7-й класс

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. Найдите примерную величину давления в центре Земли, считая, что средняя плотность вещества земного шара равна r=5000 кг/м³. Радиус Земли R_З=6400 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли g=10 м/с².

2. Школьники побывали в музее-имении Л.Н. Толстого "Ясная поляна" и возвращались в Рязань на автобусах, которые ехали со скоростью v₁=70 км/ч. Пошел дождь, и водители снизили скорость до v₂=60 км/ч. Когда дождь кончился, до Рязани оставалось проехать S=40 км. Автобусы поехали со скоростью v₃=75 км/ч и въехали в Рязань точно в запланированное время. Сколько времени шел дождь? Чему равна средняя скорость автобуса? Для упрощения считайте, что автобусы в пути не останавливались.

3. Во льдах Арктики в центре небольшой плоской льдины площадью S=70 м² сидит белый медведь массой m=700 кг. При этом надводная часть льдины выступает над поверхностью воды на высоту h=10 см. На какой глубине под водой находится нижняя поверхность льдины? Плотность воды r_в=1000 кг/м³, плотность льда r_л = 900 кг/м³.

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. Школьники побывали в селе Константиново, на родине Сергея Есенина, и возвращались к себе домой в Рязань на автобусах. Автобусы ехали со скоростью v₁ = 70 км/ч. Пошёл дождь, и водители снизили скорость до v₂=50 км/ч. Когда дождь кончился, автобусы вновь поехали с прежней скоростью и въехали в Рязань на 10 минут позже, чем было запланировано. Сколько времени шёл дождь?

2. В двухлитровую пластиковую бутыль через короткий шланг накачивается воздух до давления 2 атм. Шланг пережимается, и к нему присоединяется герметичный тонкостенный полиэтиленовый пакет большой ёмкости (больше 10 литров) без воздуха внутри. Бутыль вместе с пакетом кладут на одну чашку весов и уравновешивают гирями, которые помещают на другую чашку, а затем зажим ослабляется. Воздух из бутыли перетекает в пакет, и равновесие весов нарушается. Груз какой массы и на какую чашку весов нужно положить, чтобы равновесие весов восстановилось? Плотность воздуха равна 1,3 кг/м³, ускорение свободного падения считать равным 10 м/с².

На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.

1. Цилиндр массой M поместили на рельсы, наклоненные под углом a к горизонту (вид сбоку показан на рисунке). Груз какой минимальной массы m нужно прикрепить к намотанной на цилиндр нити, чтобы он покатился вверх? Проскальзывание отсутствует.

2. Алюминиевая проволока диаметром d=2,5 мм, не слишком гнутая, покрыта льдом. Общий диаметр проволоки со льдом равен D=3,5 мм. Температура льда и проволоки t = 0 ^oС. По проволоке пустили ток силой I=15 А. За какое время лёд растает? Плотность льда r_л=0,9 г/см³, а его удельная теплота плавления l=340 кДж/кг. Удельное сопротивление алюминия r=2,8*10^-8 Ом*м.

3. Электрическая цепь состоит из трех резисторов с известными сопротивлениями R₁=20 Ом, R₂= 30 Ом, R₄=60 Ом, одного резистора с неизвестным сопротивлением R₃ и одного переменного резистора (см. рисунок). При измерении сопротивления R_АВ между точками А и В этой электрической цепи выяснилось, что оно не зависит от сопротивления переменного резистора. Найдите величины сопротивлений неизвестного резистора R₃ и всей цепи R_АВ.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Однажды летним утром кузнечик сидел на асфальте. Когда Солнце поднялось на угол j над горизонтом, он прыгнул в сторону Солнца с начальной скоростью v₀ под углом a к горизонту. С какой скоростью движется по асфальту тень кузнечика спустя время t после прыжка?

2. На шарнирно закрепленной доске на расстоянии R от шарнира находится маленькая шайба. Доску, первоначально расположенную горизонтально, начали вращать вокруг шарнира в вертикальной плоскости с угловой скоростью w. При каком значении угла a наклона доски к горизонту шайба начнет скользить по доске? Коэффициент трения шайбы о доску m<1. Ускорение свободного падения равно g.

