 10 г (см. п. а).

Если же перевесила правая чашка, то в нашем мешке монеты либо по 13 г, либо по 14 г.

Тогда на левую чашку можно положить по 2 монеты из каждого мешка, кроме указанного, а на правую чашку 7 монет из указанного мешка. При этом 2⋅(10+11+12+13)=92 г легче, чем 14⋅7=98 г, а 2⋅(10+11+12+14)=94 г тяжелее, чем 7⋅13=91 г, поэтому если левая чашка окажется легче, то в нашем мешке монеты по 14 г, а если тяжелее — монеты по 13 г.

Комментарий. Возможен другой способ решения, аналогичный решению задачи 6 для 7 класса.

7 класс в Математической вертикали

Задача 1

Дети посетили дельфинарий. Катя запомнила, что там было ровно 7 то ли выдр, то ли тюленей; Юра — что там было ровно 6 то ли морских котиков, то ли тюленей; Игорь — что там было ровно 5 то ли выдр, то ли морских котиков; Серёжа — что меньше всего там было то ли тюленей, то ли выдр. Никто из них не ошибся. Сколько выдр, тюленей и морских котиков было в дельфинарии?

Ответ. 5 выдр, 7 тюленей, 6 морских котиков.

Решение. Раз никто из детей не ошибся, то из выдр, морских котиков и тюленей кого-то было ровно 5, кого-то — ровно 6, а кого-то — ровно 7. Серёжа запомнил, что меньше всего (значит, 5) было тюленей или выдр, а Игорь — что 5 было выдр или морских котиков. Значит, 5 было именно выдр. Тогда 7 было не выдр, а тюленей. Следовательно, 6 — морских котиков.

Задача 2

Найдите какое-нибудь решение ребуса

Ф / Е + ВР / АЛЬ = 1.
Разным буквам соответствуют разные цифры. Черта обозначает деление.

Ответ. Возможны разные варианты, например:

2 / 4 + 79 / 158 = 1
6 / 8 + 35 / 140 = 1
4 / 5 + 72 / 360 = 1
и другие.

Задача 3

Ваня сложил куб 3×3×3 из красных и синих брусков размером 1×1×3. Затем он начал рисовать то, что у него получилось. Когда пришла Таня, Ваня успел раскрасить лишь 8 из 27 клеток на видимой поверхности нарисованного куба (см. рисунок). Посмотрев на рисунок, Таня сказала, что не знает цвет лишь одной из ещё не раскрашенных клеток. Ваня ответил, что эта клетка — красная. Завершите Ванин рисунок (отметьте буквой «С» синие клетки, буквой «К» красные, знаком «?» клетку, цвет которой Таня не могла восстановить).

Ответ. См. рисунок.

Решение. Сперва определим, как расположены бруски в кубе. Брусок, который проходит через синюю клетку на передней грани, снизу и справа ограничен красными кубиками 1×1×1, поэтому проходит через центр куба 3×3×3. Назовём этот брусок центральным. Красная и синяя клетки на правой грани принадлежат двум разным брускам, и оба эти бруска вертикальны (идти слева направо они не могут из-за центрального бруска). Значит, оставшиеся клетки на правой грани входят в ещё один вертикальный брусок. Теперь понятно, что куб состоит из трех слоев, в правом бруски вертикальные, в центральном горизонтальные, в левом снова вертикальные (см. рисунок справа). В каждом бруске, кроме среднего в левом слое, есть клетка известного цвета. Остается неизвестным цвет одного бруска, а значит, и его верхней клетки.

Задача 4

См. задачу 3 для 6 класса.

Задача 5

Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) и квадрат AKLM расположены, как показано на рисунке. Точка S на AB такова, что AS = SL. Найдите величину угла SLB.

Ответ. 90°.

Решение. Рассмотрим треугольники AKS и LKS. Они равны по трём сторонам. Значит, равны углы KAS и KLS.

В равнобедренном треугольнике ABC равны углы BAC и ACB. Прямые KL и AC параллельны, значит, равны углы ACB и KLB как соответственные. Тогда ∠SLB=∠SLK+∠KLB = ∠KAS+∠ACB = ∠KAS+∠BAC=∠KAM=90°.

Задача 6

У царя есть 7 мешков с золотыми монетами, в каждом по 100 монет. Царь помнит, что в одном мешке все монеты весят 7 г, во втором 8 г, в третьем 9 г, в четвёртом 10 г, в пятом 11 г, в шестом 12 г, в седьмом 13 г, но не помнит, где какие. Царь сообщил это придворному мудрецу и указал на один из мешков. Мудрец может вынимать из этого и из других мешков любое количество монет, но на вид они все одинаковы. Однако у мудреца есть большие двухчашечные весы без гирь (они точно покажут, равны ли веса на чашках, а если нет, то какая чашка тяжелее).

а) [4 балла] Может ли мудрец за одно взвешивание проверить, верно ли, что в указанном мешке хранятся монеты по 7 г?

б) [6 баллов] Может ли мудрец определить, какие монеты в указанном мешке, сделав не более двух взвешиваний?

Ответ. а, б) Да, может.

Решение. а) Возьмём по одной монете из каждого из мешков, кроме указанного, и поместим на левую чашку, а на правую поместим 8 монет из указанного мешка.

Тогда в случае, если в указанном мешке монеты минимального веса (7 г), правая чашка окажется легче: 8+9+10+11+12+13 > 8⋅7. В противном случае легче окажется левая чашка: на ней будет лежать менее 63 г, а справа окажется не менее 8⋅8=64 г.

б) См. задачу 6 для 7 класса.