3. Два космических корабля с массами m₁ и m₂ летят с выключенными двигателями в поле тяготения звезды, масса которой M много больше их масс. Скорости кораблей на большом удалении от звезды были равны v₁ и v₂ соответственно. После пролета кораблей около звезды и их удаления на большое расстояние от нее векторы их скоростей изменили свое направление на 90^o и остались такими же по величине. Первый корабль пролетел от звезды на минимальном расстоянии l₁. На каком минимальном расстоянии от звезды l₂ пролетел второй корабль?

4. В цилиндре под поршнем находится при нормальных условиях порция гелия в количестве n=2 моль. Ей сообщают количество теплоты Q=100 Дж, при этом температура гелия увеличивается на DT=10 К. Оцените изменение объема газа в этом процессе, считая его теплоемкость постоянной.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. По внутренней поверхности большого неподвижного обруча радиусом 2r без проскальзывания катится малый обруч радиусом r. Отрезок ОО', соединяющий центры обручей, движется с угловой скоростью w. К малому обручу в точке А прикреплен грузик. В некоторый момент времени обручи и грузик расположены так, как показано на рисунке. Чему равно в этот момент ускорение грузика?

2. На закрепленной наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом, удерживают легкий лист бумаги. На него положили большой деревянный брусок. С каким ускорением начал двигаться брусок, когда брусок и бумагу отпустили? Коэффициент трения между бруском и бумагой m₁, между бумагой и наклонной плоскостью m₂.

3. Закрепленная непроводящая тонкостенная однородная сфера радиусом R и массой M равномерно заряжена по поверхности зарядом Q. Из нее вырезают маленький кусочек массой M/10000, сжимают его в крошечный комочек (не меняя заряд) и помещают в центр сферы. Комочек отпускают. Чему будет равна его скорость на большом удалении от сферы? А в момент вылета из сферы? Сила тяжести отсутствует.

4. Найти сопротивление между клеммами A и B цепи, изображенной на рисунке и состоящей из бесконечного числа одинаковых резисторов с сопротивлением R.

5. Для обоснования формулы, связывающей массу и энергию, А. Эйнштейн предложил следующий мысленный эксперимент. Два тела с массами m₁ и m₂ находятся на концах легкой неподвижной тележки длиной L, которая может свободно перемещаться по горизонтальной поверхности без трения. Одно из тел испускает фотон с частотой w, который поглощается вторым телом. Чему будет равна скорость тележки после испускания фотона до его поглощения? А после поглощения фотона? На какое расстояние сместится тележка в рассматриваемом процессе? На какую величину Dm должна уменьшиться масса первого тела и увеличиться масса второго тела, чтобы центр масс системы после поглощения фотона остался на месте? Постоянная Планка равна h, скорость света c.

2-й тур (05.03.2006)

8-й класс

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. Ко дну сосуда при помощи шарнира прикреплена за конец тонкая однородная палочка длиной L. В сосуд медленно наливают воду и отмечают, какая часть длины палочки L_п оказывается под водой. График зависимости относительной части длины палочки L_п/L, находящейся под водой, от высоты h уровня жидкости над дном сосуда изображён на рисунке. Определите плотность материала палочки, если известна плотность воды r_в.

2. В калориметре находился лёд массой m_л=0,5 кг при температуре t_л=-20 ^oC. Удельная теплоёмкость льда c_л=2100 Дж/(кг*^oC), а его удельная теплота плавления l=340 кДж/кг. В калориметр впустили пар массой m_п=60 г при температуре t_п=100 ^oC. Какая температура установится в калориметре? Удельная теплоёмкость воды c_в = 4100 Дж/(кг*^oC), удельная теплота парообразования воды r = 2,2*10⁶ Дж/кг. Теплоёмкостью калориметра и потерями тепла пренебречь. Ответьте на тот же вопрос, если начальная масса льда равна m_л1=0,3 кг.

На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.

1. Находясь на вершине ледяной горки, образующей угол a=30^o с горизонтом, школьник бросил снежок под углом b = 70^o к горизонту и в этот же момент начал спускаться без начальной скорости с этой горки на санках. Через некоторое время снежок попал в школьника. Найдите коэффициент трения между полозьями санок и льдом.

2. В системе, изображенной на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Массы грузов на концах нити равны m₁ и m₂, однородная доска массой m₃ лежит на горизонтальном столе так, что вертикальные участки нити, переброшенной через закрепленные на доске блоки, проходят вдоль ее торцов. При каком условии доска при движении грузов будет оставаться в горизонтальном положении?

3. В два сообщающихся цилиндра налита вода. Один из цилиндров с площадью поперечного сечения S₁ открыт, а другой закрыт сверху поршнем, к которому прикреплена пружина (см. рис.) Система находится в равновесии. Если точку подвеса пружины сместить вниз на расстояние a, то свободная поверхность воды в первом цилиндре поднимется на расстояние a₁a, а поршень опустится на расстояние a₂a (a₁ и a₂ - положительные коэффициенты). Чему равна площадь поперечного сечения S₂ закрытого цилиндра? На какое расстояние b₂ сместился бы поршень, если бы в открытый цилиндр долили объем V воды, не смещая точку подвеса пружины? Чему равна жесткость пружины k? Ускорение свободного падения равно g, плотность воды равна r.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. В системе, изображенной на рисунке, массы всех трех грузов одинаковы и равны m. Нить, соединяющая грузы 1 и 2, невесома и нерастяжима; ее участки, не лежащие на блоках, вертикальны или горизонтальны; блоки невесомы, трения нет. Груз 3 движется по горизонтальной плоскости, не опрокидываясь. Найдите ускорения всех трех грузов. Ускорение свободного падения равно g.

2. На гладком горизонтальном столе находится тележка массой M=3 кг. На ее поверхность положили лист бумаги массой m₀=5 г, а на него - груз массой m=1 кг. Коэффициент трения между бумагой и каждым из тел равен m=0,7. Лист бумаги начинают тянуть в горизонтальном направлении с силой F. Считая, что g=10 м/с², определите значения F, при которых:
а) груз будет неподвижен относительно листа;
б) тележка будет неподвижна относительно листа.
Найдите ускорение листа для случаев F=3 Н и F=10 Н.

3. В невесомости внутри сферы радиусом R₀ движется шарик, упруго соударяясь со стенками сферы. Скорость шарика v₀, угол падения шарика на сферу, то есть угол между вектором его скорости и нормалью к сфере непосредственно перед соударениями, равен a₀ (см. рис.). Сферу начали медленно равномерно сжимать до радиуса R₁. С какой скоростью v₁ будет двигаться шарик в конце процесса сжатия? Чему при этом будет равен угол a₁ падения шарика на сферу?

4. Идеальный одноатомный газ (количество вещества n) участвует в циклическом процессе, состоящем из двух изотерм и двух изохор. При изохорическом нагревании газ получает количество теплоты Q₁, а при изотермическом расширении - количество теплоты Q₂. Минимальная температура газа в данном циклическом процессе равна T_min. Найдите:
а) максимальную температуру газа;
б) количества теплоты, отданные газом при изохорическом охлаждении и изотермическом сжатии;
в) работу, совершенную газом на каждой из стадий процесса;
г) КПД теплового двигателя, работающего по рассматриваемому циклу.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. В системе, изображенной на рисунке, цилиндрический груз массой m₁ движется внутри цилиндрического канала чуть большего диаметра, просверленного внутри тела массой m₂. Нить, соединяющая грузы m₁ и m₃, невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Чему равно ускорение груза массой m₁? Ускорение свободного падения равно g, участок нити между блоками горизонтален.

2. Развивая молекулярно-кинетическую теорию, Й. Лошмидт в 1865 г. предложил первый способ оценки размера и массы молекулы. Он использовал известные в его время данные о длине свободного пробега - расстоянии, которое пролетает молекула газа в промежутке между столкновениями (оно выражается через определяемые из опыта коэффициенты вязкости и теплопроводности). Вслед за Лошмидтом получите формулы для оценки по порядку величины размера молекулы r₀ и ее массы m₀ по известным данным - длине свободного пробега l и плотностям вещества r_г и r_ж в газообразном и жидком состояниях. Получите ответ в общем виде и для числовых значений l=10^-7 м, r_ж=10³ кг/м³, r_г=1 кг/м³.

3. Два одинаковых неидеальных диода с вольтамперной характеристикой, приведенной на графике, включены вместе с конденсатором, двумя резисторами, идеальной батарейкой и ключом в электрическую цепь, изображенную на рисунке. Сопротивления резисторов R=16 Ом, r=4 Ом, ЭДС батарейки E=4 В, электрическая емкость конденсатора C=100 мкФ, параметры вольтамперной характеристики диода: U₀=1 В, I₀=50 мА.
а) Ключ в цепи замкнули. До какого напряжения зарядится конденсатор?
б) После зарядки конденсатора ключ разомкнули. Какое количество теплоты выделится при разрядке конденсатора на резисторе R? А на каждом из диодов?

4. Электрическая цепь состоит из катушек с индуктивностями L₁ и L₂ и конденсатора емкостью C, включенных параллельно. В начальный момент времени токи через катушки текут в одну сторону и равны I₁⁰ и I₂⁰, а конденсатор не заряжен (см. рисунок). Найдите частоту w возникающих в системе гармонических колебаний и зависимости от времени токов через катушки I₁(t), I₂(t) и заряда на конденсаторе Q(t). Сопротивлением катушек пренебречь.

5. В воду (показатель преломления n_в) частично погружена тонкая стеклянная плосковыпуклая линза, причем ее плоская сторона горизонтальна и находится под водой, а толщина линзы равна H (см. рисунок). На эту систему вертикально падает параллельный пучок света. На глубинах l и L>l в воде возникают два одинаково ярких изображения. Каковы радиус R выпуклой поверхности линзы, показатель преломления n материала линзы и глубина h ее погружения в воду? Отражением света от воды и от линзы, а также поглощением света пренебречь.

3-й тур (11.03.2006)

На выполнение каждого из двух экспериментальных заданий в каждом классе отводилось по 2 астрономических часа.

9.1. Измерение удельной теплоёмкости

Оборудование: термометр, стаканчики, миллиметровая бумага, штатив, нитка, горячая и холодная вода - по требованию, часы (можно использовать наручные часы).

Задание: измерить удельные теплоёмкости груза и пятака.

9.2. Измерение сопротивления резистора в "Чёрном Ящике"

Оборудование: В "Чёрном Ящике" (вообще то он не очень чёрный, так называют объект, который нужно исследовать без нарушения его целостности) находится ровно два элемента - маленькая лампочка и резистор. Есть ещё одна такая же лампочка, резистор 75 Ом, миллиамперметр, вольтметр, потенциометр (реостат с тремя выводами) сопротивлением 10 Ом, батарейка, провода.

10.1. Исследование магнита

Оборудование: магнит - 1 шт., металлические уголки - 5 шт. (заглушки гнёзд в материнском блоке компьютеров), динамометр - 1 шт., прочный капроновый шпагат - 1,5 м, липкая бумага, миллиметровая бумага, плотная бумага, её "плотность" (масса одного квадратного метра) 160 г/м² - 1 лист формата А4, две палочки со срезанными ватными тампонами, мерная лента.

Задание: найти зависимость от расстояния силы притяжения магнита и отогнутой под прямым углом части железного уголка (она располагается параллельно большой грани магнита). Построить график этой зависимости.

10.2. Измерение сопротивления резистора в "Чёрном Ящике"

Оборудование: В "Чёрном Ящике" (вообще то он не очень чёрный, так называют объект, который нужно исследовать без нарушения его целостности) находится ровно два элемента - полупроводниковый диод и резистор. Есть ещё один точно такой же диод, резистор 75 Ом, (диод - крошечный полупрозрачный цилиндр с двумя выводами, резистор чуть побольше, он более полосат, чем диод :), универсальный измерительный прибор, потенциометр (реостат с тремя выводами) сопротивлением 470 Ом, батарейка в корпусе с выводами, провода.

Задание: определить экспериментально сопротивление резистора в "Чёрном Ящике", определить схему соединения элементов внутри Ящика (параллельно, или последовательно).

11.1. Измерение плотности

Оборудование: ареометр, нитка - 0.5 м, металлическая проволока в пластиковой изоляции - 2 кучка по 20 см, мензурка, вода, миллиметровая бумага.

Задание: измерить среднюю плотность (плотность - это масса, приходящаяся на единицу объёма) проволоки вместе с изоляцией. Считать, что вода имеет плотность 1000 кг/м³.

11.2. Исследование "Чёрного Ящика"

Оборудование: "Чёрный Ящик", содержащий ровно два элемента, которые не соединены друг с другом, две миниатюрные лампочки, потенциометр (реостат с тремя выводами) сопротивлением     кОм, генератор звуковой, провода.

Задание: определить экспериментально содержимое Ящика и измерить пераметры помещённых в него элементов.